Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв и др. - Задачи по теории вероятностей и математической статистике (1134034), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Предполагая, что источник излучения изотропный и что частицы32фаашфувтоя детектором с вероятностью 00 , найти вероятностьI. что детектор за время ~Ь зарегистрирует Ъ частиц.12.II. Измерение излучения осуществляется до накопленияимреиг «енного суммарного количества частиц N(t") = t . Пока••ft., что вклады парциальных потоков в случае пуассоновскойИМ»ли излучения и модели излучения радиоактивного раопада сенр<1двлением по спектру энергий GLj = К^71р®/* - описываются распределением вероятностейУ,'.12.
Для пуассоновского процесса~Kl^пP{Nft)=kj=, К«ОД,_ , начинающегося в нуле P { A / ( 0 ) = 0 j =щучпиный момент Т м достижения целой положительной величину М определяется из Р= Р{* М}мютнооть распределения Т*м и среднее значение.Найти7м.1 2 . 1 3 . Рассмотрим два независимых пуассоновских процесса, начинающихся в нуле:3Ияйти распределение вероятностей случайной величины,^ A/^fe),|Ц7'м - случайный момент, определяемый из1 2 . 1 4 .
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, рассмотренной в предыдущей задаче.I/.I5. Пусть- сумма К. независимых случайных величин ^ , одинаково распределенных по закону, полученному вМДаче 1 2 . 1 3 . Найти распределение ^ h . и относительную точиооть:М К -12.16. Показать, что из среднеквадратичной непрерывности процесса в точке t0вы-l-*ioотохастическая непрерывность процесса в точкет...limi -»teP { | £ f t ) - ^ ) / > e } = o ,,£>о.1 2 .
1 7 . Показать, что пуассоновский процесс и процесс33радиоактивного р а с п а д а с т о х а с т и ч е с к и непрерывны в точках1 2 . 1 8 . Гильбертов случайный процесс-оодифференцируем в среднеквадратичном в токе "to , если существует?А-*о-п.Случайная величинаназывается среднеквадратичной производной случайного процесса ^ ( О в точке Ьо . Показатьчто М ^ tt)=^£ &и производная справа существуе12.19.
Доказать, что у нормального стационарного марко:01ского процесса корреляционная функция равна~,с 1 > 0 (теорема Дуба) .1 2 . 2 0 . Найти распределение случайной величины:где ^ ( f ) - координата броуновской частицы, при t= Онаходившейся в начале координат.1 2 . 2 1 . Найти распределение случайной величины S ( О ,где ^- момент достижения броуновской частицы максимальнойкоординаты в интервале ( 0 9 £ ): % (S)§13.
Распределение ортогональных проекций. Понятиео задаче статистической проверки гипотез1 3 . 1 . С 187I по 1900 гг. в Швейцарии родилось I 359 67мальчиков и I 2 8 5 086 девочек. Используя критерий 3 6 " провв'рить две гипотезы: первая - вероятность рождения мальчикаравна 0 . 5 1 5 , вторая - вероятность рождения мальчика равна0.5.1 3 . 2 .
Стальная проволока выдерживает в среднем растягивающее усилие« 6 7 2 0 кг/см^. Стандартное уклонение* £Г отдельных образцов от этого среднего равно 2 2 0 кг/см^. Известно, что в отношении растягивающих усилий 9С£ , выдерживаемыхотдельными образцами проволоки, имеет место нормальный законраспределения. Результаты испытаний двух партий проволоки* Стандартное уклонение - то же, что среднеквадратичное уклонение. Термин употребляется в математической статистике.34•••тин в таблице:^1-я партия ( O c f )2-я партия (ОС* )г,3006900715072806670713069507120d7206690723066906900675072407070678065607090695067806700680065906780693070006890672067207070691066306950670066306660696071407220^|||М»вно ли на основании этих испытаний утверждать, что обе[•Аргии проволоки требуемого качества и результаты испытаний^Ндуят объяснить случайностью выборки? Воспользоваться криfариям %.13.3. Известно, что определенный сплав не поддается|йр|>ояии п среднем в течение 8 7 5 дней со стандартным ^.онеиаам, |in иным 8 5 дням.
