Л. Лабовиц, Дж. Аренс - Задачи по физической химии с решениями (1134453), страница 27
Текст из файла (страница 27)
— г(Р = рйг <1г = — о(г (р — плотность); РМа 717 а'Р Ма 4<з Р дт Глава ! Гаем !82 (8! 1-2-10. О лв и 1 !2 о„е " !ток ( о„(= — о -те„~тат е " !ток о 1-2-11. 1тт 2ат / 2КТ 1-2-13. к, 1-2-12. 1-2-14. е мо (ге! ог ао о! в — ~~!гетог (о 1гн (т24т о! ,— еугатот ео о 1и (' — ) = — — Р = Р е-'гхгат. т Р ! !Ь(Е!!г Ре ) т г(Р Ме гтг Р йТ гтР ' Мсл!т гтг г=г — г; цтг (ге — радиус Земли). ВР МГгга„. !(г РТ( + „)г' аР Ме !7г а'Р Ме а!г Р т!т Р (! (то аг) Пусть Т вЂ” аг=х. Тогда г(х= — а!13, а т1г= — т(х(а.
х а) Число молекул со скоростью между о и о+Ив равно Св ев'ото'-!10, где С вЂ” некоторая постоянная. Это выражение пропорционально множителю Больцмана и объему 4погг(о области в пространстве скоростей между двумя концентрическими сферами с радиусами о и о+ о(о соответственно. Число молекул, имеющих скорость больше о„равно С) е евгатогг(о. Общее число молекул С~ е= вахтог,(о=С вЂ” ~ — ) 1' й т 24т ! '(ь 4 ~ т ) * о Доля молекул с о ) оо составит: Этот интеграл не может быть выражен конечным сочетанием элементарных функций, б) В двух измерениях число молекул со скоростью между о и о+ т!о равно Св- ечгетот(о.
Рассмотрим область между окружностями с радиусами о и о+ г(о соответственно; площадь этой области равна 2лог(о. Доля молекул с о)оо равна: е-тевегт о то ер о!тат 2! — е 1 е !~ет о а!о о Л соударенин см ' с ' = —, Л( молев см-' Х -2 †2 ! Х от 2)т'7/пМ см с-', где —, Тьг — доля моленул, двигающихся и поверхности, н )т2Рт77пМ вЂ” объем цилиндра с площадью сечения 1 см', молекулы в котором будут ударяться о поверхность за 1 с (если они двигаются к поверхности).
'/, ° 1 атм ° 6,023 ° (О" молок ° моль-' 82,06 ем' ° атм ° град-'моль-'298 град =2,885 10'г соударений см ' с '. А =2 104 см-'! ХА=2,885 1О" 2 10'=5,77 10" соударений ° с '. Плошадь отверстия А = пгг = 3,14 (0,296572)г = = 0,0692 см'. 957 !Π— — — 2,085 10 '" г см ' ° с 4М 0,0692 ((0,5'60 р х/ 2пйт =209 1О ох/2 3!4,83(,(Ог,!5554 = 2 80 дин см-'! Р = 2,80 9,87 ° ! 0 = 2,77 1О атм. Глава 1 Газы та а) —; т„' 1-2-16. 1-2-18. а',св в)— алса 1-2-16. 1-2-19.
1-2-17. 8,166 ° Ш' с а) Вязкость газа — результат бокового перемещения момента количества движения между слоями, движущимися с различной скоростью. При повышении температуры молекулы двигаются быстрее н увеличивается перенос момента в единицу времени.
б) Ббльшие молекулы чаще сталкиваются с другими молекулами, уменьшаются длины их свободного пробега и становится меньше средняя разность моментов между слоями газа, между которыми перемещаются молекулы за каждый свободный пробег. Следовательно, вязкость уменьшается с увеличением диаметра молекул. в) С уменьшением давления пропорционально уменьшается количество молекул, передаюших момент количества движения. Однако средняя длина свободного пробега молекул изменяется обратно пропорционально давлению, и таким образом с уменьшением давления увеличивается способность каждой молекулы к передаче момента между слоями, движущимися с различными скоростями. Эти два эффекта точно компенсируются.
Однако при очень низких давлениях средний свободный пробег становится сравнимым с размером сосуда. Он не может увеличиваться далее, н вязкость приближается к нулю при приближении давления (и, следовательно, числа молекул) к нулю. а) Х х )72 «Са' )Г2 п(10 в атом ° см а)(4 ° 10 'а сма) 1 св. гол Х 9,464 ° 1О" см — — 69 св. лет; З / айт Х,l 8 8,314 ° 1О' ° 7,8 1Оаврг. (г-атом) Ь' «М 1' и ° 1,008 г ° (г.атом) = $' 1,64-10м эрг г-'=1,28 10' см с ', й 59 св. лет ° 9,464 ° 10" см ° (св. лет) 1 1 гол 6 1,28 ° 1Оа см ° с-' = 1,38 1Ов лет. (Получено приближенное значение, так как среднее отношение не равно отношению средних чисел.) а) Согласно одному из определений, температура Бойля — температура, при которой так называемый «второй вириальный коэффициент» В(Т), или б(Т), равен нулю.
