Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв и др. - Задачи по теории вероятностей и математической статистике (1134034), страница 5
Текст из файла (страница 5)
1 . Вычислить характеристические функции для следующих законов распределения:а"} равномерного распределения в интервале ( - a , f t ) J6 ) биноминального распределения;в") распределения Пуассона;^1 ' г") распределения Коши: р(ос) = —^ . ^ а . '•>1 , л) показательных распределений с плотностями0Х< 0D ГтЛ- f>">a xi a e ~, 0 0 , 0 , а>о,,ос|РгОО = </ге"iг(х-а)ё) нормального распределения1 : р(х)=.V 2 3 C 6"1 0 . 2 . Для случайной величины ^ вероятность событияК = 0,1,1,... определяется вероятностью достиженииpinaxoR в схеме 1Ы-Киспытаний Бернулли с вероятностью усимши р . Найти закон распределения ^ 9 f ^М|.10.3.
Доказать, что для вещественкокхарактеристическойфункции справедливы неравенства:ь)г1 = 0 , i , а,...,й) 1 +{ищ .10.4. Доказать, что следующие функции не могут бытьM j m к туристическими функциями:-lilt1.%<0 е,i- u i c 'б) вещественная функция, не обладающая свойствомf i - t M t u if / l Nо,г)=m > i ;1CosC-t ).' 1 0 . 5 . Установить, будет ли выполнена центральная препон 1.чпя теорема для последовательностей взаимно независимыхпиутйных величинс указанными законами распрел> пиния вероятностей:«О Р и «в**кЫг>10.6.
Показать, что функция распределения случайногоk mN t t = IW= ; *Пр0Ц( оса с1т) =7'r\f мм\1процесс с мощностью CJ,- :=где.,/nпуассоновскийK(<H0 -<*+,- ^ j - £ з к=0,1г-. при{.-»<*>,онолится к функции распределения стандартного нормальногопроцесса.1 0 . 7 . Игральная кость подбрасывается до тех пор, покаОПачи сумма выпавших очко?, не гфевысит 7 0 0 .
Оценить вероятиооть того, что для эгого потребуется более 2 1 0 бросаний?И*н*е 180 бросаний? от 190 до 2 1 0 бросаний?41 0 . 8 . На улице стоит человек и продает газеты. Иредпо«оним, что каждый из проходящих мимо людей покупает газету сВероятностью 1 / 3 . Пусть ^ означает число людей, прошедшихмимо продавца за время, пока он продавал первые 100 экземп-27ляров газеты. Оценить плотность распределения £§11. Конечные однородные цепи Марковадин шаг вI I . 1 . Вероятности перехода зоазадаются матрицей ( 1/31/31/30Уг1/2001/41/401/2i/гс1/20Найти:а) число состояний;б) за сколько шагов из второго состояния можно пер<ги п третье;в) вероятности перехода за два шага.11.2.
Точка движется по целочисленной прямой, переходя0за один шаг из точки L в точку L ~ 1 с вероятностью р , вточку L с вероятностьюи в точку L + 1с вероятностью 2. Найти матрицу вероятностей перехода; за оди:иаг; за два шага.V H . 3 . Электрон может находиться на одной из орбит р зачисимости от энергии. Переход с L-й орбиты на /-ю проис<ходит за одну секунду с вероятностьюCi-e*cp(-<*IL-jl)С t,/ =4,2, ...).Найти: а) вероятности перехода за две секунды;7 б) постоянные C j .II.Ч. Рассмотрим цепь Маркова с двумя состояниями £±E.
z с вероятностями перехода Р ^ = р 2 г ~ р , Р 1 2 - Р и ~ 1(0<p<-i,начальными вероятностями р j=P l t ^ H - * . Найхи ( P t < \исоответствующие предельные вероятности pjОI I . 5 . Пусть частица случайно блуждает с единичным uiaroiпо бесконечной целочисленной прямой. Найти вероятность перехода из точки О в точку Уп, за К» шагов, если вероятностьтого, что из общего числа У\. шагов вправо сделано К ша;ов,]задается биноминальным закономс параметром р ? 0I I . 6 . Пусть^,... - последовательность нез* )исимых случайных величин, принимающих значения К - 0,1,2.,,.. свероятностями Рк -.
Вероятности переход!28Nf яимищт от номера испытания и равны|что последовательность величин=•+ " • +i • mil ммрковской, и нпйти для нее матрицу ЗГj вероятностей^fttHnnii на один шаг.- II.7. Пусть £>i> ^ a ' "~ последовательность независимых|||чпИ1Ых величин, принимающих значения +1 и - I с вероятносм«н р и 1 - р . Показать, что последовательность величинЙ^im *8,не является марковской.< I i. й.
Пусть- независимые одинаково распредеминиг олучайные величины, принимающие значения - I и + 1 , соМмтстпе нно с вероятностями Р и 1 - р . ПоложимПеИьЙудит ли последоватлность С п. цепью Маркова? Существует ли|||)ИДП IIР »!,->• ОО?§12. Случайные процессы!!,!. Излучение представляет собой парциальные потоки=мс_ЧИСТиц. различагчиеся энергией Е; ,=j- "иначений Ej , Пусть K ( E j ) - вещественная функция,3. .определенная на Ь> так.
