Диссертация (1136170), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Тогда уравнение (2.156)имеет решение r0 (t )  0 , так как функция p в (2.155) больше чем pcav придостаточно больших r и меньше чем pcav при достаточно малых r. Болеетого, Положительная функция r0 (t ) , удовлетворяющая уравнению (2.156),является единственной, так как выражение (2.155) для давления p –возрастающая функция от r при любых t  0 .Определим асимптотическое поведение функции r0 (t ) при малыхположительных величинах t. С этой целью рассмотрим функцию p(t , r ) ,задаваемуюформулой(2.155),  const  0 . Тогда из (2.155) находимприr  2(1   )t ln(1 / t ) ,где65p(t , r (t ))  p* (t ) 2 h02 t exp(22t ), r (t )  2(1   )t ln(1 / t )4(1   ) ln(1 / t )(2.157)Следовательно, при достаточно малых положительных величинах  0, и p* (0)  pcav получаемp(t , r (t ))  pcav , t  0  .(2.158)С другой стороны, из (2.155) и (2.156) имеемp(t , r0 (t ))  pcav .(2.159)Как сказано выше, p(t , r ) - возрастающая функция аргумента r прилюбом t  0 .

Поэтому из (2.158) и (2.159) получаем, что при малыхположительных tr0 (t )  r (t ), t  0  .(2.160)Учитывая выражение для r (t ) в (2.157), из (2.160) находимr0 (t )  O t ln(1 / t ) , t  0 (2.161)и, следовательно, r0 (0)  0 .Рассмотрим теперь r0 (t ) при больших значениях t. Из (2.156) легконаходим, что при t>0 выполняется следующее неравенство:2r02 (t )( p# (t )  pcav )  2 h02 exp(22t ) .Используя (2.162), получаем, что когдаp* ()(2.162)- конечно иp# ()  pcav , функция r0 (t )  0 при t   и равенство (2.156) даетr0 (t ) 2( p# ()  pcav )h0 exp(2t ),t   .(2.163)В этой главе были использованы результаты наших работ [68-71],66ГЛАВА 3НОВЫЕ КЛАССЫ РЕШЕНИЙ КЛАССИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙЯНГА – МИЛЛСА3.1 Стационарное сферически-симметричное решение уравненийЯнга – МиллсаОдной из важных задач является нахождение аналитических решенийуравнений Янга-Миллса, которые широко используемых в современнойтеоретическойфизикеикоторымпосвященобольшоечислоисследований [72-85].

Рассмотрим эти уравнения в случае SU(2)симметрии, который, как известно, применяется в моделях электрослабыхвзаимодействий. Тогда уравнения Янга-Миллса могут быть представленыв следующей форме [72-74]:где  F k ,   g klm F l ,  Am  (4 / c) J k , ,(3.1)F k ,     Ak ,   Ak ,   g klm Al ,  Am, ,(3.2) ,  0,1,2,3, k , l , m  1,2,3,потенциалыинапряженностиантисимметричный тензор, 123  1 ,Ak , , F k , поля-соответственноЯнга-Миллса, klm-g - константа электрослабыхвзаимодействий и J k , - три четыре-вектора плотностей токов.Какизвестно, уравнения Янга-Миллса (3.1)-(3.2) ковариантныотносительно следующих инфинитезимальных преобразований [72-74]:J k ,  J k ,   klm J m,  l ,Ak ,  Ak ,   klm Am,  l  (1 / g )  k ,F k ,   F k ,    klm F m,   l ,(3.3)67где  l - малый угол вращения трехмерных векторов ( J 1, , J 2, , J 3, )вокруг l -ой оси калибровочного пространства.Уравнения (3.1) Янга-Миллса могут быть представлены в видеD F k ,  (4 / c) J k , ,(3.4)где D - ковариантная производная Янга – Миллса, определяемая длялюбого трехмерного вектора U k следующим образом:DU k   U k  g klmU l Am .(3.5)Отметим следующее известное свойство ковариантной производнойD [72-74]:m.( D D  D D )U k  g klmU l F(3.6)Из (3.6), заменяя U k на  k , , легко получаем, что функции  k , ,антисимметричныеотносительноиндексов , ,удовлетворяютсоотношениюm D D  k ,  D D  k ,  12 g klm l , F,  k ,   k , .

