Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв и др. - Задачи по теории вероятностей и математической статистике (1134034), страница 4
Текст из файла (страница 4)
При бросании К игральных костей определить математическое ожидание, дисперсию и центральный момент 3-го попика суммы очков на всех костях.V 0 . 5 . Бросают две кости. Найти математическое ожиданиеоуммы выпавших очков, если известно, что выпали разные грани.8 . 6 . Плотность распределения величин скоростилмжения молекул газа имеет вид ( распределение Максвелла) :, % < + * > , где- масса молекул, Э - температураr a s a .
Найти плотность распределения компонднты скорости V ^ ,модуля скорости 1 T = | v / f импульса р = M b Vи кинетическойпмвргии Е- = m - v V I .____8 . 7 . В условиях предыдущей задачи рассчитатьV,tf", t 0, где черта означает среднее - математическоеожидание.8 . 8 . В условиях задачи 8.6 найти распределение по угламчастиц максвелловского газа, вылетающих в вакуум из небольшого отверстия в стенке сосуда.Указание. Перейти к сферическим координатам: & - уголмгжду направлением скорости Vи осью х. , перпендикулярной стенке; у - азимутальный угол.8 .
9 . В электрическую цепь включена квадратная сетка,состоящая из 2x2 узлов.Каждый узел сетки независимо от других узловс вероятностью р блокируется ( не проводитэлектрический ток) и свероятностьюр неблокируется ( проводитэлектрический ток) .WlОпределить вероятность того, что через сетку течет ток и нати порог протекания - среднее относительное число неблокшрованных узлов сетки.8 . 1 0 . Урна содержит шары с номерами от I до А/ . Пусть^ - наименьший номер, полученный в результате 1г извлечений, если производится случайный выбор с возвращением. НайтMt, .8 .
I I . Известно, что вероятность выхода из строя электронной лампы, проработавшей X дней, равна в следующие Ддней O . 0 0 " j A + о ( д ^ . Здесь о(й} означает, что O f t O > qдпри. Через год работы лампу заменяют, если она даже не вышла из строя. Найти среднее время работы лампы.^ 8 . 1 2 . Найти среднее значение и дисперсию произведениядвух независимых случайных величини ^с равномернымизаконами распределения: fe, - в интервале [0,l] , £ - в интервале [1,3] .8 . 1 3 . Доказать, что если % и £ независимы, тоте- -2 5 ^ )>8 .
1 4 . Говорят, что К > 0 имеет логнормальное распределение с параметрамиff*-), еслиимеет нормаль2ное распределение > A f ( < t , б" ) . Выписать плотность распределения % , найти М ^ и £ ^ .8 . 1 5 . Случайные величины ^ и *1 независимы и нормальнораспределены с одними и теми же параметрами CL и б .1) Найти коэффициент корреляции величин сС ^ +»а|также их совместное распределение.2)Доказать, чтоМ Шддс-=» а +•К8 . 1 6 .
Найти С<ЛГ(£,,^ ) , К « 1 , 2 , . . . , если £ - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами ( 0 , l ) .8 . 1 7 . Найти Сетгф^+'г) , если \ . £. \ - независимые случайные величины с заданными дисперсиями.л. \ / 8 . 1 8 . Ведется стрельба по мишеням. Найти корреляционныймомент числа попадания в девятку и восьмерку при Сь выстрелах, если вероятность при каждом выстреле выбить 1,2,...,10очков одинакова.8 . 1 9 .
Построить пример, показывающий, что из равенства20•М" коэффициента корреляции не следует независимость слумйнмх величин.8 . 2 0 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайна величины, равной сумме случайного числа У неза»м. имых одинаково распределенных случайных величинесли известны M v ,S v ,=:4 ^ 4 .*8 . 2 1 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ^, распределенной по закону 9 ( \ + v c I b + Vитппенями свободы, если ft, - заданное число, у - случайная величина распределенная по биномиальному законуP l v ^ b C .ккр а-рГ" , к - о дг, л .8 . 2 2 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайна^=мой величиныгде<Zt- - число, a ^ ^ A f f a f yнезависимы и нормально распределены.
