Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв и др. - Задачи по теории вероятностей и математической статистике (1134034), страница 7
Текст из файла (страница 7)
3 4 ; 2.18; 2.25; 2.31; 2 . Л ;m|U|П. Найти интервальную оценку для дисперсии коэффи11 и» 1111 • mi (Кости, отвечающую уровню доверия 9С%, считая ошиб»н и он р"пия нормальными.1 4 , 4 . В результате 50 испытаний обнаружено, что в сред; Н#" ИА подготовку выстрела уходит 5 с при среднеквадратичны уклонении 1.2 с. Построить интервальные оценки для матсH|tK4B<iKoi'() ожидания и дисперсии, отвечающие уровню доверия| читан, что время для подготовки выстрела - нормальнаяМучпйнаи величина.§Т5.
Точечные оценкиеI I'i.I, Пусть 9- число успехов в 1Ъ независимых исгыtAii • ч- Бнрнулли, Р - вероятность успеха в одном испытании.1ИМму* ". методом наибольшего правдоподобия оценить параметр, Показать, что получанная оценка является несмещзнЩ'И и ' mi гнительной.Г |9*2. По выборке Ki,... , Кц, объема fb методом наиiMIiiet o щшвдоподобия оценить параметр распределения Пуассо•14. ЦвКввать, что полученная оценка является несмещенной иI 'II- |П4Тельной.' l*i.J.
ГЪ независимых измерений OCi,...величинырполучены при помощи ^различных приборов. В предполо(»НИИ. что ОС{. 6по измерениям'1%, методом наибольшего правдоподобия найти оценку /лН н л н , что полученная оценка является несмещенной,и вычиг»*tI • лиеиерсию.' l't.4. При измерении давления были получены следующие1у«ьгяты: 3.12; 3.1; 2 . 9 ; 2 .
8 5 ; 3.17; 2 . 9 7 ; 3 . 0 8 . Найти•Нмвчшшие оценки математического ожидания и дисперсии дав|*НИ4.391 5 . 5 . Пусть•!,„., ft- независимые, одинакораспределенные случайные величины с конечной дисперсией. П<зать, что для любой оценки среднегоимеет местопричем равенство достигается лииь при u ^ s t / h , , 1= 4,.,., Л1л I1 5 . 6 . Известно, что статистика 0 £ = г — т f t )f4* ^ ^ ^ ,гдеявляется несмещеннойоценкой с минимальной дисперсией параметра б п р и неизвесном р.
Показать, что для смещенной оценкипараметра UЛ*- справедливо неравенство1 5 . 7 . Пусть ^распределения- выборка объема 1. из пуассоновокогоК=С,1Э... . Показать, чтоне существует несмещенной оценки для1 5 . 8 . Выборочные значения X j , 1 =описываютси равномерным на интервале (о,а)распределением. Методомнаибольшего правдоподобия найти оценку параметра ОС. и показать ее достаточность.1 5 . S . Показать, что суммарное количество частиц Ы ( ^ ) зпуассоновской модели излучения и суммарное количество части^вМ tOмодели излучения радиоактивного распада с распределением по спектру энергий= /((£)>02Г, d j ^ i39я/1J~iявляются достаточными статистиками относительно параметровраспределенийи(см.
задачи 12.2 и 1 2 . 4 ) .§16. Линейный анализ регрессий16.Т. Пусть O i t и- истинные веса двух предметовпусть (абсол.^) ошибки 5"- взвеаивания случайны, независимы,3имеюто и "jbS't - S ; {.-=1,2.,... . Найти оценкивесов oii. и oIjl и их дисперсии для каждой из трех стратегивзвешивания:40ft V ^ + S l ,0,4W*^}^*^^H u m и 1 стратегий предпочтительнее ?I (I.Z.
Инструментом длины стержней измеряются без систе^мчяпяого отклонения с дисперсией б"*" . Для оцениваниядну* стержней разрешается произвести всего два измереN11 Укппать способ оценивания длин стержней, который по•МИеиив о обычным измерением - отдельное измерение каждоIм ивршня - дает более высокую точность оценивания длинУ 1С.
