Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв и др. - Задачи по теории вероятностей и математической статистике (1134034), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Два лица независимо друг от друга имеют равнуювероятность прийти в метро в любой момент промежутка времени Т• Найти вероятность того, что время ожидания однимдругого будет меньше t(О < i.< Т).2 . 2 0 . Пусть ^ , Ч определены также, как в задаче2 . 1 7 . Найти вероятность того, что корни уравнения+ £ = Оа)действительны;б)оба положительны.2 . 2 1 . В прямоугольный треугольник A B C с катетамиАВ = 1 и ВС=К бросается наудачу точка М .
Найти вероятность того, что одновременно происходят событияи^о^сЯ^ , где- длина перпендикуляра, опущенного източки Мна АВ ,- любые.2 . 2 2 . На окружность единичного радиуса наудачу ставятся три точки А , В , С . Какова вероятность того, чтотреугольник A B C остроугольный?2 .
2 3 . 3 сфере радиуса R . случайно и независимо другот друга разбросано N точек.I) Чему равна вероятность того, что расстояние от7центра до ближайшей точки будет не менее Ъ ?2)К чему стремится вероятность, наЯденная в п.1.,если^42 . 2 4 . Из последовательности чисел....> Nотобраны наудачу ^чисел и расположены в порядке возрастания: ОС 4 .<ОС 2 ,< "^ Хц, .
Какова вероятность того, чтоХ Л < М ? Найти предел этой вероятности, когда M 5 N - > ° °так, что M / N — * - c l > 0 .2 . 2 5 . Дворцовый чеканщик кладет в каждый ящик, вместимостью в УХ/ монет, |ТГ1/<1Х фальшивых. Король подозревает чеканщика и подвергает проверке монеты, взятые наудачупо одной в каждом из К ящиков. Какова вероятность того,что чеканщик не будет разоблачен? Рассмотреть случай1КЬ = К= 1 0 0 .2 .
2 6 . Найти вероятность того, что при раздаче колодыв 52 карты четырем игрокам первый из них получит ровно Ипар "туз-король одной масти".2 . 2 7 . Пусть А « , А г » . . . , А ц . - случайные события. Доказать формулы:L=1§3. Условная вероятность. Формула полной вероятности.Формула Байеса<2^ 1Студент пришел на экзамен, зная лишь 2 0 из 2 5вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса.Используя понятие условной вероятности, найти вероятность8того, что студент знает все вопросы.
Найти ту же вероятность, используя классическое определение вероятности.3 . 2 . В изображенных ниже пяти схемах, образующих цепи элементов с одним входом и одним выходом, отказы элементов являются независимыми. Отказ любого из элементовприводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Известна вероятность неотказа - надежность р к к -го элемента (соответственно ( \ к = 1 - Рквероятность отказа) . Вычислить надежность р каждой изсхем.3 . 3 . Разыскивая специальную книгу, студент решилобойти три библиотеки.
Для каждой библиотеки одинаково вероятно: есть в ее фондах книга или нет. И если книга есть,го одинаково вероятно: занята она другим читателем или нет.Что более вероятно - достанет студент книгу или нет, еслиизвестно, что библиотеки комплектуются независимо одна отдругой?3 . 4 . Стрелок Д поражает мишень с вероятностьюРд=0.б ,0отрелок Ввероятностью р в = 0 . 5 и стрелок С- с вероятностью рс = 0 .
4 . Стрелки дали залп по мишени и двепули попали в цель. Что вероятнее: попал С в мишень илинет?3 . 6 . Шместно, что Ъ% всех мужчин и 0.25? всех женщин - д & о т о н х к и . Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Кмова вероятность того, что это мужчина? (Считать,что количество мужчин и женщин одинаково) .91.6. На фабрике, изготовляющей болты, машины А, В .Спроизводят соответственно 2 5 , 35 ивсех изделий.3 их продукции брак составляет соответственно 5 , 4 и 2%.Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным.Какова вероятность того, что он был произведен машиной А ;машиной В ; машиной С ?3 .
7 . Известно, что вероятносто случая: два близнеца одного пола s; 0 . 6 4 , причем вообще вероятность рождениямальчикам 0 . 5 1 . Найти вероятность того, что второй изблизнецов мальчик, при условии, что первый из них мальчик.3 . 8 . Вероятность того, что письмо находится в письменном столе, равна р , причем с равной вероятностью ономожет быть в любом из восьми ящиков стола. Просмотрелисемь ящиков и письма не нашли.
Какова вероятность, чтописьмо в восьмом ящике?3 . 9 . Бросают три кости. Какова вероятность того, чтохотя бы на одной из них выпадет одно очко, если на всехтрех костях выпали разные грани?3 . I C . Известно, что при бросании 10 костей появилось,по крейней мере, одна единица. Какова вероятность того,что появились две или более единицы?ЗЛ1. т) Доказать, что если р (А)= 0 . 9 , Р(В) = 0 . 9 ,то р ( А 1 В ) > 0 . Й ? 5 .2)Доказать, что Р ( А 1 | А г ) > Л ~ Р ( A ^ / P f a i )3 . 1 2 . Пусть Р (А)= р, Р(В)=1~Я , где & < Р .
