В.А. Артамонов - Линейная алгебра для экономистов (1129135), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Пусть в конечномерном евклидовом(эрмитовом) пространстве V задана норма kxk. Показать, чтофункцияkxk∗ = sup |(x, y)|kyk=1является нормой. Она называется двойственной нормой дляkxk.Упражнение 4.22. Показать, что в условии упражнении 4.21 для любого вектора x найдется такой вектор z, что(z, x) = kzk kxk∗ .Упражнение 4.23. Пусть в пространстве Fn задана нормаkxk∞ . Найти двойственную норму kxk∗∞ .Упражнение 4.24. Пусть в пространстве Fn задана нормаkxkp , p > 1. Доказать, что двойственная норма kxk∗ имеет видkxkq , где p1 + 1q = 1.Упражнение 4.25.
Доказать, что в конечномерном евклидовом (эрмитовом) пространстве двойственная норма к двойственной совпадает с исходной.Упражнение 4.26. Найти такие положительные константы C1 , C2 , что для всех x ∈ Fn справедливы соотношенияC1 kxk2 6 kxk∞ 6 C2 kxk2 .Нормированные пространства97Упражнение 4.27. Пусть в пространстве Fn задана норма kxk1 . Доказать, что индуцированная норма в пространствеMat(n, F) имеет видkAk1 = max(jnX|aij |).i=1Упражнение 4.28. Пусть в пространстве Fn задана норма kxk∞ . Доказать, что индуцированная норма в пространствеMat(n, F) имеет видnXkAk∞ = max(|aij |).ij=1Упражнение 4.29. Пусть в пространстве Fn задана евклидова (эрмитова) норма.
kxk2 . Доказать, что индуцированнаянорма в пространстве Mat(n, F) является спектральной нормой√kAk2 = max{( λ|λ − собственное значение t AA}.pОпределение 4.30. Числа |λ|, где λ – собственное значение t AA} называются сингулярными числами матрицы (оператора) A.Упражнение 4.31.
Доказать, чтоX|aij |kAkl1 =ijявляется матричной нормой в алгебре матриц. Доказать, чтоона не индуцирована никакой векторной нормой.Упражнение 4.32. Доказать, чтоkAk = n max |aij |ijявляется матричной нормой в алгебре матриц размера n. Доказать, что она не индуцирована никакой векторной нормой.Упражнение 4.33. Найти такие положительные константы C1 , C2 , что для всех матриц A ∈ Mat(n, F) справедливы соотношенияC1 kAk1 6 kAk∞ 6 C2 kAk1 .98В. А. АртамоновУпражнение 4.34. Доказать, что если Ak → 0, то ρ(A) <1.Упражнение 4.35. Пусть kAk < 1 относительно некоторой матричной нормы.
Доказать, что матрица E − A обратима.Упражнение 4.36. Пусть ρ(A) < 1. Доказать, что матрица E − A обратима.Упражнение 4.37. Пусть A ∈ Mat(n, F) имеет собственные значения λ1 , . . . , λn . Доказать, чтоnX|λj |2 6 kAk2E .j=1Упражнение 4.38. Матричная норма kk унитарно инвариантна, если kAk = kU AV k для любыхqP унитарных матриц2U, V . Доказать, что норма kAkE =ij |aij | унитарно инвариантна.
Доказать, что kAkE 6 kAk для любой унитарно инвариантной нормы kAk.Упражнение 4.39. Пусть A ∈ Mat(n, F) – матрица ранга1, т. е. A = t xy, где x, y – строки длины n. Пусть в Fn задана норма k k, индуцирующая норму в Mat(n, F). Показать, чтоkAk = kxk kyk∗ , где k k∗ – норма, дуальная к k k, (см. упражнение 4.21).Упражнение 4.40. Пусть в Fn задана норма kk, индуцирующая норму в Mat(n, F). Показать, что|tr(AB)|,kBkr(B)=1kAk = maxгде r(B) – ранг матрицы B.Упражнение 4.41. Пусть в Fn задана норма kk, индуцирующая норму kk в Mat(n, F).