5. Тело двигается по законуОпараметры(| 1ИМИИ4 ( 1 ) . It,, V', 1гЬ+оЛ^/Х.согласно измерениям в момен-i = l , . . . , 6 C : k(i)=tOO,A(Z)=9S,M.ft (4) - 70 ^ b(s)=44,вН|МНИМитк точность оценок fi,„, IT, Л .I Впредположении, что все 5{ независимы и одинако• рвопроделены с М ^ = 0и= б\43M R V M ия результатов измерений0,15=0.-3^ +51,«г.
О? = 0 , - 4+ <!£ ,в. зз = cL+i€+Sj..Щении для коэффициентовб"*" методом наименьшихиммиитоп..у1 If>/>. В задаче 16.4 принять, чт JV Ю о 0 )иниити дчперительные интервалы для C L t Sб"* t а такжеиЦМритпльный эллипс для точки (d,-в)с коэффициентом дояи|'ия 0 . 9 5 .Ь 16.(>. Используя результат теоремы Гаусса - Маркова дляИММИ измерений\а Л ' Г ,A ) ,«*Н6 ?V -• 1,где К^И/,^ =линейно независимые!•>• I "|1<.
найти несмещенную оценку с минимальной дисперсией Yа такжеМй Иличини У~2-2Сх°<х>Дисперсию, С^ вямннкп числа.411 6 . 7 . Точка движется равномерно и прямолинейно. В моменты времени= 0,1,2,3,4 зафиксированы следующие значения ее координат ^ = * > „ + v i + oj.- координата точки вмомент I = О, V - скорость) : 12.98; 13.05; 13.97; 1 4 . 2 2 . |Предполагая для ошибок измеренийМСОГ^^г-б^-ь'^найти несмещенные оценки с минимальными дисперсиями для £ вV.1г1,1, ЬОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЯМю=1/Д к А 6 ,С= лЬ^_ попадание в концен-(со 1 ыдо с радиусамии I j , Е - попадание в кономн> кольцо с радиусами ^ч и ^г .1,1,.
„, J , АА 2 А... АДк. = A H V A i U ' . . . V A l v =<0 A ^ A J J - V A * . ш)\>го событие можно записать в виде объединения не•'чихоя событий:_А1ПАгП...аА^ + A i f l A ^ A j , . . .ft К*- - * A t л Аг д - a K - t а Ак, - с*,,г) либо детали не имеют дефектов, либо имеет дефект1ь, либо две: Со. + Cg + С е ,/;) ие имеют дефекты две детали или больше, чем_двел, п... а Ак+\ а д г - а А к + - + A t a - и а ^ П А ^п) точно два изделия дефектны A 4 0A l {V(A 3 nA 4 ...АГ(А*В>г*-р-г, Р(АПВ>|"-$, Р(1п1)=1-е.Пространство элементарных событий: (ГГ), (РРХР),...
92П?{эл. событие} * I, где Г - выпар - выпадение решки, а) 15/16, б)2/3.4sИскомая вероятность равна C ^ ' S . / 7 ~ 0 . 1 5 .Пространство элементарных событий состоит из всехпо 6 карт из 52-х.2)(сi(c;y(ci)4c}(ca*(cavci,определяется из условия 4-4-«О Р'434сДс*S3..11.Ск-1 Сц-кq Z•2.5. р ~ "„p - i - C J U / C ^ * » -_rНг...2^ " * *z пЦ-А г гЛ-Л /г 2.ги/ О*,*, .р-КЭДУсЯ-МЙГ-q2 .
1 1 . Вероятности равны:0.492 . 1 2 . Воспользуйтесь формулой Стирлинга.2.13. р = l / C i i - t .2.14. р =iНА_ 5 • б )лл к !...2о. 1 6 . а)л'•С*') ч— ^шЙГ; в)И1-2) ; г)Р,0 <2<0.5" .г2 . 1 8 . а)(а-П)Уа ; б) 1 - 4 ^ .2.20. а)^-вг2 . 1 7 . а)1-(1-#;Д)l / C a .2 Л 9.1-(1-^)г; б) 0 .2.21. Е с л и £ > % ф о < * * К , т оеслиО<?%^,0*Х4к,тоесли Xр =, у- - любые другие, то р = 0 .2.22. 1/4-г.гз.:)р = ( 1 - Ш Т3Р - е2 . 2 4 . Пусть y = m i n .
