Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв и др. - Задачи по теории вероятностей и математической статистике (1134034), страница 3
Текст из файла (страница 3)
При проверке возножны ошибки; так свероятностью р дефектное изделие признается "годным" и свероятностью с^ годное - "дефектным". Найти вероятность того, что W / изделий будут признаны " дефектными".4 . 7 . Пусть имеется Nящиков. В эти ящики независимодруг от друга случайно бросают К дробинок. Предполагается,что вероятность попадания любой фиксированной дробинки в у -йящик равна 1 / N для всех1,4.,..., N . Обозначим=12fi»число пустых ящиков. Показать, что закон||'ч-прсделения числа пустых ящиков p . ( • V j N ) задается формулами :I ирекуррентной формулойРfU (ft+l,Iили= К ^ =4 .
8 . Пусть имеется Л/ ячеек, в которые бросают независимокомплектов, по № частиц в каждом комплекте. Частицы каждого комплекта размещаются в ячейках по одной, примем всевозможных размещений считаются равновероятными.Положим КЪ = n / W U , где IX - общее число частиц в 1Ъ комплектах. ОбозначимC^jчисло пустых ячеек. Показать,что закон распределения числа пустых ячеек задается формула-V- V4 . 9 .
Ведется стрельба до первого попадания. Выстрелыи--щиисимы и вероятность попадания при каждом выстреле равнар . Какова вероятность того, что потребуется 6 выстрелов,по пи известно, что было сделано четное число выстрелов?4 . 1 0 . Ведется стрельба до первого попадания. Выстрелынезависимы и вероятность попадания при каждом выстреле равнаР . Какова вероятность того, что первые два выстрела неудачны?§5. Распределение Пуассона5.1. Среди семян пшеницы 0.6% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить не менее133 семян сорняков; не более 16 семян сорняков; ровно 6 семянсорняков?' 5 . 2 . Книга в 500 страниц содержит 50 опечаток.
Оценитьвероятность того, что на случайно выбранной странице не менее 3 опечаток.• 5 . 3 . Известно, что вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0 . 0 2 . Сверла укладываются в коробки по 100 штук.1) Чему равна вероятность того, что:а) в коробке не окажется бракованных сверл;б) число бракованных свйрл окажется не более 2 .2) Какое наименьшее количество сверл нужно класть в ко*робку для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0 . 9 , в нейбыло не менее 100 исправных?5 . 4 . Сколько изюма в среднем должны содержать калорийные булочки для того, чтобы вероятность иметь в булочке хотябы одну изюмину, была не менее 0.99?5 . 5 .
Пусть вероятность частицы, вылетевшей из радиоактивного источника, быть зарегистрированной счетчиком равнаI/I000G. Предположим, что за время наблюдения из источникавылетело 30 ООО частиц. Какова вероятность того, что счетчик:а*) зарегистрировал более 10 частиц;б) не зарегистрировал ни одной частицы;в) зарегистрирует ровно 3 частицы?5 . 6 . Какое наименьшее число частиц в условиях предыдуще(задачи должно вылететь из источника для того, чтобы с вероятностью, большей 0 . 9 9 , счетчик зарегистрировал более 3 частиц'* 5.7. Предположим, что при наборе книги существует веротятность р=°го, что любая буква будет набрана неправильно.
После набора гранки прочитывает корректор, которыйобнаруживает каждую опечатку с вероятностьюПослекорректора - автор, обнаруживающий каждую из оставшихся опечаток с вероятностью t = 0 . 5 . Найти вероятность того, что вкниге со 100 тысячами печатных знаков останется после этогоне более 10 незамеченных опечаток.5 .
8 . На лекции присутствует 2 0 0 человек. Найти вероятность того, что К человек из присутствующих родились I мая иZродились 7 ноября. Считать, что вероятность рожденияв фиксированный день равна 1 / 3 6 5 . Вычислить эту вероятностьпри К, = I и -6 = 2 . Найти вероятность того, что число родившихся I мая и 7 ноября не больше 2 .14§6. Локальная и интегральная теоремы Муавра - Лапласа6 .