Показать, что если двойственная норма kk∗ в Fn индуцирует норму kk∗ в Mat(n, F), тоkAk = kt Ak∗ для всех A ∈ Mat(n, F).Упражнение 4.42. Пусть в Fn заданы две нормы kk, kk0индуцирующие одну и ту же норму в Mat(n, F). Показать, чтонормы kk, kk0 совпадают.Нормированные пространства99Упражнение 4.43. Пусть в Fn задана норма kk, индуцирующая норму kk в Mat(n, F). Показать, что если в Mat(n, F) задана вторая норма kk0 , причем kAk0 6 kAk для всех A ∈ Mat(n, F),то обе нормы совпадают.Упражнение 4.44. Доказать, что√1) kAkE 6 nkAk2 , A ∈ Mat(n, F);2) kABkE 6 kAk2 kBkE ;3) kABkE 6 kAkE kBk2 .Упражнение 4.45.
Пусть A – банахова F-алгебра, т. е.полная нормированная Pалгебра над полем F. Доказать, что радиус сходимости ρ ряда j>0 aj X j ∈ F[[X]] удовлетворяет усло1вию ρ1 = limn→∞ kan k n .Упражнение 4.46. Пусть A – банахова F-алгебра и элемент a ∈ A аннулируется некоторым многочленом из F[X] степени m. Доказать, что если f (X) ∈ F[[X]] и ряд f (a) сходитсяк элементу b ∈ A, то b лежит в линейной оболочке элементов1, a, . .
. , am−1 .Упражнение 4.47. Пусть A – банахова F-алгебра, a ∈ A иc – обратимый элемент из A. Доказать, что если f (X) ∈ F[[X]],то ряд f (a) сходится тогда и только тогда, когда сходится рядf (c−1 ac). При этом f (c−1 ac) = c−1 f (a)c.Упражнение 4.48. Пусть на алгебре матриц Mat(n, C) задана матричная норма и f (X) ∈ C[[X]]. Если a ∈ Mat(n, C), торяд f (a) сходится, если ρ(A) меньше радиуса сходимости рядаf (x).Упражнение 4.49. Пусть J – жорданова клетка размера nс λ по главной диагонали.
Предположим, что радиус сходимостиряда f (X) ∈ C[[X]] больше |λ|. Доказать, чтоn−20(λ)f n−1 (λ)f (λ) f 1!(λ) . . . f(n−2)!(n−1)!...... 0... f (λ)......... .f (J) = ..... .0.f(λ). 0.0f (λ)1!00...0f (λ)100В. А. АртамоновУпражнение 4.50. Пусть A ∈ Mat(n, F ). Доказать, чтоρ(A) = inf kAk, где inf берется по всем матричным нормам kAk.Упражнение 4.51. Рассмотрим в алгебре матриц спектральную норму. Доказать, что κ(A) равно отношению наибольшего сингулярного числа A к наименьшему.Упражнение 4.52. Доказать, что мера обусловленностиунитарной матрицы относительно спектральной нормы равна1.Упражнение 4.53.
Пусть κ(A) вычислено относительнонекоторой матричной нормы. Доказать, что κ(A) не меньше отношения модулей собственных значений из Задачи 4.51, еслиматрица A невырождена.Упражнение 4.54. Пусть x – вектор-столбец длины 1 относительно эрмитовой нормы в Cn и λ > 0 – вещественное число. Показать, что матрицаA = E + λxt xэрмитова. Найти собственные значения этой матрицы и вычислить κ(A) относительно спектральной нормы.Упражнение 4.55. Доказать, что относительно спектральной нормы для любой матрицы A справедливы равенстваκ(t AA) = κ(At A) = κ(A)2 .Упражнение 4.56.
Пусть A – верхнетреугольная невырожденная матрица. Доказать, что относительно любой матричной нормыPmaxi ( j |aij |)κ(A) >.mini |aii |Упражнение 4.57. Пусть матрица A обратима, а матрицаA + B вырождена. Тогдаκ(A) >kAk.kBkУпражнение 4.58. Пусть A ∈ Mat(n, F), и α1 > . . . >αn > 0 – сингулярные числа A.
Пусть Matr – множество матрицНормированные пространства101ранга меньше r. Доказать, чтоinfX∈MatrkA, Xk = αr .Упражнение 4.59. Пусть X – множество всех таких верхнетреугольных матриц R = (rij ) ∈ Mat(n, F ), что1) |rij | 6 1 для всех i, j;2) rii = 1 для всех i.Найти maxR∈X κ(R), где κ(R) определено по норме k k∞ .Упражнение 4.60. Пусть в Mat(n, F) задана матричнаянорма kk.