Ответ выра»итк через параметр 5" = V f j ^ "'. ^Распределение £начинается нецентральнымс параметром нецентральное-г,S*).8 . 2 3 . Как распределена сумма двух независимых случайныхвеличин, имеющих нецентральное распределение ПирсонаДи(см. задачу 8 . 2 2 ) .8 .
2 4 . В полупроводниковом детекторе под действием частицопределенной энергии генерируются электронно-дырочные пары.Пусть в детектор попало К частиц, среднее К , дисперсия 4>Кчисла частиц известны. Вероятность образования одной электронно-дырочной пары под действием одной частицы равна р .Найти среднее числои дисперсиювозникающих электронно-дырочных пар.8 . 2 5 .
В триоде катод излучает V электронов, с вероятностью р электрон попадает на анод и с\ ГУвероятностью 1 - рна сетку. НайтиtСсреднее число и дисперсию числа элекtfVcт р о н о в , попавших на анодсетку Vки21cVtu, наи COV(Va.,Ve) . Известно V8 . 2 6 . Пусть 1Ь - число инжектированных электронов изэмиттера в базу, из нихqК- рекомбинировало икггггтт—-Ч Ч р г^Найти ГЬв,1Ък,Ч>1Ье,0ЬГЬкУЬК попало в коллектор.1Ъ=1ЪВ+ПК,о(-вероятность пролета электрона через базу в коллектор.
Известно К, Z b l X = бССУУ(ГЬК, 1ЪК).и8 . 2 7 . Показать, что для любой случайной величины< ооА7£и любой постоянной С имеет место неравенствоМпричем знак равенства достигается лишь при С = М £ .8 . 2 8 . Пусть даны две случайные величиныM $t=6*,и ^ си коэффициен-том корреляции у - [М^-а^-•6 2 ) • Найти наи-лучшую в среднеквадратичном аппроксимацию случайной величинылинейной комбинациейCt+i-7 28 . 2 9 . Для случайной величины h, , М^ <Оодоказать не-равенство8 . 3 0 . Обозначим Нгильбертово пространство случайныхвеличин. Скалярное произведениеопределим р а в е н с т в о м Iрасстояние между ^вН.
Пустьлинейное подпространство• Доказать, чтоесли и только еJjи£слиОдля всех- ортогональная проекция ^8 . 3 1 . Случайная величина £наилучшим приближением ^на L)L(т.е. когда.в задаче 8 . 3 0называетсяслучайными величинами из L. До-казать единственность наилучшего приближения.8 . 3 2 . Воспользовавшись решением задачи 8 . 3 0 , дать гео22ЩТрический вывод неравенства Крамера - Рао.8 . 3 3 . Согласно теореме Больцмана черное тело за I с изч у in. т н одной моде (волна с определенным направлением поляMi шции ) случайное количество фотонов, описываемое геометриI«им распределением вероятностей1Р { f c = h W l - «оср(t*»j vki'/1I „гcollet - абсолютная температура черного тела,цмгргия излучаемого фотона, V - частота волны, "fb - постоянММ Планка, |< - постоянная Больцмана. Найти среднее значениеи чисперсию числа фотонов, испускаемых черным телом за I с в• •ними моде.М.34.
Рассчитать среднее и дисперсию числа пустых ящиковгв задаче 4 . 1 .Н.35. Число 1г(Т) эмиттированных фотоэлектронов в промежуток времени Т(при фиксированной интенсивности падающего светового излучения1) описывается пуассоновским распределенPиеlм* ( i > i } = - e""ПУ^'П* „ „ ,Фотодетектор:I катод (фоточувствиилмшя поверхность);.'•падающее световоеиэлучиние; 3-эмиттиро•Анмые фотоэлектроны;коллекторный анод-ос/б1гдео1=5ь1,Ji - коэффициент,характеризующий чувствительностьфогодетектора. Найти распределение вероятностей количества излученных фотоэлектронов П, (Т)при условии, что интенсивностьсветового потока I описываетсяраспределением вероятностей сплотностью W j (х) , ЭС^О.Рассмотреть случай—х>, оНайти среднее и дисперсию П.(Т)."5*8 .