{ft>,M} . Искомая вероятность р=44m. />к-т. , гnм+1г.rfQ2.25. ( 4 - m . / r O \(i-o.oi)2.26. p =zsi 0 0.o.b66..y i2.4 ^•- vjo/V-IS •3 . 2 . а) 1 - ^ Я г Я з - , 6 )в) p.p,3.3.) ( l - V W V d - ^ O ;3p=4-fe/-0 .3.4.3.5.P<)>г•T # e*вероятнее, что С попал в мишень.РСМ1А>Й-3 . 6 . Р(А|БР.)=.2.5/69, Р(В|Бр.) = 2 ^ ,3.7.11/17.зло.3 . 8 . P = P/f»-?p).3.9.Р(С|Рр.>«/69.С|/Се.p - M f t f f M l - f f i l .sЭ.Н. p = 0 - ' -3.12.р(А1В)4-Е.P-t3.13. M t h { P f l O , P № ! h o .
3.14.р=0.г.3 . 1 5 . Оба «ври имеют одинаковую вероятность вынести правильное решение.3 . 1 6 . р(Б) = 0.52. 3 . 1 7 . I)2)2 - черных и 3 - белых.р - 42/125.3 . 1 8 . Одинакова.3 . 1 9 . Р = тГЙГЧГr3 . 2 0 . а) Р ( A 1 l / A x U - l / A h . ) = l - P ( A 1 U A J J - - V A ^ ) =<0 а-рОО-р»)- (1~Р->>451-в) А = A t f t А г А - П А ц . + A J \ А г П А а ft... П. Д * „ + - +3.22.ftft^CL^t-e*).4.2. N ~ 15000.+c4 . 3 . Вероятность поражения цели равна l - ( t ~ p " P V ) .fyj trv>t" ЯЪ4 . 6 . Искомая вероятность равна С h. р t ( l ~ P i ), гдеP i = ( H > ) £'4 . 8 .
Воспользуйтесь решением предыдущей задачи.4.9. 1 - ( 1 - р )г4.10.(1-р)40 05.1. р = 0 . 0 0 6 , 1 ^ = 1 0 0 0 , ^ = h . p = б,5-2-^ = so/soo=0.19к-г5.34а) p x O . l i S ;0.6??.6Кеfe^Val*0.0001SS.2ч M-^ioS".5.4. 5 .5.5. Z Z 1 ^ € ^ 0 . 0 0 0 3 ,5.6. 1 0 7 0 0 0 .5.8. p = H / b 6 S - 5=от0.049?,5.7. р = 1 .П.-200,^ ^ Р ^ - ^ Ь Р ^ М Ьp ( M ) * o . o i w , 2р(?-,о) + p(4,i)f+ 2 pd,o) f р ( о , о ) = 2 *0.901.6.1.
Р - $ ( - » > » 0 . 0 0 1 5 .6 . 2 . а) р = 0.00С0;б) р = 0.5; р ~ 0 . 9 9 5 .6 . 3 . Предположив, что вероятность совпадения 1/2, получим, что вероятность каждого отклонения большего, чем получпиное в эксперименте, равна 0 . 4 5 6 . Полученный результат непротиворечит случайному совпадению.6 . 4 . Если зрители приходят парами, то число мест в гармробе равно 558, по одиночке - 5 4 1 .(О,2 * 0 ,2/1, 0 < 2 6 l ,'•I-l/W?-i)/*, ,О ,«О F l t ^ v M1 < г* 2,ZiО,1/г+( 3 -i)/i 5 К.2*5/4,l i ,{о,7 . 3 .
а) р^р^)^о,,Г)x - s - w - f V6} Г> / N(0.S-, 0 < ж < 1 ,P ^ t d / f c * ) ,47x>i,,ГУD^12^(i+x -)7 . 7 . А)ПЛОТНОСТЬ2+= Р с ) 5 ЯW*У=^ 0 0СХV Р'^'*— Оо-ОО<0=ПЛОТНОСТЬ= pft) ( 1 - №f o ,+0,q , 0 0 ( M7 . 8 . A ) T . ( * > ^ ( O C - 4 / I ) , I < 3 C < 2 , Б)L7.14. P0}- ^Y>-xius/• 0,ЭС>5*,(cj_p )OC>3,..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
