В.А. Артамонов - Линейная алгебра для экономистов (1129135), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пусть A > 0 и Ak > 0 для некоторого натурального числа k. Тогда ρ(A) – простой корень характеристического многочлена.Доказательство. Если λ1 , . . . , λn – собственные значенияA, то λk1 , . . . , λkn – собственные значения Ak > 0. Отсюда ρ(Ak ) =ρ(A)k .
По теореме 5.19, например, λ1 = ρ(A). Если λ1 = λ2 , тоλk1 = λk2 = ρ(A)k = ρ(Ak ), что невозможно по теореме Перрона.¤Теорема 5.27 (Фробениус). Пусть A > 0 – неразложимаяматрица. Тогда114В. А. Артамонов1) ρ(A) > 0;2) ρ(A) – собственное значение A;3) существует положительный собственный вектор с собственным значением ρ(A);4) ρ(A) – простой корень характеристического многочленаматрицы A.Доказательство. Заметим, что в A нет нулевых строк истолбцов так как матрица A неразложима.
Поэтому ρ(A) > 0.в силу следствия 5.13.Утверждение 2 вытекает из теоремы 5.19.Рассмотрим утверждение 3. По теореме 5.19 существуетнеотрицательный собственный вектор x для матрицы A с собственным значением ρ(A). Тогда (E + A)x = (1 + ρ(A))x и поэтому (E + A)n−1 x = (1 + ρ(A))n−1 x. Но матрица (E + A)n−1положительна и поэтому (1 + ρ(A))n−1 x > 0, откуда вытекаетположительность x.Последнее утверждение следует из предложений 5.26, 5.25.¤Для доказательства аналога предельной теоремы нам потребуетсяПредложение 5.28. Пусть A, x, y, L из теоремы 5.10,причем матрица A неразложима. Тогда матрица£¤E − ρ(A)−1 A − L(83)обратима.Рассмотрим¡ Доказательство.£¤¢E − ρ(A)−1 A − L z = 0.
Тогдавекторzсусловиемz = ρ(A)−1 Az − Lz.(84)Применяя к (84) матрицу L по теореме 5.10 получаемLz = ρ(A)−1 LAz − L2 z = Lz − Lz = 0.−1(85)Таким образом, по (84) z = ρ(A) Az, т.е. Az = ρ(A)z. В силутеоремы 5.27 имеем z = αx. Отсюда по (85) 0 = Lz = αLx =αx = z. Итак, матрица (83) невырождена и потому обратима.¤Неотрицательные матрицы115Теорема 5.29. Пусть задана неотрицательная неразложимая матрица A. Тогда матрица t A неразложима. В силу теоремы 5.27 существуют такие положительные векторы x, y, что выполнены равенства (75). Положим L = xt y. Тогда существует такая положительная константа C = C(A),что для любого натурального числа NkN1 XC(ρ(A)−1 A)m − Lk∞ 6 .N m=1NДоказательство.
По теореме 5.10 имеем1 PN(ρ(A)−1 A)m − L =N m=1¤m¢1 PN ¡£ρ(A)−1 A − L + L − L =m=1N¤m1 PN £−1A−L =m=1 ρ(A)N¤£¤1 £ρ(A)−1 A − L E − (ρ(A)−1 A − L)N ×N£¤−1E − (ρ(A)−1 A − L)=£¤£¤1ρ(A)−1 A − L E − (ρ(A)−1 A)N + L ×N£¤−1E − (ρ(A)−1 A − L).Для завершения доказательства теоремы достаточно показать,£¤Nчто все элементы матрицы B = (ρ(A)−1 A ограничены. Непосредственная проверка показывает, что BxP = x. Пусть B =(bij ). Тогда для любого i = 1, . .
. , n имеем j bij xj = xi . Следовательно,XXmax xs > xi =bij xj > (min xj )bij > (min xj )bij .sjjjjОтсюдаbij 6maxs xs.minj xj¤116В. А. Артамонов3. Приложения3.1. Миграциянаселения. Пусть заданы городаΓ1 , . . . , Γn , причем между ними мигрирует население. Каждыйгод aij -ая часть населения Γj переезжает в Γi , i, j = 1, . . . , n.Пусть A = (aij ) и z(m) = t (z1 (m), .