(3.7)Полагая  k ,  F k , , из (3.7) получим хорошо известные тождества[72-74] в рассматриваемом пространстве-времени Минковского:m D D F k ,  D D F k ,  12 g klm F l , F 0.(3.8)Как следует из (3.4) и (3.8), источники J k , поля Янга-Миллсаудовлетворяют равенствамD J k ,  0 .(3.9)Используя (3.5), можно представить (3.9) в виде J k ,  g klm J l , Am  0 .(3.10)Следует отметить, что во многих исследованиях уравнений Янга –Миллса предполагается, что их источниками являются некоторыеквантовые объекты, как например, монополи, которые могут быть68описаны SU (2) - инвариантными уравнениями Клейна – Гордона сдополнительным членом, соответствующим модели Хиггса.Однако, когда источники являются многочастичными, становитсявозможным применение для них квазиклассического приближения итакие источники могут быть рассмотрены как классические объекты,характеризуемые своими плотностями зарядов и скоростями их точек.В дальнейшем будем рассматривать как раз такие источники поляJ k , , имеющие следующий вид, соответствующий трем классическимчетырехмерным плотностям токов:J k ,  c kV  ,(3.11)где  k - плотности зарядов источника, а V  - 4-вектор скорости точекисточника.

Данная формула позволяет описывать многочастичные источники, для которых допустима квазиклассическая аппроксимация.Так как уравнения Янга – Миллса (3.4) ковариантны относительнокалибровочных преобразований (3.3), рассматриваемые компоненты J k ,вида (3.11) могут быть приведены к следующему виду посредством ихтрехмерных калибровочных вращений:J 1,  J  , J 2,  J 3,  0 ,(3.12)J   cV  ,  2  ( 1 ) 2  ( 2 ) 2  ( 3 ) 2 .(3.13)Из первого уравнения в (3.11) (k=1) и (3.13) получаем J   0 .(3.14)Это означает, что величина  J 0 d 3 x , где интеграл берется по области,занимаемой источниками поля, является инвариантом.

Данный инвариантявляется некоторым сохраняющимся зарядом источников поля.69Очевидно, что уравнения Янга – Миллса (3.1) – (3.2) с источникамиJ k ,вида(3.12)имеютследующеетривиальноерешение,соответствующее максвелловским уравнениям:  F 1,   (4 / c) J 1, , F 1,     A1,   A1,  ,A2, 3, A 0, J2, J3, (3.15) 0.Однако, как будет показано в дальнейшем, уравнения Янга – Миллса(3.1) – (3.2) с источниками J k , вида (3.12) имеют также класснетривиальных решений.Рассмотрим теперь источники J k , , которые имеют вид (3.12) исоответствуют сферически-симметричному телу со стационарнымизарядами:(4 / c) J 1,0  4 (r ), J 1,l  0, l  1,2,3,J2,J3, 0, r  ( x )  ( x )  ( x ) ,21 22 23 2(3.16)где  (r ) - плотность заряда сферически-симметричного тела, r расстояние между точкой тела и его центром и x1 , x 2 , x3 - координаты впространственной декартовой системе с началом в центре данного тела.Обратимся к равенствам (3.10).

Подставляя в них (3.16), легконаходим, что в области, где плотность заряда   0A2,0  A3,0  0 .Таккакисточникивида(3.16)инвариантны(3.17)относительнокалибровочных вращений вокруг первой оси, то можно выбрать такоекалибровочное преобразование, чтобы было A1,0  0 . Ввиду этого иравенств (3.18) будем исследовать потенциалы Ak , , которые равны нулюпри   0 :Ak ,0  0, k  1,2,3 .(3.18)70ОбратимсяккомпонентамAk ,l при l  1,2,3 .Будемискатьпотенциалы Ak ,l , удовлетворяющие уравнениям Янга-Миллса (3.2)–(3.3)со сферически-симметричными источниками (3.17), в следующем виде:A1,l  x l [u (r ) x 0  u0 (r )], A2,l  x l [v(r ) x 0  v0 (r )],A3,l  x l [ w(r ) x 0  w0 (r )], l  1,2,3, x 0  ct,(3.19)где u, u0 , v, v0 , w, w0 - некоторые функции от r и t - время.Тогда, подставляя выражения (3.18) – (3.19) для потенциалов поляAk , в формулы (3.3), получаем следующие стационарные и сферическисимметричные выражения для напряженностей поля F k , :F 1,0l  x l u (r ), F 2,0l  x l v(r ), F 3,0l  x l w(r ),F k ,l 0   F k ,0l , F k ,ml  0, k , m, l  1,2,3.(3.20)Подставим теперь выражения (3.16) и (3.18–(3.20) для J k , , Ak , иF k , в уравнения Янга–Миллса (3.1).

