Л. Лабовиц, Дж. Аренс - Задачи по физической химии с решениями (1134453), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Вычислите частоту (см ') третьей липни серии Пфупла (и~=5) в спектре атома водорода. Постоянная Ридберга для атома водорода равна 109677,76 см-'. На основе принципа запрета Паули покажите, что максимально возможное число электронов на оболочке М (п=З) любого атома равно !8. Два пучка волн могут быть охарактеризованы функциями т)т~=з!п(их+ Ы) и фт=з!п(ах — Ы) соответственно. а) Для каждой из этих последовательностей найдите скорость, направление распространения и длину волны. (Примечание.
Определите узловые точки (где ф=О) каждой последовательности и их движение.) б) Покажите, что т)т,=ф~ +Чтт и т)т-=Ф вЂ” фт представляют стоячие волны. Определите узловые точки каждой волны. Постулат квантовой механики гласит, что оператор энергии следующий: — ( —.) ( — ), где ! — время. ( 2ти' ) ! дт ) ' а) Определите зависимость собственной функции энергии от премепи? (Другими словами, какая функция является решением уравнения — ( —.) ( — )=Еф?) /т 1/д01 2п/ )! дт ) б) Если т(т — собственная функция оператора энергии, то как будет зависеть от времени плотность вероятности )т(т!т? Как полученный результат помогает раскрыть важность собственной функции энергии, особенно в химии? В классической механике энергия частицы дается / рт 1 уравнениемЕ=( — )+1'(х), где р — импульс и У— ~ 2т ) потенциальная энергия.
В квантовой механике оператор (Н), соответствующий энергии, может бытьполучен заменой р на оператор (в одном измерении) ()() — — а) Сделав такую замену, получите вы2пт ) 1 дк /' 159 Квантовая ломия и соектроскопия Глава Х!г ХЧ-17. ХУ-20. Частица Масса нг, г данна !а! ХУ-18. 1А 1 см ! м 1) Электрон 2) Молекула Нт 3) Шар 9,11 !О З,З0 Юеы !00 ХЧ-21.
ХЧ-22. ХУ-23. ХЧ-19. ражеиие для оператора Н. (Следует отметить, что квадратный оператор означает действие оператора дважды.) б) Постулируем (задача ХЧ-15), что энергии также соответствует оператор †! †.)! †). Со!2яг)!дс)' четая предыдущий результат с этим постулатом, получите уравнение в частных производных, включающее зависимость волновой функции тр как от х, так и от й в) Заменив в этом дифференциальном уравнении функцию, полученную в задаче ХЧ-15(а), получите дифференциальное уравнение, не содержащее 1.
(Примите, что ф не зависит от у и г.) Ниже приведено независимое от времени одномерное уравнение Шредингера: ( —,,"')( —",9)+ У( И=Еф. где 1' — потенциальная энергия. Хорошо известно, что только изменение )г имеет физический смысл; ничего в сущности ие изменится, если к У прибавить постоянную величину. Покажите, что произойдет с уравнением Шредингера при таком изменении У; почему эффект несуществен? Частица с массой т двигается в одном измерении, ограниченном по оси х между х=О и х=а. Потенциальная функция О, Ох(~а У(х)= оо, х(О или х>а а) Получите набор волновых функций ф для этой частицы, которые ограничены и непрерывны везде, включая х=О и х=а, а также удовлетворяют урав- нению Шредингера — ( — ";.)( — ';",)+ У(.)ф=Еф.
Найдите величину Е, соответствующую каждой функции. б) Установите, будут ли эти функции собственными функциями оператора момента количества движения 1 —.)! — 1. Если это так то найдите соб! 2и! ) ! д» ) ' ! ственное значение, если нет, то объясните, почему более одного момента соответствует одной функции. Частица с массой т заключена в одномерный ящик с началом координат в центре ящика. Ящик ограни- чеи длиной от — — до †.
Потенциальная энергия а а 2 2' 1 Π— — ~х(— а а 2 2 )г (х) — ~ 2 а) Напишите уравнение Шредингера для этого случая, введя отдельные уравнения для частицы внутри и вне ящика. 6) Предположим решение (внутри ящика) в виде ф (х) А з)п (сх) + В сов(сх), Приведите правило, которое определяет все возможные с, и для каждого возможного с укажите условия, при которых ф удовлетворяет уравнению.
в) Выразите энергию через с. Каждая из следующих частиц заключена в одномерный ящик (см. задачу ХЧ-18). Для каждого случая вычислите: а) энергию (эрг), соответствующую низшему уровню энергии (п=1); б) разность (Ес — Е!) между низшим и ближайшим уровнем энергии; в) количество уровней с энергией меньше средней тепловой энергии — йТ (при Т=ЗОО' К). а) Выведите собственную функцию оператора момента количества движения ( —.) ~ — ) с собственным ! 2иг ) 1дя) значением р. б) Покажите, что линейная комбинация такой функции с собственными значениями ~/2тЕ и — ~/2тЕ эквивалентна каждой из собственных функций энергии, найденных в задаче ХУ-18.