. . , zn (m)) – распределениеPnнаселения в m-ый год. Заметим, что aij > 0 и j=1 aij = 1.Отсюда ρ(A) = 1 по предложению 5.3. Тогда z(m + 1) = Az(m),откуда z(m + 1) = Am z(1). Предположим, что A > 0. Тогда придостаточно больших m имеем Am ∼ L, т.е. поток населенияначинает стабилизироваться.3.2. Модели Леонтьева.3.2.1. A. Пусть за некоторый период времени отраслиΓ1 , . . . , Γn производят, соответственно, продукты p1 , . . . , pn ,причем aij -ая часть продукта pj отрасли Γj потребляется отраслью Γi для производства единицы продукта pi .
Обозначим черезcj долю продукта pj отрасли Γj , израсходованную на непроизводственные нужды, с = t (c1 , . . . , cn ). Матрица A = (aij ) называется матрицей коэффициентов прямых затрат. Будем считать, что в рассматриваемый период времени матрица A не меняется и если x = t (x1 , . . . , xn ) –вектор объемов валовой продукции выпуска продуктов p1 , . . . , pn отраслями Γ1 , .
. . , Γn , товектор затрат линейно зависит от x и имеет вид Ax. Тогда свободный остаток, равный c = x − Ax будет использоваться нанепроизводственные нужды. Таким образом, при планированиина ближайший год, если заданы c, A, то для нахождения объемапроизводства x необходимо решить систему линейных уравнений c = (E − A)x.3.2.2. Б. Предположим теперь, что необходимо осуществить планирование на несколько лет вперед.
Пустьx(1), . . . , x(T ) – векторы объемов производств в ближайшиеT лет, причем полученный набор продуктов снова пускается в производство. Ставится задача нахождения линейнойmax(t dx(T )). Например, функция t dx(T ) означает общуюстоимость продукции, производимой в последний год. Такимобразом, необходимо решить следующую задачу линейногоНеотрицательные матрицы117программирования: найти max(t dx(T )) при условииAx(j + 1) 6 x(j),x(i) > 0,где j = 1, . . .
, T − 1 и i = 1, . . . , T.3.2.3. В. Предположим теперь, что имеется m > n технологических процессов Γ1 , . . . , Γn , каждый из которых выпускает один товар. При этом множество {1, . . . , m} разбивается нанепересекающиеся подмножества M1 , . . . , Mn , причем процессΓj выпускает продукт pj , если j ∈ Mi . Тогда A = (aij ) – матрица размера n × m. Пусть I – матрица инциндентности из нулейи единиц, причем не месте (i, j) стоит единица тогда и только тогда, когда j ∈ Mi . Если x = t (x1 , . . .
, xm ) > 0 – векторобъемов производств, то имеем уравнение Ix − Ax = c. Пустьс каждым Γj связано число lj > 0 – коэффициент трудовыхзатрат, l = t (l1 , . . . , lm ). Если нужно минимизировать трудовыезатраты, то необходимо решить следующую задачу линейногопрограммирования: найти min(l x) при условии Ax > c, x > 0.4. УпражненияУпражнение 5.30. Доказать утверждения предложения 5.1.Упражнение 5.31. Пусть A > 0, x > 0, x 6= 0 и Ax = λxдля некоторого λ ∈ C.
Тогда λ = ρ(A).Упражнение 5.32. Доказать, что перестановочная матрица ортогональна.Упражнение 5.33. Пусть A > 0 и Ak > 0 для некоторогонатурального k. Показать, что ρ(A) > 0.Упражнение 5.34. Построить пример такой неположительной (2 × 2)-матрицы A > 0, что A2 > 0.Упражнение 5.35. Пусть A > 0 и A 6= 0.
Доказать, чтоесли A имеет положительный собственный вектор, то ρ(A) > 0.Упражнение 5.36. Пусть A > 0 и x – положительныйвектор. Если Ax = 0, то A = 0.118В. А. АртамоновУпражнение 5.37. Найти перроновы числа и векторы дляматрицµ¶µ¶2 13 4,.1 25 2Упражнение 5.38.P Пусть A > 0 и x – перронов вектор.Доказать, что ρ(A) = ij aij xj .Упражнение 5.39. Если A > 0 и Ak > 0 для некоторогоk > 0, то A имеет положительный собственный вектор.Упражнение 5.40. Пусть A > 0 имеет положительныйсобственный вектор.