Тогда придем к следующейсистеме уравнений:ru  3u  gr 2 (wv0  vw0 )  4 ,(3.21)rv  3v  gr 2 (uw0  wu0 )  0 ,(3.22)rw  3w  gr 2 (vu0  uv0 )  0 .(3.23)Из уравнений (3.22) и (3.23) легко находимw0  ( gr 2u) 1 ( gr 2 wu0  rv  3v) ,(3.24)v0  ( gr 2u) 1 ( gr 2vu0  rw  3w) .(3.25)Уравнения (3.24) и (3.25) даютwv0  vw0  (2 gr 2u) 1[r (v 2  w2 )  6(v 2  w2 )] .(3.26)Подставляя (3.26) в уравнение (3.21) и умножая это уравнение на 2u,легко находимr (u 2  v 2  w2 )  6(u 2  v 2  w2 )  8u .(3.27)71Этоуравнениеявляетсяединственнымдифференциальнымсоотношением для функций u(r ), v(r ) и w(r ) .Представим функции u(r ), v(r ) и w(r ) в видеu   R cos / r 3 , v   R sin  cos / r 3 ,w   R sin  sin  / r 3 , R  R(r ),    (r ),(3.28)   (r ), u 2  v 2  w 2   R 2 /r 6 .Тогда из (3.27) получимR(r )  4r 2 (r ) cos  (r ) .(3.29)Как следует из (3.28), R(0)  0 .

Следовательно, из (3.29) имеемrR(r )  4  r 2 (r ) cos  (r )dr .(3.30)0Такимобразом,мынашлиточныесферически-симметричныерешения уравнений Янга-Миллса (3.1)–(3.2) с источниками вида (3.16),которые описываются формулами (3.18)–(3.20). В этих формулахфункции v0 (r ) и w0 (r ) определяются выражениями (3.24) и (3.25),функции u(r ), v(r ) и w(r ) - выражениями (3.28) и (3.30) и три функцииu0 (r ),  (r ) и  (r ) являются произвольными.Выберем теперь в качестве нового аргумента для функций R и  ,вместо r, следующую переменную:rq  4  r 2 (r )dr ,(3.31)0которая представляет собой заряд шара радиуса r.Тогда формула (3.30) может быть представлена в видеqR(q)   cos  (q)dq .0(3.32)72Полученные результаты можно сформулировать в виде следующейтеоремы.Теорема 3.1 Уравнения Янга-Миллса (3.1)-(3.2) с SU(2) симметриейсо сферически-симметричными источниками вида (3.16) содержат класснетривиальныхрешенийвида(3.18)-(3.19)состационарныминапряженностями поля, описываемыми формулами (3.20), (3.28) и (3.30)и определяемыми двумя произвольными функциями.Таким образом, напряженности поляЯнга-Миллса, в отличие отуравнений Максвелла, не определяются однозначно по заданнымклассическим источникам.ЭтосвойствоуравненийЯнга-Миллсанесвязанотолькосрассмотренным сферически-симметричным случаем, а носит общийхарактер.Действительно, рассмотрим уравнения Янга-Миллса (3.1)–(3.2) склассическими источниками вида (3.11), которые подчиним тремдифференциальным уравнениям сохранения зарядов, соответствующихk  1,2,3 : J k ,  0, J k ,  c kV  .(3.33)Из (3.33) и формулы (3.5) для ковариантной производной ЯнгаМиллса легко находим k D J k ,  gc klm k lV  Am  0,  k   k .(3.34)Отсюда и из (3.8) вытекает следующее тождество: k D [ D F k ,  (4 / c) J k , ]  0 .(3.35)73Это тождество означает, что уравнения Янга-Миллса (3.4) склассическими источниками вида (3.33) не являются независимыми: онисвязаны дифференциальным соотношением (3.35).Поэтому для того, чтобы однозначно определять напряженности поляЯнга-Миллса с классическими источниками, необходимо располагатьнекоторым дополнительным уравнением.С этой целью обратимся снова к уравнениям Янга-Миллса (3.1)–(3.2).Они могут быть представлены в виде  F k ,  (4 / c) I k , ,(3.36)F k ,    Ak ,   Ak ,  g klm Al , Am, ,гдеI k ,  J k , gc klm F l , Am .4(3.37)Так как F k ,   F k , и отсюда   F k ,  0 , из (3.36) следует, чтовеличиныI k ,подчиняютсятремдифференциальнымзаконамсохранения I k ,  0 .ПоэтомуI k , ,величинытакжекак(3.38)иJ k , ,могутбытьинтерпретированы как некоторые три 4-вектора плотности тока.Как видно из (3.37), величины I k , содержат не только плотности токаисточниковполяJ k , ,ноидополнительныекомпоненты,определяющиеся потенциалами и напряженностями поля.

Это даетвозможность рассматривать величины I k , как компоненты плотностиполного тока, включающего в себя помимо плотности тока источниковполя также плотности тока рождающихся виртуальных частиц поля.ОбратимсятеперьксвязимеждуплотностямиJ k , и I k ,соответственно тока источников поля и полного тока. Для этого выберем74малую часть источника поля и обозначим через q k и q k (k  1,2,3)соответственноегособственныезарядыиегополныезаряды,включающие также заряды рождающихся внутри него виртуальныхчастиц поля.Как известно, классическая собственная электрическая энергия тела сзарядом q пропорциональна величине q 2 .

Характеристики

Список файлов диссертации