В.А. Артамонов - Линейная алгебра для экономистов (1129135), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Изтеоремы 4.4 вытекаетСледствие 4.5. В конечномерном векторном пространстве Если последовательность сходится в конечномерном векторном пространстве относительно одной нормы, то она сходится и относительно любой другой нормы.Определение. Алгеброй A над полем F называется векторное пространство над этим полем, являющееся ассоциативным кольцом, причем для всех x, y ∈ A, α ∈ F справедливы90В. А.
Артамоновравенства α(xy) = (αx)y = x(αy). Алгебра A над полем F называется нормированной, если A является нормированным векторным пространством с нормой kxk, причем для всех x, y ∈ Aвыполняется неравенство kxyk 6 kxkkyk.Примерами алгебр являются алгебра многочленов F[X], алгебра матриц Mat(n, F) размера n с коэффициентами из F.Пример 4.6. Алгебр матриц Mat(n, F) является нормированной алгеброй относительно следующих норм: (A = (aij ) ∈Mat(n, F))P1) kAkl1 = i,j |ai,j |;qP2) kAkp = p i,j |ai,j |p , где p ≥ 1, p 6= 2;qP23) kAkE =i,j |ai,j | ;4)5)6)7)kAk = nkAkl∞P, где kAkl∞ = maxi,j |ai,j |;kAk1 = maxj ( Pi |ai,j |);kAk∞ = maxi ( j |ai,j |);kAk2 – максимум из квадратных корней собственных значений матрицы t AA.Укажем теперь естественный способ построения нормированных алгебр.
Пусть V – нормированное векторное пространствои L(V ) - алгебра линейных операторов в V . Для A ∈ L(V ) положимkAk = sup kAxk(72)kxk=1Теорема 4.7. Пусть V – конечномерное векторное пространство. Тогда (72) превращает L(V ) в нормированную алгебру.Доказательство. Заметим сначала, что kAk определенакорректно и принимает конечные значения, поскольку по теореме 4.3 функция f (A, x) = kAxk непрерывна относительно координат вектора x и относительно элементов матрицы A. В силуупражнения 4.15 множество всех таких x, что kxk = 1 компактно. Таким образом, на этом множестве функция f (A, x) ограничена.Нормированные пространства91Если kAk = 0, то kAxk = 0 для всех векторов x с условиемkxk = 1.
Отсюда следует, что kAyk = 0 для всех векторов y, т.е.A = 0.Заметим далее, чтоkA + Bk = supkxk=1 kAx + Bxk 6supkxk=1 (kAxk + kBxk) 6supkxk=1 kAxk + supkxk=1 kBxk = kAk + kBk;kλAk = supkxk=1 kλAxk =|λ| supkxk=1 kAxk = |λ|kAk;kABk = supkxk=1 kABxk 6supkxk=1 kAkkBxk = kAkkBk.Отметим, что при доказательстве последнего неравенства использована упражнениа 4.17.¤Определение. Спектральным радиусом ρ(A) оператора(матрицы) A ∈ L(V ) называется максимум модулей собственных значений A.Теорема 4.8.
Пусть k k – норма в алгебре линейных операторов L(V ) в конечномерном пространстве V . Если A ∈ L(V ),то ρ(A) 6 kAk.Доказательство. Пусть Ax = λx для некоторого ненулевого собственного вектора x. Построим матрицу X, столбцамикоторой будут координаты вектора x. Тогда AX = λX, откудаkAXk = |λ|kXk 6 kAkkXk.(73)Так как X 6= 0, то kXk 6= 0 и поэтому в (73) получаем |λ| 6 kAk.Отсюда вытекает утверждение, поскольку λ – любое собственное значение.¤Теорема 4.9. Пусть ρ(A) < 1. Тогда Ak → 0.Доказательство.
Первое доказательство.В силу следствия 4.5 достаточно доказать сходимость относительно матричной нормы k kE . Пусть n – размерность пространства, в котором действует оператор A. Случай n = 1 очевиден. Пусть для n − 1 теорема доказана. В силу теоремы о92В. А. Артамоновприведении к жордановой форме существует такой базис, в котором матрица оператора имеет верхнетреугольный вид. Переходя в этому базису будем считать, что матрица A имеет ви䵶B uA=.0 λТогда ρ(B) 6 ρ(A) < 1 и по индукции B k → 0.Лемма 4.10.µAk =где Dk =Pk−1j=0Bk0Dk uλk¶,λj B k−1−j .Доказательство. Непосредственная проверка, основанная на определении произведения матриц.¤Завершим доказательство теоремы.
Так как B k → 0, то длялюбого 1 > ε > 0 существует такое натуральное число N , чтодля всех k ≥ N имеем kB k k < ε. В частности, последовательность kB j k ограничена константой C. Кроме того, |λ| < 1. Таким образом, если m > 2N t, тоPm−1−N t j m−1−jPN t−1λ Bk≤kDm k 6 k j=0 λj B m−1−j k + k j=N tPNt−1kB m−1−N t kk j=0 λj B N t−j k +Pm−1−N t j−N t m−1−jλBk6|λN t |k j=N tPNt−1kB N kt kB m−1−2N t kk j=0 λj B N t−j k +Pm−1−N t j−N t m−1−jλBk6|λ|N t k j=N tPN t−1CkB N kt ( j=0 |λ|j kB N t−j k) +Pm−1−N t|λj−N t |kB m−1−j k) 6|λ|N t ( j=N tPm−1−N t j−N tPN t−1|λ|) =C 2 kB N kt ( j=0 |λ|j ) + C|λ|N t ( j=N tNt−1C 2 kB N kt |λ||λ|−1+ C|λ|N t |λ|m−1−N t−|λ|1+N t.|λ|−1Таким образом, если m (и t) стремятся к ∞, то kDm k → 0.Отсюда по индукции вытекает утверждение теоремы.¤Второе доказательство.Нормированные пространства93Доказательство.