Оценить pi'.AI В) сверху и снизу.3 . 1 3 . Известно, что события А и В независимы и непересекаются. Найти m l n . { Р(А), Р (В)^.3.14. Даны три попарно независимых события, которыеоднако чее вместе произойти не могут. Предполагая, что всеони имеют одну и ту же вероятность р , определить наибольшее возможное значение р .3.15. "i жгри из 3-х человек два члена жюри независимодруг or друга принимают правильное решение с вероятностьюр , а третий для выяснения решения бросает монету.
Окончательное решение выносится большинством голосов. Другоежюри из одного человека выносит правильное решение с вероятнее; ьг Р . Какое из этих жюри выносит правильное решена с: большей вероятностью?t 3 . 1 6 . Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара,10проложены два вынутых наудач- тара в урну, содержащую 4 бе• I* и 4 черных шара. Найти вероятность вынуть из второй урны'х'кый дар.ЗЛ7. В трех урнах содержатся белые и черные шары. Впервой - 2 белых и 3 черных шара, во второй - 2 белых и 2ччрнмх вара, а в третьей - 3 белых и I черный шар. Из первойурны переложен шар во вторую. После эт'-.го шар'из второй урныпереложен в третью. Наконец, из третьей урны шар переложен вfпервую.*1) Какой состав шаров в первой уput представляетсянаиболее вероятным?2) Определить вероятность того, что состав шаров вовсех урнах остается без изменения. .3 .
1 8 . Некто знадт не все экзаменационные билеты. В капом случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для ^ниго наименьшей, когда он тащит билет первым или последним?/3 . 1 9 . Из урны, в которой былоШ^Ъ белых шаров иМчсрных,потеряли один шар неизвестного цвета. Для того чтобы определить состав шаров в урне, из нее наудачу были вынуты два ша1>п. Найти вероятность того, что был потерян белый шар, еслии честно, что вынутые шары оказались белыми.3 . 2 0 .
События A c ( i = l » — - независимы, Р ( А к ) = р к .Найти вероятность:а") появления хотя бы одного из этих событий;б) не появления всех этих событий;в)появления только одного из них.3 . 2 1 . Один школьник, желая подшутить над своими товарищами, собрал в гардеробе все шапки, а потом развесил их вс лучайном порядке. Какова вероятность p h , , что хотя бы однашапка попала на прежнее место, если всего в гардеробе было Якрючков и на них И шапок.
НайтиРи. •3 . 2 2 . Пусть O j - вероятность излучения радиоактивным«томом частицы с энергией Ej,^ZZ CX.j -±, причемтобще вероятность излучения частицы за промежуток временивравна* > 0 . Найти вероятность излучения частицы с«нергией Е.- за время§4. Последовательность независимых испытаний4.Т В модели идеального равновесного лространственнооинородного газа пренебрегают размерами частиц, частицы междуIIсобой не взаимодействуют и вероятность обнаружить частицу влюбой части сосуда объемомравна " V i / V » где ЛГ - объем всего сосуда.
Известно, что в сосуде находится N частиц.Определить вероятность обнаружитьчастиц в фиксированномобъеме "VI сосуда.4 . 2 . Для того чтобы узнать, сколько рыб в озере, отлавливают 1000 рыб, метят их и выпускают обратно в озеро. Прикаком числе рыб в озере будет наибольшей вероятность встретитьсреди пойманых 150 рыб 10 меченых?4 . 3 . Допустим, что вероятность попадания в цель при одном выстреле равна р , а вероятность поражения цели припопаданиях в нее.
Какова вероятность того,что цель поражена, если было произведено KU выстрелов?к4 . 4 . Допустим, что некоторое насекомое с вероятностью^-*откладывает К яиц, а вероятность развития насекомого изяйца равна р . Предполагая взаимную независимость развитияяиц, найти вероятность того, что у насекомого будет ровнойпотомков.4 . 5 . Вероятность единственно возможных и несовместныхгипотез A ^ A - j , — , А к об условиях наступления события В равны до испытаний соответственно, о(к ; вероятностинаступления В , соответствующие гипотезам, равны P i , Рг > Р к .Известно, что при lx t независимых испытаниях событие В наступило КУ1/4 раз. Известно также, что при следующей серии в 1ъгиспытаний событие В наступилораз.
Доказать следующеесвойство формул Байеса: апостериорные вероятности гипотез,вычисленные после второй серии испытаний с учетом вероятностей этих гипотез после первой серии испытаний, всегда равнывероятностям, вычисленным просто для серии в l ^ ^ ^ ^ z испытаний, в которой -обытие В наступилораз.4 . 6 . В партии из Nизделий имеется М <• Nдефектных.Из партии наудачу отобрано гъ < N изделий, которые подвергаются сплошной проверке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