3 6 . Пусть в точках Х = 1,2,... находятся атомы однородного вещества, которые независимо друг от друга могут снеполностью 5 ( E )( 5 ( E ) называется также сечением поглощении, Е - энергия фотона) поглотить фотон и с вероятностью\ Ь(Е) без рассеяния пропустить его. Считая, что фотонМетает в вещество по оси ОС , найти23а) распределение вероятностей проникновения фотона п<глубинам (вещество-бесконечной толщины) ;б) вероятность прохождения фотоном слоя вещества тол>щиной в К > i атомов;в) вероятность прохождения за К атомов в веществебесконечной толщины;г)средний пробег фотона в веществе бесконечной толщины;д)дисперсию пробега фотона в веществе бесконечнойтолщины.8 .
3 7 . Пусть о(1, с(г... -последовательность независимыхслучайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0,1)Дискретную целочисленную случайную величину ^ , распределение вероятностей которой задано рекуррентной формулой Р к + 1 == Рк, моделируют в ЭВМ по представленному ниже алгоритму:Среднее число арифметических операций для моделированияоопропорционально величине> ц-.р, которая харак+к-отеризует эффективность указанного алгоритма моделирования.Найти S в случае:=а)биноминального распределения<п-кРк+tккР (1-РГ" , г(к)= рк14.-К рК +- Л. 4 - рб) распределения Пуассона с параметромв) геометрического распределения с параметром рг) гипергеометрического распределения24*Е'К_C*t С1Г к.СC iКк) =Рк»!^ o x f o ^ - ^ K ^ m i n f n ^ )C^-KXt-K)а.38.
Выразим расстояние между атомами ЛХ и коэффициент поглощения вещества единицы длины ^через число !ЬIfимon, приходящихся на единицу длины:д х = 1Лъ5^л = 6 ( Е > 1 г =6"(EVa°c..1) В условиях задачи 8 . 3 6 оценить вероятностьста расстояния Xв веществе при ДОС-» О.2 ) Показать, что выражение для вероятности пролеГп расстояния Xполучается из двух предположений: а) веI "Hi,ость прохождения фотоном длины ДХ. от точки XдоX.
f A O C . не зависит от X:|=Ирплотность Р^ (ос) непрерывна.;«.39. Пусть поглощение веществом фотонов с энергией £(Иридоляется несколькими независимыми процессами с коэффициентами поглощения(Е)=6" К (Е)12 К ( 6"к(Е)- сечение погЮВсния, ft*. - линейная концентрация, соответствующая К-му5ttpo'irccy, К . *•Найти выражение для вероятности проII" I 1 фотоном расстояния Xв веществе.§9. Законы больших чисел1•У . I. Доказать, что если случайная величина Ь, такова,пМ С ^существует (d>0 постоянная) , тоар>, ъ) $ Ме У-еЧ.,'ш .
Пустьаь.("Х)> О - неубывающая функция. Доказать, чтоМчи ••.•/•чествует Мтоv/ ''.3. Показать, что для пуассоновского процесса==(<li)K,«=0,1,... ,с мощностью ( \ > 0 ,ИМ» *• г место сходимость по вероятности25^а,.-fc->oo'9 Л . Выяснить, применим ли закон больших чисел к последовательностям попарно независимых случайных величин ^ ксК=1,2,...> указанными законами распределения вероятностей:9 . 5 . Оценить в условиях теоремы Бернулли и в условияхцентральной предельной теоремы необходимое число испытанийв схеме Бернулли, чтобы для любого 0 < р < 1, отклонениечастоты успехов от вероятности не превышало Ь - С.02 свероятностью 0 .
9 5 .v' 9 . 6 . Для случайной величины ^ления= ЗЕ^Г00ХъО,с плотностью распреде-Пу - неотрицательное целоечисло, доказать неравенство Р>•9 . 7 . Дана последовательность случайных величин=1,1,..., для которых h£ С и'коэффициент корреляцииК=-> Опри 1—•Доказать, что к данной последовательности применим закон больших чисел (теорема Бернштейна) .§10. Центральные предельные теоремы1 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