Указать, какое количество листов данопяпва должно быть подвергнуто испытанию, чтобы с веро•ТМШ1Т1.» 0 . 9 0 ожидать величину уклонения от средней не больаа, чем на 5 * .I ).4. Приводимая ниже таблица дает среднюю длину 0С о••Инн пукувки вообще, среднюю длину ОС; яйца кукушки, поломанною к гнездо определенного вида птиц и ошибки измерений| иияп оценок стандартных уклонений. Измерения производилисьУ МЯИ|П обнаружить разницу в размерах яиц, опускаемых кукушка * гнезда различного вида птиц.ИШрЯи»———————— —! Число измерений! Средняя длина! СтандартноеОтктпнные яйца!! в мм! уклонение(п-о, п.ОIС0со,0С^ ! C g - 0 > 6 - QПообцеI й видИ видI и вид1572911155822.321.922.422.60.960.790.760.86шшштт пшч I —|ино»1.1ун распределение Стьюдента, проверить на уровне значиИИРТИ d « 0 .
1 1 гипотезу о том, что разница в длине размеров|ЙН нукушки от птиц L-го вида носит случайный характер,1=1,I1.351 3 . 5 . Чтобы проверить, оказывает ли влияние на прочноебетона особый способ его приготовления, были взяты 6 выбороразделены случайным образом на две группы и из каждой выбор;был сделан пробный куб, причем выборки из группы II подверг!лись особой обработке. После готовности кубов определили ихсопротивление на сжатие, получив следующие результаты опытаБетон I290311284Бетон II309316318Используя распределение Стьюдента, проверить на уровне знач|мости сС = 5$ гипотезу о том, что бетон обеих групп одинаков<прочен.1 3 .
6 . Были взяты 16 клубней картофеля и к каждому клуб!были применены два метода измерения содержания крахмала. Втаблице даны численные результаты - разности между проценто»содержания крахмала, определенного I и II методами.*I234! *Разности5670.20.00.00.10.20.20.38-0.3Разности910II0.10.20.30.0-0.10.11213141516-0.20.1С помощью критерия Стьюдента проверить гипотезу о том, чтооба метода не дают систематического различия в определениипроцентного содержания крахмала. Принять ot = 0 .
0 5 .1 3 . 7 . Для того чтобы исследовать эффект использованияспециальной сеялки, десять участков земли были засеяны припомощи обыкновенной сеялки и десять соседних с ними участковземли были засеяны при помощи специальной сеялки. Затем сравнивались полученные урожаи зерна, причем пару составлялидва соседних участка.№ парыI23Специальнаясеялка8.08.48.0Обыкновеннаясеялка5.67.47.336Разница вурожае2.41.00.7^6.48.67.77.75.65.66.2—6.4.7.56.16.66.05.55.5Q»GI.I1.6I.I-0.40.10.7критерия Стьюдента на уровне значимости <к ••ИТк гипотезу о том, что специальная сеялка не увеличиуроаай, двумя различными способами, определяя:(О отличия от нуля разности урожаев;d) различия среднего урожая на полях, обработанныхаьиой сеялкой, и урожая на полях, обработанных обычной•«•а.ии11, почему получились разные результаты.И.м. И процессе производства электрические счетчики о•ииоя диском были отрегулированы для того, чтобы син~яириплть их работу со стандартным счетчиком. Проверка•Чичиков, заключающаяся в определении их постоянной с поlb* точных ваттметров и секундомеров, показала следующиеlu«Mfttu:IifHHRMI-.--х—0.9831.0020.9980.9961.002Счетчики678910х——0.9830.9940.9911.0050,986постоянная, характеризующая стандартный счетчик, взя||1ной I.0000.