Доказать, что матрица A подобна неотрицательной матрице B, у которой суммы элементов каждойстроки одинаковы.Упражнение 5.41. Пусть матрицы A, A−1 неотрицательны. Доказать, что A = DP , где матрица D диагональна, а матрица P перестановочная.Упражнение 5.42. Пусть A > 0 и z – ненулевой комплексный вектор, причем Az − αz > 0 для некоторого α ∈ R. Доказать, что ρ(A) > α.Упражнение 5.43. Пусть A > 0.
Тогда следующие условия эквивалентны• существует положительная матрица, перестановочнаяс A;• матрицы A, t A имеют положительные собственныевекторы.Упражнение 5.44. Пусть матрица A разложима. Тогдаматрица (E + A)n−1 не является положительной.Упражнение 5.45. Пусть A > 0, причем существует такойположительный вектор y, что t Ay = ρ(A)y.
Предположим, чтоx – ненулевой неотрицательный вектор, причем Ax > ρ(A)x.Доказать, что Ax = ρ(A)x.Упражнение 5.46. Построить неотрицательную матрицуA c неотрицательным собственным вектором x, причем Ax 6=ρ(A)x.Неотрицательные матрицы119Упражнение 5.47. Построить пример неотрицательнойнеразложимой матрицы A, имеющей собственное значение λ 6=ρ(A), причем |λ| = ρ(A).Упражнение 5.48.
Построить пример неотрицательнойразложимой матрицы A, у которой нет положительного собственного вектора.Упражнение 5.49. Пусть A > 0, причем существует неотрицательный собственный вектор для A с собственным значением ρ(A) > 0. Если этот вектор не является положительным,то матрица A разложима.Упражнение 5.50. Пусть матрица A > 0 неразложима исуществует неотрицательная матрица B, перестановочная с A.Предположим, что x – перронов вектор для A. Доказать, чтоBx = ρ(B)x.Упражнение 5.51. Пусть минимальный многочлен матрицы A > 0 имеет степень m. Доказать, что следующие условияэквивалентны• матрица A неразложима;• матрица (E + A)m−1 положительна.Упражнение 5.52. Построить пример матрицы A, у которой ρ(E + A) 6= 1 + ρ(A).Упражнение 5.53.
Пусть0 0 1A = 1 0 0 .0 1 0Найти собственные значения A. Является ли матрица A разложимой.Упражнение 5.54. Пусть A, B > 0, причем A неразложима. Доказать, что матрица A + B неразложима и ρ(A + B) >ρ(A), если B 6= 0.Глава 6Локализация собственных значений1. Теорема ГершгоринаТеорема 6.1. Пусть n ≥ 1 и задан полином p(x) = an xn +. .
. + a0 , an 6= 0, с комплексными коэффициентами. Тогда длялюбого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого многочлена q(x) = bn xn + . . . + b0 , bn 6= 0, где max0≤i≤n |ai − bi | < δсправедливо неравенство·¸min max |λj − µσ(j) | < ε,σ∈Sn1≤j≤nгде λ1 , . . . , λn – корни p(x), а µ1 , . .
. , µn – корни q(x).Доказательство. Пусть p(x) имеет корень x = 0 кратности k. Предположим, что все остальные комплексные корниz многочлена p(x) удовлетворяют условию |z| > ε1 > 0. Изкомплексного анализа известно (см. А. Картан, Элементарнаятеория аналитических функций одного и многих комплексныхпеременных, М.
: Изд. иностр. литер. – 1963, С. 122 - 123), чтопри всех ε < ε1Z1p0 (x) dx= k.(86)2πip(x)|x|=εЕсли коэффициенты многочлена pδ (x) = bn (δ)xn + . . . +b0 (δ), bn (δ) 6= 0, достаточно близки к коэффициентам p(x),то |pδ (x)| > 0, если |x| = ε. Кроме того, значение интегралаZ1p0δ (x) dx(87)2πipδ (x)|x|=ε121122В. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
