В.А. Артамонов - Линейная алгебра для экономистов (1129135)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТимени М.В.ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетЛинейная алгебра для экономистовВ. А. АртамоновMocква 1999 годВ. А. АртамоновЛинейная алгебра для экономистовДля студентов-математиков экономического профиля механикоматематических факультетов вузов.ISBN 5-87597-000-0c°Механико-математическийфакультет МГУ, 1999 г.Линейная алгебра для экономистов.M., Издательство Центра прикладных исследований примеханико-математическом факультете МГУ, 126 стр.Оригинал макет изготовлен издательской группой механикоматематического факультета МГУПодписано в печать 01.09.1999 г.Формат 60×90 1/16.
Объем 6,75 п.л.Заказ 7Тираж 200 экз.Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУг. Москва, Ленинские горы.Лицензия на издательскую деятельность ЛР N 040746,от 12.03.1996 г.Отпечатано на типографском оборудовании механикоматематического факультета и франко-русского центра им.А.М.Ляпунова.3ОглавлениеПредисловие7ЛитератураГлава1.2.3.4.91. Линейные неравенстваТеоремы отделимости, конусы и многогранникиТеорема фон Неймана и ее приложенияПолиэдрыУпражнения11122028362.
Элементы линейного программированияСимплекc-метод. Первый вариантСимплекc-метод. Второй вариантДвойственная задача линейного программированияРешение матричной игры с помощью линейногопрограммирования5. Упражнения41414750Глава1.2.3.4.5460Глава 3.Специальные задачи линейногопрограммированияТранспортная задачаЗадача о назначенияхКратчайшие расстояния на графеУпражнения6363778185Глава 4. Нормированные пространства и алгебры1.
Связи с системами линейных уравнений2. Упражнения8794951.2.3.4.Глава 5.Неотрицательные матрицы.51031.2.3.4.Глава1.2.3.4.5.Теорема ПерронаТеорема ФробениусаПриложенияУпражнения1031101161176. Локализация собственных значенийТеорема ГершгоринаQR-алгоритмМетод ХолецкогоМетод бисекцийУпражнения121121123132135137Глава 7.1.2.3.4.5.6.Оптимальное управление портфелем ценныхбумагПостановка задачиЛинейные уравненияЛинейные неравенстваДекомпозицияОднобумажная задачаПриближенное решение задачи с ограничением пориску6141141143145145148151ПредисловиеВ основу настоящего издания положен курс лекций, читавшийся автором с 1995 года на втором и третьем курсахмеханико-математического факультета МГУ для студентовматематиков, специализирующихся на применении математических методов в экономике (специальность МАТЕМАТИКА.ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА (ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПРОФИЛЬ) – 01.01.01.02.) При чтении лекции на втором и третьемкурсах программа изменялась.
В настоящее издание вошел весьматериал, читавшийся в разное время в рамках этого курса.Помимо теоретического материала в издание вошли многочисленные задачи, которые разбирались на семинарах.Курс знакомит слушателей и читателей с математическимиосновами линейного программирования: выпуклые множества,аффинные неравенства и теорема Фаркаша, полиэдры и их грани, теоремы Фань Цзы и Вейля, симплекс метод.
Затем излагается теорема фон Неймана и ее приложения к теории игр. Далее рассматриваются специальные задачи линейного программирования – транспортная задача и поиск кратчайшего пути награфе. Следующий раздел курса связан с изучением различныхнорм в алгебрах матриц и изложением теории неотрицательныхматриц, включая теорему Перрона и Фробениуса. В последующих разделах рассматривается задача локализации собственных значений, в частности QR-алгоритм.
В заключении курсаизлагается материал статьи, любезно предоставленный авторуЕ. Е. Демидовым. Этот материал демонстрирует применение,изложенных в курсе материалов для решения задачи оптимального управления портфелем ценных бумаг.Автор выражает глубокую благодарность В. Н. Латышеву,Е.