Прн исследовании уравнения видно, что это условие выполняется при [Ь вЂ” А/КТ'ь)=0, т. е. прн Т=Т« — — (А/Ь/1)чч б) Уравнение может быть преобра- зовано в уравнение РРа/РТ=! (н, таким образом, выполнен закон Бойля), если 1 — 6(Т«р/Т)'=О, т. е. при Т = Тв = Т„р )Г6. пйт и'а Р= У вЂ” «Ь ! дР 1/т 1 (т — пЬ (Ь' — «Ь)а 1~~ ) ( дР)т' (д)т/дР)т<0 пРи всех УсловиЯх.
Если (д(РЧ)/дР)т=О, как это будет приР=О, Т=Тв, тогда выражение в квадратных скобках равно нулю и, следовательно, йт «Г(ТУ «'а (т — «Ь ()т — «Ь) пйТЧ'((т — пб) — и/1Т)та+ п а Я вЂ” пЬ)'=0; — пает ((та ((т — пб) — (та] = и'а ((т — пб)а1 — К Т (Р в — пб)та — Р а) = па ()т — пб)'1 КТ=Я~' "Ь)'=ф1 — "Ь)'. В точке Бойля Т=Тв, Р=О и (т=аа, поэтому а а ВТ= — и Т Ь ЯЬ ' В другом методе поступают следующим образом. Пусть с =и/(т, тогда «НТ пса . Р= (т — «Ь п~ Т ~1 )т «» ) Если с=п/17, то Р= — — ас н сйт 1 — Ьс Гаэы )за Глава Т (вт Р7 = ВТ+ АРТ вЂ” ВР; 1-2-22.
1-2-20. Рт а а' РТ а Р== й — ь Р' 1-2-23. 1-2-21. В критической точке или РТ а ()к Ь)к )ск ' (' акв 2Рт )кк а)ск /г ()Т вЂ” ьт)к Следовательно, или 2РТ 2а (Тк Ь)к Ь к 2 4 1 !'кр — ЬТкр !'кр в Р!кр)кр й з(7„- ьт„)к з (ас ! 1 а /, (а, /а ), ЬсРТ Рт Ц! — Ьс)' ! — Ьс ) (р-рр РТ + — — асэ~ — -р — Ф О. ! с.рр Следовательно, множитель ЬРТ/(1 — Ьс)' — а, оцениваемый при с=О, прн температуре Бойля станет равен иул!о: ЬЙТе — а = О; Те ——— а Рь ' Разлагая в уравнении Дитсричи член е" в бесконечный ряд, получим ((с — Ь) Г((с - Ь) 2Рть ()т- Ь) При низких плотностях можно припять, что третий и последу!ощий члены бесконечно малы и что У()т — Ь) = )сэ.
Таким образом, получим уравнение которое аналогично уравнению Вап-дер-Ваальса. РТ а Р= )с — ЬТ )ск ' РТкр За 2РТкр )2а (Ь', — Ьтк„)э 7„', ' ()с Ьт )э Разделив второе выражение на первое, получим 7кр Ь= —; 2тк, ' 4Рткрр'кр Р= Р-лт+в ' а) Р)т= Рт - РТ~(1 — — ), в лт! )+(в — лт)/У ~ 7( )' в — лт если ~ 1. Р Найдем температуру Бойля; )пп ~=~ =О;  — АТе —— 0; Т„= —.
д (Р)с) в р.р д((/(с) т л Рт б) =1 =— ар!т (У вЂ” лт+ в)к ' ( ) дкР '! 2РТ дрк /, ()7 — лт+ в) В критической точке (дР/д7)~=0 и (дэР/д)ТР) =О. В данном случае эти производные могут быть равны нулю только при Т= О или если член (7 — АТ+ В) равен бесконечности. Ни тот, ни другой случай не соответствует реальной критической точке. В критической точке (дР/дР) =0 и (д'Р/др")т=О. Разделив второе уравнение на первое, получим 2/(à — Ь) =2/Р, откуда Ь=О.
Следовательно, обе производные никогда не могут быть равны нулю одновременно, если только ЬФО. Когда а и Ь одновременно будут отличны от нуля, газ не будет иметькритической точки. ГАааа 1 188 Газы 189 1-3-4. 1-2-24. РАЗДЕЛ 1-3 1-3-1. 1-3-5. 1-3-2. 1-3-3. 1-3-6. Р— /1Т а а/(ЛФЭркргкр) Фр,р — Ь а /76 1а/4/ТЬ) ( — а 4е'Ь' Ф 12Ь) — Ь Р 1 йФ2ЬВа/4РЬ ) ' и В ар-ВФЕ 2Ф вЂ” ! Выберем в качестве единицы объема объем, равный 1 мм, умноженному на площадь поперечного сечения трубы барометра. В этих единицах объем численно равен длине трубки, выраженной в миллиметрах; давление выражается в мм рт.