Предположим, что имеется последовательность Ai снормой 1, причем κ(Ai ) → ∞. Доказать, что det Ai → 0.Упражнение 4.61. Пусть A – положительно определенная матрица, и мера обусловленности задается спектральнойнормой. Показать, что κ(A + αE) является убывающей функций от положительного числа α.Упражнение 4.62. Доказать, что если в Mat(n, F) рассмотрена норма kk2 , тоκ(A) = 1 ⇐⇒ A = αU,где α ∈ F∗ , U – унитарная матрица.Упражнение 4.63. Пусть A – положительно определенная симметрическая матрица и B – ее главная подматрица. Доказать, что относительно спектральной нормы κ(B) 6 κ(A).Упражнение 4.64.
Найти решение системы1, 2515x1 + 0, 001x2 − 0, 002x30, 003x1 + 1, 501x2 + 0, 0005x3−0, 001x1 + 0, 001x2 + 2, 499x30, 0025x1 − 0, 0005x2+0, 0005x4−0, 0005x4+0, 0002x4+1, 8885x4= 2, 5,= 1, 5,= 5,= 2,с точностью до 0,01.Упражнение 4.65. Найти решение системы0, 501x1 − 0, 499x2 +0, 498x1 + 0, 502x2 +0, 001x3−0, 001x4= 0, 5,= 0, 5,102В. А. Артамонов0, 006x1 + 0, 007x2 +−0, 001x1 −3, 008x3 −1, 991x4= 0,2, 001x3 +x4= 0,с точностью до 0,06.Упражнение 4.66. Пусть A ∈ Mat(n, F) имеет собственные значения α1 , . .
. , αn . Доказать, чтоnX|αi |2 6 kAk22 .i=1Упражнение 4.67. Пусть A ∈ Mat(n, F) имеет собственные значения α1 , . . . , αn и сингулярные числа λ1 , . . . , λn . Доказать, чтоnnXX|αi | 6λi .i=1i=1Упражнение 4.68. Пусть в условиях предыдущей задачиA = (aij ). Доказать, чтоnXi=1|αi | 6nXi,j=1|aij |.Глава 5Неотрицательные матрицы.1. Теорема ПерронаОпределение. Пусть A, B – прямоугольные вещественныематрицы. Скажем, что A > B (A > B), если aij > bij (aij > bijдля любых элементов aij , bij матриц A и B.
Матрица A положительна (неотрицательна), если A > 0 (A > 0). В частности, мыбудем говорить о положительных (неотрицательных) векторахи квадратных матрицах.Пусть A = (aij ) ∈ Mat(n, R). Тогда |A| = (|aij |).Предложение 5.1. Cправедливы следующие соотношения:1) |AB| ≤ |A||B|;2) |A + B| ≤ |A| + |B|;3) |αA| = |α||A|, α ∈ R.Предложение 5.2. Пусть A, B ∈ Mat(n, R). Если |A| ≤B, то ρ(A) ≤ ρ(|A|) ≤ ρ(B).Доказательство. По предложению 5.1 для любого натурального числа k имеем |Ak | ≤ |A|k ≤ B k .
Рассмотрим на алгебре матриц норму k kE из главы 3, пример 4.6, п.3. ТогдаkAk kE ≤ k |A|k kE ≤ kB k kE . Отсюда111kAk kEk ≤ k |A|k kEk ≤ kB k kEk .Остается воспользоваться теоремой 4.11.103¤104В. А. АртамоновПредложение 5.3. Пусть A > 0, причемпостоянно для всех i = 1, . . .
, n. Тогдаρ(A) = kAk∞Pnj=1aij = C –nX= max(aij ) = C.ij=1Доказательство. Заметим, чтоkAk∞ =sup kAxk∞ ,kxk∞ =1где kxk∞ = maxi |xi |. Отсюда ρ(A) 6 kAk∞ = C. С другойстороны, если e = (1, . . . , 1), то Ae = Ce, откуда C 6 ρ(A).¤Теорема 5.4. Пусть A > 0. ТогдаPPmini ( j aij ) 6 ρ(A) 6 maxi ( j aij ),PPminj ( i aij ) 6 ρ(A) 6 maxi ( i aij )PДоказательство. Пусть C = mini ( j aij ). Тогда сущеPствует такая матрица B, что A > B > 0, причем j bij = C.Действительно, если C = 0, то положим B = 0. Если же C > 0,Caijто положим bij = P. По предложениям 5.3 и 5.2 получаемt aitρ(B) = C 6 ρ(A).PАналогично, если D = maxi ( j aij ), то можно построитьтакую матрицу B 0 , что 0 6 A 6 B 0 .Для доказательства второго утверждения рассмотримтранспонированную матрицу t A и заметим, что ρ(A) =ρ(t A).¤Следствие 5.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