чтоСй»l IХ^Ш3 модели излучения множествоЬ> - спектр энергий, функциязадает распределение наf — tbспектре энергий ё> . Пустьизвестно, что: а) для случайНЫХ в е л и ч и н1 * ** "* • * с*'4i (it) • Равных4*"Vi»-t h.числу излученных частиц с6энергией £ /в непересе(Мшисеп временные интервалы, -С — 4 , . . . ,событияеItyнезависимы;б) вероятность излучения чистиц с энергией Е^свИнтерполе длины iне зависит от его расположения на осиiilHiotm;ri) вероятность излучения одной частицы с энергиейfy*в интервале времени длины Ь при 4.-* О с точностьюHp' .•h-i'hlil' интервалы и длительности в обозначениях нерп )личагтся.29до бесконечно малой более высокого порядке, пропорциональнадлительности этого интервала, а вероятность излучения болеечем одной частицы имеет более высокий порядок малости пс сренениг с Ь , т.е.мощность излучения.:,У с,ь (N.)= I! (N:(L)=У:.)К,/, \M k U W U ' b ) ,Nik)полнееUколичество частиц, излученных в промежуток времени ^.Показать, что для случайных величин N ( L f ) 1 , .
. . у YYL• ч5вт место утверждения:а) события ( N(,it )=...=независимыб)вероятность излучения частицы в интервале времениhiзависят от расположения интервала на оси времени;а)вероятность излучения одной частицы в достаточно маломимrepвале иреыеки t пропорциональна длительности этого интерваля, а вероятность излучения более одной частицы имеетболее высокий порядок малости по сравнению с t :P ( t f ( l ) > ^о.1 2 . 2 .
Показать, чго условия предыдущей задачи определят1) векторный поток N ( ; l ) = ( N ^ ( 1 ) ,Nn(i)),за.даваемый К* -мерным пуассоновским распределением вероятносте!р ( N ^ v , , . . . , к.( * > - * ) -- . ^ f i m i f i4г -Пj«l/2hj'2) полный поток//\Nвек-nvn Ow^ur. I HV/\<( vn» (.с^ I , опиIс\ы'ваемый пуассоновским— распределением вероятностей:.vIумощность потока излучения.I !.'). Обозначим через ( " t ^ ) — Ои (M(i) = 0) события,|Ц*|>м"|И1' в излучении и неизлучении частицы радиоактивнымМнмпм \п время Ь . Используя независимость вероятности не||«уПИ от расположения промежутка i на оси времени и неННВМЯность производной 4 х Р ( т Ц ) = 0 ) , доказать, что p(m(i)=1Й.Ч. Пусть в условиях задачи 12.3В**, Т - период11IMVI" шада. Полное количество излученных частиц (однородна радиоактивным веществом) к моменту временив равно М({)~L | '"«(О.
где сумма берется по М . радиоактивным атомам в•I'i'mminh момент времени 4 * 0 . Пусть~ K ( E j ) - вероятность1М»чп||ИЯ частицы с энергией Е^. € & ,И\ WJi. Предположив, что события, связанные с излуче-ш«м атомов, независимы, получить распределение вероятностей,Ми<ипппцпс векторный поток излучения частицМ(£)=...,№„(!!))1пп«ный потокM(i)*Mitt)t""+M*(4) , где Mj(i)- потокМтии о энергией Ej .| II."э. Пусть векторный поток излучения р1(i) = (M 1 (l),...L M J i ) ) описывается распределением вероятностей:и.о#»)«м.,O i ^ j r ^ M .
,Ншннпть, что парциальные потоки^аг=ЩИАКтнм распределением вероятностейщ« . г ) , С ^ (CLjU-<;"fu(i- a.;(t-* ))0#ГчМо• чк> инбые пары парциальных потоков М{(4), M j (i), L * } ,1|1в1, , Изадастся распределением вероятностей31U^rjS: лпrt ,*'' =" V i t ' j f * По,е >M.!L/M„ "Z/KM.-fc-rj-)!1 2 . 6 . Рассчитать характеристическую функцию пуассонов<ского распределения векторного потока излучения N ( t ) и по:ного потока N W ) (задача 1 2 .
2 ) , характеристическую функцию распределения векторного потока Мрадиоактивногораспада и полного потока М(4) с тем *е распределением поспектру энергий, что и NCf)(задача 1 2 . 4 ) . Показать, v,имеет место сходимость по распределению:,M & ^ / V f t ) при M o * 1 - + О так, что М."* = ty = C o n s * мощность излучения.12.7. Для пуассоновского векторного потока излученияW £ 0 = ( N i C f ) , W n . (i)) с распределением по спектру энерги!иNj (i)мощностью ty найти среднееЙ Nj (i)» дисперсиюи мощности усредненных пар3циальных излучений1 2 . 8 . Для векторного потока излучения радиоактивногораспадаM{i)=(Mj&),..., M ^ d ) ) (задача 12.4 )найти среднее, дисперсиюij=12Ъ Mj[i)§ШиCX)v(M((h)Mjtn> >-> -1 2 . 9 .
Пусть на миаень падает векторный поток частицу N n li))с заданнымраспределением вероятноеМишень пропускает частицы с энергией Е^е g> с вероятностьюР/ •••» ^ • Найти распределение вероятностейвекторного потока излучения, прошедшего через михень. Найтираспределение вероятностей суммарного потока излучения, прошедшего через мишень в случае пуассоновской модели и в случае модели радиоактивного распада (см. задачи 12.2 и12.4 ) .12.10. Пусть в задаче 12.9 частицы за мипенью регистрируются детектором в определенном телесном угле 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