Можно ли отклонения от стандарта рассмат•к кпк случайные или, напротив, результаты указывают наI)мочтолнные отрегулированных счетчиков систематическиииютом от постоянной стандартного счетчика? Ответить наВвЛроо, проверив гипотезу о том, что десять измеренийIT случайную выборку, извлеченную из нормально распреin гпнеральной совокупности со средним= I.OCOO.Ifkрпвным 0.05 и равным 0 . 0 2 .11.'J. Во время второй мировой войны на Лондон упало 537»епя-'скпряаов. Вся территория Лондона была разделена науЧАоткпв площадью по 0.25 км'.
Ниже приведены числа37участковГС^к, на которые упало К самолетов-снарядов:К"> к:::Q:j:з^5* — а — ^ — ± — + — =2 — 4 . — d — 4 . — 2 — + — d —: 229 : 211 : 93: 35:7:IПротиворечат ли эти данные гипотезе о том, что число снарядоупавших на каждый из участков, имеет распределение Пуассона?Принять ot = 0 . 0 5 .1 3 . 1 0 . По официальным данным шведской статистики в Швеции в 193'.> г. родилось 8 8 273 ребенка, причем в январе роди0лось 728С человек, в феврале - 6 9 5 7 , в март - 7 8 8 3 , в апреле - 7 8 8 4 , в мае - 7 8 9 2 , в июне - 7 6 0 9 , в июле - 7 5 8 5 , в августе - 7 3 9 3 , в сентябре - 7 2 0 3 , в октябре - 6 9 0 3 , в ноябре6 5 5 2 , в декабре - 7132 человека. Используя критерий, проверить, совместимы ли эти данные с гипотезой о том, что деньрождения наудачу выбранного человека с равной вероятностьюприходится на любой из 365 дней года.
Принять ot0.1$.13.11. Найти критическое множество для проверки гипотезы Н 0 о распределении случайной величины ^ с плотностьювероятностей/-v'\I*!*-*-,Сэ0nР%-"1 О, | % | > 1против альтернативной гипотезы Н ^ . предполагаюсь нормальное распределение случайной величины ^ приО, бесли для проверки гипотез используются результаты одного наблюдения. Вычислить мощность полученного критерия. Уровеньзначимости d . принять равным 0 . 0 5 .13.12. Случайная величина X имеет нормальное распределение jyTfOjd).
Определить критическое множество для проверкигипотезы Не 6 ^ = 6 о против альтернативной гипотезы H tб б ,используя выборку И/ наблюдений ОС= ("Х±,"Х^)этой случайной величины, уровень значимости Ы. задан.1 3 . 1 3 . Случайная величинах имеет нормальное распределение. Проверяется гипотеза Н 0 : (Л = о против альтернативной гипотезы H i :на уровне значимости оI =- 0 .
0 5 . Сколько наблюдений необходимо, чтобы мощность критерия была не меньше 0.90?§14. Интервальные оценки параметров нормальногораспределения1 4 . I . 7 независимых равноточных измерений жесткостивала дали резу.-ьтаты: 6.54; 6.38; 6.44; 6.51; 6.35; 6.47;38jfii Нести интервальную оценку для математического ожидания1H I " " |и, отвечающую уровню доверия 95%,считая ошибки изме-[ИЙМ* нормальными.|4 '. R результате 100 испытаний обнаружено, что в средН и |*ftи службы детали составляет 10000 ч при среднеквадраНципи отклонении 15ч. Найти вероятность того, что абсолютIfjg ниокп в определении математического ожидания будетВпцикг *> ч и дисперсии - меньше I ч, считая, что срок слулЯ« цмIмпн • нормальная случайная величина.* I'i.I. 8 независимых равноточных измерений коэффициектаНЦвИшти лили результаты: 2.12; 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