Е. Демидову, А. Клячко за полезные обсуждения и вниманиек работе.Имеется большой список литературы в рассматриваемойобласти, изложение которого занимает много места. Поэтомуниже мы приводим лишь некоторые последние публикации, доступные читателю.7Литература[ABVL] Артамонов В.
А., Бетелин В.В., Винберг Э. Б., Латышев В. Н. и др.Практикум по алгебре. / Под. ред. Н. С. Бахвалова, А. И. Кострикина.– М.: Изд. МГУ. - 1983. – 91с.[ABVGL] Артамонов В. А., Бахтурин Ю. А., Винберг Э. Б., Голод Е. С.,Латышев В. Н. и др. Сборник задач по алгебре. Под. ред. А. И. Кострикина. – М: МАИК НАУКА – 1999.[A1] Ашманов С. А. Линейное программирование. – М.: Наука. - 1973.[A2] Ашманов С. А. Математические модели и методы в экономике. – М.:Изд. МГУ. - 1980.[B] Болтянский В. Г. Оптимальное управление дискретными системами.– М.: Наука. - 1973.[Bou] Бурбаки Н. Топологичекие векторные пространства.
М: Изд. иностр.лит. - 1959.[VI] Васильев Ф. П., Иваницкий А. Ю. Линейное программирование. – М.:Факториал, 1998.[W] Вейль Г. Элементарная теория выпуклых полиэдров. – в сб. Матричные игры. – М.: Физматгиз. - 1961.[Ven] Вентцель Е. С. Элементы теории игр. – М.: Физматгиз. - 1961.[Vo] Воеводин В.В. Линейная алгебра. – М.: Наука. - 1975.[DC] Дюбин Г. И., Суздаль В. Г., Введение в прикладную теорию игр. –М.: Наука, 1981.[Z] Заславский Ю. Л. Сборник задач по линейному программированию.– – М.: Наука. - 1968.[ZA] Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И. Линейное и выпуклое программирование.
– М.: Наука. - 1967.[I] Икрамов Х. Д., Сборник задач по линейное алгебре. – М.: Наука. 1975.[LB] Лабскер Л. Г., Бабешко Л. О., Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом. – М,:Дело, 2001.[L] Латышев В. Н. Выпуклые многогранники и линейное программирование. – Ульяновск: Изд. Ульяновск. филиала МГУ. – 1992. – 71с.[PS] Пападимитриу Ч., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация: алгоритмы и сложность. Москва: Мир, 1985.9[PR] Партхасаратхи Т., Рагхаван Т., Некоторын вопросы теории игр двухлиц. М.:Мир, 1974.[PSZ] Петросян Л. А., Зенкевич Н.
А., Семина Е. А. Теория игр. – М,:Высш. шкл., Книжный дом "Университет", 1998.[1] [Pro] Протасов И. А. Теория игр и исследование операций. – М.: ГелиосАРВ, 2003.[RI] Размыслов Ю. П., Ищенко С. Я. Практикум по вычислительным методам алгебры. – М.: Изд. МГУ. - 1989. – 184с.[HD] Хорн Д.., Джонсон И. Матричный анализ. – М.: Наука. - 1989.[2] Харшаньи Джон, Зельтен Рейнхард. Общая теория выбора равновесияв играх.
С.-Петербург:Институт "Экономическая школа", 2001.[CH] Черников С. Н. Линейные неравенства. – М.: Наука. - 1968.10Глава 1Линейные неравенстваВ этой главе все аффинные и линейные пространства рассматриваются над полем вещественных чисел R. В них фиксирована евклидова метрика ρ(X, Y ), которая превращает аффинные пространства в метрические пространства. Топологияв них задается указанной метрикой. Напомним некоторые необходимые определения.Определение.