Обсудите связь полученного результата с задачей ХЧ-18(б). л Согласно соотношению де Бройля, р = —, где р— импульс и )с — длина волны. Проверьте, действительно ли длина волны, полученная из соотношения де Бройля, является длиной волны, представляемой собственной функцией тр, полученной в задаче ХЧ-21(а). Примите 1) разность между двумя возможными моментами в задаче ХЧ-21(б) как меру неопределен. Глава ХУ Квантовая «имия я спекгросяопия ХЧ-24. ХЧ-28.
ХУ-26. ХУ-29. ХЧ-26. У=У,>О, У = У,=2Уп х( — Ь или х> Ь ХЧ-27. ХЧ-ЗО. зев, !360 ности момента частицы, Лр = 2 У 2тЕ; 2) разрешенный интервал а как меру неопределенности положения, бх=а. Вычислите Лр Лх и сравните результат с принципом пеопределеипости Гайзенберга. Рассмотрите волновую функцию 9 для одиомерпой задачи. Для того чтобы )ф!'е(х представляло действительиую вероятность нахождения частицы между х и х+ с(х, ) !ф!'с(х должен быть равен 1; обычно этот интеграл представляет просто вероятность иахождепия частицы в любой точке. Это условие может быть удовлетворено умножением волновой функции иа подходящую так называемую нормировочную постояииую.
Полученная волновая функция называется нормированной. Преобразуйте волновую функцию, получе~пую в задаче ХУ-18(а), в нормированную функцию. Частица с массой т в одномерном пространстве ограничена в положительном направлении оси х потеициальиой эиергией, так что У(х) =О, х > 0; У(х) = =со, х ( О. а) Найдите набор волновых функций для этой частицы как собственных функций энергии. Какие ограничения (если оии есть) должны бытьиаложеиы иа энергию для того, чтобы получить приемлемый набор фуикций? б) Установите, будут ли эти функции также собствеииыми функциями момента движения. Интерпретируйте физический смысл получеипого результата.
Дана потенциальная энергия частицы: У=О, — а(~х~(а — Ь~(х( — а или а < х--Ь (Ь=2а) Изобразите схематически распределение уровней энергии для частицы. Покажите различия между большим и малым расстоянием между уровнями. Объясните Ваше заключение. Частица с массой т движется по оси х со следующими потенциалами: Область 1 х(0, У=-оо; 2 0 ~ ~х ((а, У = 0; 3 х>а, У=Уо Найдите ограиичепиую и пепрерывиую волновую функцию, удовлетворяющую уравнению Шредингера, для предельного состояпия частицы (Е ( Ув).
Первая производная должна быть непрерывна везде, кроме области бесконечно больших У. Функция будет содержать параметры, которые должны удовлетворять некоторым уравиеииям. Напишите эти уравнения, особеиио уравпепие(ия), которое(ые) определяет(ют) возможные значения Е (иет необходимости находить точные значения этих величин). Для жесткого ротатора с вынужденным вращением в плоскости отиоситсльио фиксированной точки, ио ие испытывающем действия других сил, энергия равна Ее/2!, где Š— угловой момент, 1 — момент инерции, Е соответствует оператор ( —.)~ — 1, где !ь — угол !2п!~~дф)' между ротатором и осью х. Найдите: а) оператор, соответствующий энергии ротатора; б) разрешеииые энергетические уровни и собствеииые функции эиергии этого ротатора.
(Помните, что 9 должна иметь единственное значение.) Простой гармонический осциллятор описывается в квантовой механике диффереициальиым уравнением (з ве )! д е)+ э Ах'ф=Еф, где Ь вЂ” постоянная Планка, т — масса колеблющейся частицы, й — постояпиая восстанавливающей силы, х — смещение частицы из равновесного положеиия, ф — волновая функция и Š— энергия осциллятора. Покажите прямой подстановкой, что каждая из следующих фуикций (а и б) является решением уравиеиия (1) при условии, что постоянная а (или Ь) имеет некоторое значение.
(Функция я? является решением уравнения (!), если вся левая часть преобразуется в Е, умиожеииое иа ~~.) Для каждой функции выразите а (или Ь) и Е через й, т и Ь и затем выразите Е через классическую частоту ч, где ч = ! ~/ ц а) ф в-ал'. б) 1 в-эх' 2п Согласно волновой функции гармонического осциллятора ф~ (задача ХЧ-29), частица может находиться в области между х= — оо и х=оо, ио наиболее вероятно вблизи х=О. а) Найдите длииу Лх, такую, что ! если х = -~- — схх, то ф УменьшаетсЯ иа 107в (от ее величины при х=О). Выразите результат через эпер- Квантовая химия и соекгооскоиия 162 Граве ХУ ХУ-35.
ХУ-З1. ХУ-32. ХУ-36. ХУ-ЗЗ. ХЧ-37. ХЧ-38. ХЧ-34. гию Е и другие необходимые параметры. б) Согласно классической механике, импульс колеблющейся частицы изменяется между 1гг2тЕ и — )с 2тЕ. (Докажите это утверждение.) В квантовой механике для импульсов так же, как и для положений, нет резких пределов, но все же правильно принять Ьр = 2 )(2гпЕ за область, в которой вероятнее всего находится импульс частицы. Вычислите Арах и сравните результат с принципом неопределенности Гайзенберга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