Без ограничения общности как и вышеможно предполагать, что F = C. В силу теоремы о приведениик жордановой форме существует такая невырожденная матрица S, что A = S −1 JS, где J – жорданова форма. При этомAk = S −1 J k S для всех k. Поэтому достаточно показать, чтовсе элементы матрицы J k стремятся к нулю при k → ∞. Этоутверждение достаточно доказать для одной жордановой клетки. Пустьλ 10 ... 00 0..0 λ. 010 0 .. . ...
...... .........J = . ........ ....... . .. ..0 00 ... λ1 00 00 ... 0λ 10 00 ... 00 λимеет размер n. Заметим, что J = λE + B, где0 10 ... 00 0..0 0. 010 0 .. . . . ... ............ .B = . ... . . . . . . . . . . . . . ... ..0 00 ... 01 00 00 ... 00 10 00 ... 00 0Отметим, что B n = 0. Для любого k ≥ n получаем, чтоn µ ¶XkkkJ = (λE + B) =λk−m B m .mm=0Коэффициентµ ¶kk(k − 1) · · · (k − m + 1) k−mλk−m =λ=mm!"1m k 1(1 − k ) · · · (1 −k λλm−1 −mk )#→094В.
А. Артамоновпри k → ∞.¤Теорема 4.11. Пусть в алгебре линейных операторовL(V ) на конечномерном пространстве V задана норма k k. Ес1ли A ∈ L(V ), то ρ(A) = limk kAk k k .Доказательство. Нам потребуется несколько лемм.Лемма 4.12. Для любого натурального числа k имеемρ(Ak ) = ρ(A)k .Доказательство. Достаточно выбрать базис, в которомматрица A имеет верхнетреугольный вид.
Затем возвести этуматрицу в степень k.¤Лемма 4.13. Пусть ε > 0 и B = [ρ(A) + ε]−1 A. Тогдаρ(B) < 1.Доказательство. Достаточно выбрать базис, в которомматрица A имеет верхнетреугольный вид.¤Завершим доказательство теоремы. По лемме 4.12 и тео11реме 4.8 имеем ρ(A) = ρ(Ak ) k 6 kAk k k для всех k. Пусть Bиз лемме 4.13. По теореме 4.9 и лемме 4.13 имеем B k → 0.Следовательно, существует такое N , что kB k k < 1 для всехk > N . Это означает, что при этих k выполняется неравенство1|ρ(A) + ε|−k kAk k < 1, откуда kAk k < |ρ(A) + ε|k и kAk k k <|ρ(A) + ε|.¤1.
Связи с системами линейных уравненийПусть в алгебре комплексных матриц задана матричнаянорма k k. Предположим, что нам задана некоторая невырожденная матрица A и произвольная матрица ε, с малой нормой.Сравним матрицы A−1 и (A + ε)−1 . Пусть kA−1 εk < 1. Оценимотносительную погрешностьkA−1 − (A + ε)−1 kkA−1 − A−1 (E + A−1 ε)−1 k==−1kA kkA−1 kPkE − (E + A−1 ε)−1 k = kE − j≥0 (−1)j (A−1 ε)j k =PPk j≥1 (−1)j (A−1 ε)j k 6 j≥1 k(A−1 ε)j k =Нормированные пространстваkA−1 εk.1 − kA−1 εk95(74)Мерой обусловленности матрицы A назовем число κ(A) =kA−1 kkAk.
В (74) имеемkA−1 kkεkκ(A)kAk−1 kεkkA−1 εk6=.1 − kA−1 εk1 − kA−1 kkεk1 − κ(A)kAk−1 kεkИз полученных оценок видно, что если мера обусловленностиматрицы близка к единицы, то операция вычисления обратнойматрицы дает достаточно высокую относительную точность,сравнимую с относительной точностью задания kεk.Мера обусловленности матрицы применима и к оценкамточности решения систем линейный уравнений. Пусть заданаквадратная система линейных уравнений Ax = b, где A – квадратная матрица, x, b – столбцы неизвестных и свободных членов.
Пусть x̂ – приближенной решение системы, r = b − Ax̂ –вектор невязки. Тогдаkx − x̂kkA−1 b − A−1 Ax̂k==kxkkxkkA−1 rkkrkkAxk6 kA−1 k= |A−1 kkrk6kxkkxkkbkkxkkrkkrkkA−1 kkAk= κ(A).kbkkbk2. УпражненияУпражнение 4.14. Доказать, что нормированное конечномерное векторное пространство над полем F полно.Упражнение 4.15. Доказать, что в конечномерном нормированном пространстве V для любых вещественных чиселa < b множество всех таких x ∈ V , что a 6 kxk 6 b компактно.Упражнение 4.16. Доказать, что алгебра матриц является нормированной алгеброй относительно норм, указанных впримере 4.6.Упражнение 4.17.
Показать, что kAk в (72) – это инфинум всех таких C ∈ R, что kAxk 6 Ckxk для всех x ∈ V .96В. А. АртамоновУпражнение 4.18. Пусть k k – норма в алгебре матриц иS – невырожденная матрица. Доказать, что функция kXkS =kS −1 XSk задает норму на алгебре матриц. Найти в терминахматрицы S такие положительные константы C1 , C2 , чтоC1 kXk 6 kXkS 6 C2 kXkдля всех матриц X.Упражнение 4.19. Показать, что lp -норма и l∞ -норма являются нормами в Fn .Упражнение 4.20. Если kk, kk0 – две нормы в пространстве V , то функция kxk00 = max(kxk, kxk0 ) также является нормой в V .Упражнение 4.21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