ст. Поправка ЛР относится к отсчету, равному давлению воздуха, оставшемуся в верхней части трубки барометра: ЛР= = КТ(Ъ; где У = 780 — Раез, а К вЂ” неизвестная постоянная. Для определения К применим это уравнение к данным условиям, т, е. 0,64Т 780 — Р еебз Пусть Р,— конечное давление (см рт. ст.) остаточного воздуха, Ь вЂ” конечная высота (см) ртути в цилиндре.
Тогда Р, = 76 100 Кроме того, Рз= 100 — Ь+ 76;, = 176 — Ь; 76 !00 100 — Ь Ь' — 276Ь + 10000 = О. а) Ь=42,9; 233 (233 — недействительный корень). б) Рз — — 176 — 42,9=133„1. Пусть Р,— конечное давление (см рт. ст.) остаточного воздуха, Ь вЂ” конечная высота (см) столба ртути в длинной ветви трубки. Тогда .
=50 — Ь+76; Ь' — 226Ь+ 5000=0; а) Ь = 25,4, 201 (201 — недействительный корень); б) Р,=76 100- ~4 102. Общее число молей Хз во всей системе равно 2. Пусть п — конечное число молей Из при 100' С в шаре !. Тогда (2 — и) — конечное число молей г)з в шаре 2 при 0' С. У! = 1'з = 22,4 л; Т, =373'К, Та=273'К; Р, =Р;1 — (2 — п) 273 = 373п; апт, (2 — и) /7тз ! ~з п=0,846 моля (число молей в шаре 1). р р 0,846 ' 0 08206 ' 373 2 22,4 2 — и=-2 — 0,846=1,154 моля(число молей в шаре2). Ошибка содержится при переходе от уравнений (3) и (4) к уравнению (5), Уравнение (3) выполняется при постоянной температуре, а не при постоянных объеме или давлении.
Уравнение (4) — при постоянном давлении и переменных объеме или температуре. Уравнения (3) и (4) должны быть записаны в виде: У=[Ь!(Т))(Р (3') и )(=Ьз(Р)Т (4'), где Ь! и Ьз— неопределенные функции переменных Т и Р соответственно. Если теперь приравнять правые части уравнений (3') и (4'), то получим следующие уравнения: "' ~ "' = Ьз (Р) Т ",'" = Ьз(Р) Р. (5') Левая часть выражения не будет зависеть от Р, а правая от Т. Но обе части равны для всех Т и Р, следовательно, ни та, ни другая части не зависят от Т или Р (так как эти величины постоянны): т ь, (т) Ь (Р) Р = Кз) Ьз (Р) = р . Таким образом, установлен вид функций Ь! и Ьз.
Если подставить их в уравнения (5'),то получим К!=Кз. Тогда из уравнений (3') или (4') получим = (К,Т)(Р. а) Построим график зависимости плотности (г л ') смеси от ее состава (мол,а(р). Получим прямую с наклоном [Р(М! — Мз)[(100ееТ; нри п!=0 РМз(РТ; аналогично при п,=О РМ,(КТ, Обозначим кажущийся молекулярный вес смеси — М; молекулярный вес кнс- 191 Газы Рза Глава 1 1-3-Т. Р7 =п)сТ= 4,-ипаизт З 1„ б) ол = -тиазлт 2 о 1ОО (ОО 1,0 'э ав ыаз 1-3-8. а,л а,г !> а ят При п,=О лорода — М!1 молекулярный вес гелия — Мз( количество (мол.%) кислорода в смеси — п1., количество (мол.%) гелия в смеси — пз; вес смеси — )7 н плотность смеси — с(. Тогда Р ЛТ ' 100 1ОО М М,п, + М,(100 — и,) и, (М, — М,)+!ООМ, Р п, (М, — М,)+ 100М, Р(М~ — Ми) п4 РМ, лт 100 100((Т КТ Последнее уравнение выражает зависимость, изображенную на графике.
Уравнение дает наклон н точку пересечения прн а!=0, которые соответствуют предсказанным. Если заменить и, на пь то получим аналогичное уравнение; при п,=О плотность равна РМ4)НТ, что также соответствует предсказанномузна. чению. а и га за ла и ва и аа и оа ви,мвА !иоз б) См. рисунок. При и, = 100 а(= — '= =1,31 г л '. РМ, 1 ° 82 РТ 0,0821 ° 298 4( — = =О 163 г л РМ, ! ° 4 РТ 0,0821 298 Проведя прямую линию между этими двумя точками, определим, что плотности 0,82 г л ' соответствует со- став смеси, содержащей 5Т,3 мол.в/в Ох.
ии ~ '- 1-2-'~ьт)". а) о!— ~ езр (- †, ти„~яТ! 4(и„ в) Изменение пределов интегрирования несущественно. Если изменить в интеграле (а) нижний предел интегрирования от — аа до О, то результат пе изменится. Значительное различие может быть обусловлено добавочным множителем оз во втором интеграле (б), который появляется потому, что молекулы с величинами скоростей между о и о+4(о включают все точки (в пространстве скоростей) сферической оболочки с обьемом 4ло'4(о. Аналогично интеграл (б) вычисляется в сферических координатах, когда элементарный объем равен о'з(п О 4(о 4(О 4(ЗЬ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