1 . Известно, что вероятность рождения мальчика прибли«ительно равна 0 . 5 1 5 . Какова вероятность того, что среди 1 0тысяч новорожденных мальчиков будет не больше, чем девочек?6 . 2 . Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0 . 0 0 6 .
Застрахованагруппа в 1 0 ООО человек 20-летнего возраста, причем каждый^страхованный внес 1 . 2 рубля страховых взносов за год. Вслучае смерти застрахованного страховое учреждение выплачивает наследникам 100 рублей. Какова вероятность того, что:а)к концу года страховое учреждение окажется вубытке;б)его доход превысит 6 0 0 0 рублей; 4 0 0 0 рублей?? 6 . 3 . При проведении телепатического опыта индуктор нетмисимо от предшествующих опытов выбирает с вероятностьюI/? один из двух предметов и думает о нем, а реципиент (приемник) угадывает, о каком предмете думает индуктор.
Опыт былнопторен 1 0 0 раз, при этом было получено 6 0 правильных ответим . Какова вероятность совпадения при одном опыте в предположении, что телепатической связи между индуктором и реципиентом нет? Можно ли приписать полученный результат чисто случайному совпадению или нет?{ 6 . 4 . Театр, вмещающий 1 0 0 0 человек, имеет два разныхпхода. Около каждого из входов имеется свой гардероб.
Сколько мест должно быть в каждом из гардеробов для того, чтобы вороднем в 9 9 случаях из 1 0 0 все зрители могли раздеться в'ардгробе того входа, через который они вошли? Предполагает' и, что зрители приходят парами и каждая пара независимо отдругих выбирает с вероятностью 1/2 любой из входов. Насколько можно будет сократить число мест в гардеробе, еслиЧ'Итс ли будут приходить поодиночке и также независимо другот друга с равной вероятностью выбирать любой из входов?§7. Случайные величины и функции распределения• 7.1.и ^ независимы, причем£,-0} = Р1^ ="1/2.,р^<Ос}=ЭС(0<Х<1).Найти функции распределения<0£t=lz 4>О+7 . 2 . Найти функцию распределения суммы независимых слу15чайных величини £, первая из которых равномерно распределена в интервале С-Л,-А.) , а вторая имеет функцию ралределения F ( * ) •х/ 7 .
3 . Пусть случайная величина ^ имеет плотность распределения. Найти плотность распределения случайнойвеличины:+а)^ ~»_ действительные числб)^г)5в)COS^J,где f ( * ) - непрерывная монотонная функция» / 7 . 4 . Плотность независимых случайных величинравна:ГО<r, X S Oa)и^,ос>о , а>оос <о-б)Va.,O o c ^ C L ,а>0,1-ОС-еНайти плотность распределения С,347 .
5 . Пусть с^ и <72. независимы и подчиняются раслределению Пуассона с параметрамиисоответственно. Найт1условное распределениепри фиксированной сумме ^ t ^ - f, 7 . 6 . Доказать, что если величины Е, и ^ непчнисимыих плотность распределения равныто величины\J7.7. Пустьпределения Р<*>и- а) шеюс ( ^ , >0и \ /*£ также независимы.и ^ независимы и имеют плотности расф('й) соответственно. Найти распределен, б)(.% , О• 7 . 8 .
Решить предыдущую задачу, если ^и £ равномерраспределены на [о, 2] и на [i, 3 ] соответственно.7 . 9 . Случайная величина сI равномерно распределена на[р, i l . Показать, что случайная величина £ = [ < * ( к + 1 У ]Г Ификсировано, D ] - целая часть имеет "равномерное дискретное" распределение16к-©,*.,f 7 . 1 0 . Показать, что случайная величина(1-р)](•< и С-] обозначает то же, что и в задаче 7.9 ) имеет геометрическое распределениеP* = P U = K } = p ( l - p V \к-0,1,-к7 . 1 1 .