Пусть A, B – точки аффинного пространства An размерности n. Отрезком [A, B], соединяющим эти точ−−→ки называется множество всех точек вида A+λAB, где λ ∈ [0, 1].Подмножество в An выпукло, если вместе с любыми двумя его точками оно содержит весь отрезок, соединяющий этиточки.Функция f : An → R называется аффинной или линейной,если в некоторой (а, следовательно, и в любой) системе координат в An она имеет видf (x) = a1 x1 + · · · + an xn + a0 ,ai ∈ R,где точка x имеет координаты x1 , .
. . , xn . Другими словами, fзадает аффинное отображение f : An → R.Наконец, всюду в дальнейшем мы будем пользоваться следующим определениемОпределение. Пусть A, B – прямоугольные вещественныематрицы. Скажем, что A > B (A > B), если aij > bij (aij > bij )для любых элементов aij , bij матриц A и B.1112В. А. Артамонов1.
Теоремы отделимости, конусы и многогранникиТеорема 1.1. Пусть M – замкнутое выпуклое множество в An и задана точка A ∈ An \ M . Тогда существуеттакая аффинная функция f , что f (A) < 0 и f (x) > 0 для всехx ∈ M . Другими словами, M и A разделяются гиперплоскостью f (x) = 0.Доказательство. Пусть C ∈ M и ρ(C, A) = d > 0. Рассмотрим в An (замкнутый) шар S радиуса d c центром в A. Тогда S ∩ M – замкнутое ограниченное множество.
Поэтому найдется такая точка B ∈ M , на которой функция ρ(A, X), X ∈ M ,достигает минимума r > 0.Рассмотрим в An ортонормированную систему координатB, e1 , . . . , en ,SSSSSSSSt QtD½½S"S""½"e½S62"S T½"½"ÃtÃÃÃS½"½ÃÃÃ"ÃSÃÃÃý"t½ÃSt"ABe1M&Рис. 1.1Линейные неравенствас началом в точке B, причем e1 =−−→AB−−→ .kABk13Зададим линейнуюфункцию f (x) = x1 , где x1 – первая координата точки x в этойсистеме координат. Тогда f (A) = −r < 0. Предположим, чтосуществует такая точка D ∈ M , что f (D) < 0. В треугольникеBAD в этом случае угол ∠DBA острый (см. Рис.
1.1),−−→ −−→(BA, BD)f (A)f (D)cos ∠DBA = −−→ −−→ = −−→ −−→ > 0.kBAkkBDkkBAkkBDkСледовательно, основание Q перпендикуляра, опущенного изA на прямую DB, попадает на луч BD с вершиной в B. Настороне DB возьмем точку T , принадлежащую (BQ) ∩ (BD).Тогда π2 > ∠DT A > ∠DBA, откуда ρ(A, T ) < ρ(A, B). Приэтом T ∈ M в силу выпуклости M . Полученное противоречиезавершает доказательство.¤Теорема 1.2. Пусть M, N непересекающиеся замкнутыевыпуклые подмножества в An , причем одно из них компактно.Тогда существует такая аффинная функция f , что f (x) > 0для всех x ∈ M и f (y) < 0 для всех y ∈ N .Доказательство. Пусть N компактно и A ∈ N .
Из доказательства теоремы 1.1 вытекает существование ближайшейк A точки B ∈ M . Положим ρ(A) = ρ(A, B). Функция ρ(A)непрерывна на N и потому достигает минимума в некоторойточке A0 ∈ N . При этом ρ(A0 ) > 0 так как A0 ∈/ M . Пустьρ(A0 ) = ρ(A0 , B0 ), B0 ∈ M . Остается провести через середину[A0 , B0 ] перпендикулярную гиперплоскость.¤Определение 1.3. Конусом K в An с вершиной в O ∈A называется множество точек в An , обладающее следующим−→свойством: если A ∈ K, λ ∈ R, λ > 0, то O + λOA ∈ K.nПредложение 1.4. Конус K является выпуклым множеством тогда и только тогда, когда из условия P, Q ∈ K вы−−→ −−→текает, что O + (OP + OQ) ∈ K.Доказательство.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