Показать, что случайная величина,| ли,0,1,К/ _ независимые случайные величины, распределенные равномеоно на [о,, распределена с плотностью«•роятноэти/_Р и » =»bt0=><<x<1-Указание. Применить метод математической индукции.7 . 1 2 . Используя результат предыдущей задачи, показать,что случайная величина £ , равная минимальному Уь , приTToi: 1котором выполняется неравенство, распределив по закону Пуассона с параметром(«^обозначает то же,что и в предыдущей задаче) .7 . 1 3 . Пусть заданы независимые случайные величины oft иЛ), равномерно распределенные в интервале ( 0 , l ) .
Образуемновые случайные величины ^и^по формуламp v ITCPS I * * * , ,||(ц|<оо, 6>0ш_ у +.6- (-2.-&V cl J L )1/Z^iftc^Показать, что случайные величины,^^м п л иютея независимыми нормально распределенными с средним ^и диопероией х6 -.f7 . 1 4 . Пусть известна плотность вероятности Рх(эОтого,что объект расположен на расстоянии Xот линзы. Имеет место1itформула линзы "Y" + X " = F ' ", где р - фокусное расстояниекинзы, а Xи Y- соответственно расстояния от объекта доними от линзы до изображения. Определить плотность вероятности р^того, что изображение объекта располагается нарасстоянии "Y" от линзы. Рассмотреть частный случай равновероятных расположений объекта от линзы в интервале1ШС0Т0ЯНИЙ.7 .
1 5 . Пусть случайные величины % и £независимо иодинаково распределены, причемР|^=0^=1-р>0.17Введем новую случайную величину £равную нулю, если_ четное число и единице, если- нечетноечисло. При каком значении р случайные величины Ь, и £независимы?7 . 1 6 . Пусть £- целочисленная неотрицательная случайная величина, принимающая с вероятностьюзначе-|ние К * 0,1,2Эксперимент состоит в том, что на отрезок[0.1] независимо одна от другой бросается наудачу ^ точек.Обозначим Хс1<=число точек, попавших на интервалэ•^ . Доказать, что ОСс независимы.7 .
1 7 . Показать, что последовательность двоичных разрядов о < 1 Ы п . числа• •1-°l*.Z~n представляет собой результат И. независимых испытаний Бернулли спараметром 1/2, если % - случайная величина, равномернораспределенная на £ 0 , i ] .7 . 1 8 . В мессбауэровском эксперименте источник /-квантов в направлении детектора излучения испускает мессбауэровский К -квант независимо от энергии с вероятностью %и свероятностьюиспускает фоновый ^-квант» Распределение энергий мессбауэровских jf -квантов оценивается плотностью распределения КошиVn>/aJгде Ео - наиболее вероятная энергия /-кванта. Вероятность(эффекта Мессбауэра") мессбауэровскому ^-кванту быть поглощенным (независимо от энергии без потери энергии на отдачу ядру кристаллической решетки равна £ .
Вероятность пролета мессбауэровского-кванта с энергией Е через вещество оценивается выражением «лср(-6"(E)h.), г д е 6"(Е)_ сечениерезонансного поглощения и У1- концентрация резонансных ядерпо направлению движения Jr-квантов. Детектор регистрируетлюбой у-квант мессбауэоовский или фоновый независимо отэнергии. Определить вероятность зарегистрировать JT-квант вмессбауэровском эксперименте,§8. Моменты случайных величин. Математическое ожидание.Дисперсия8 . 1 .
Найти функцию распределения и среднее значение чис18им бросаний монеты в задаче 2 . 1 .У 8 . 2 . Случайные величиныи £независимы, причем=М^и Z,ty. Найти математическоепридание и дисперсию:4• V 8 . 3 . Предположим, что в озере было 15 ООО рыб, причем1000 из них меченых. Из озера было отловлено 150 рыб. Найтиматематическое ожидание числа меченых рыб среди отловленных.t J Q . k .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
