В.А. Артамонов - Линейная алгебра для экономистов (1129135), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Пусть A – вещественная матрица, причем все круги Гершгорина не пересекаются. Доказать, что всесобственные значения A вещественны.Упражнение 6.19. Пусть в матрице A для каждого i =1, . . . , k выполнено неравенствоX|aii | >|aij |.j6=iДоказать, что ранг матрицы A не меньше k.Упражнение 6.20.
Пусть A ∈ Mat(n, R). Доказать, чтоA = QDQ0 , где матрицы Q, Q0 ортогональны, а матрица D диагональна.Упражнение 6.21. Пусть w 6= 0 – вектор евклидова пространства E. Рассмотрим в E отображение x → Uw (x) =(x,w)w. Доказать, что Uw является ортогональным опеx − 2 (w,w)ратором, причем Uw (w) = −w, и Uw (x) = x, если x ∈< w >⊥ .Упражнение 6.22. Пусть x, y – ненулевые векторы из евклидова пространства, причем y ∈</ x >.
Доказать, что существует такой ненулевой вектор w, что Uw (x) = αy, α ∈ R.Упражнение 6.23. Пусть A ∈ Mat(n, R). Тогда существуют такие векторы w1 , . . . , wk , где k ≤ n − 1, что матрицаUw1 · · · Uwk A верхнетреугольная.Упражнение 6.24. Пусть задана QR-последовательностьAm , m ≥ 0, сходящаяся к верхнетреугольной матрице. Найтисобственные значения A0 .Упражнение 6.25. Пусть задана QR-последовательностьAm , m ≥ 0, сходящаяся к матрице B. Доказать, что A0 = t U BUдля некоторой унитарной (ортогональной) матрицы U .Упражнение 6.26. Пусть A – комплексная матрица. Доказать, что существуют такие унитарные матрицы S, U , что138В. А.
АртамоновA = SXU , гдеx10 ...X=. ..00y1x2...000y2...........00..00...... . . xn−1...000.......yn−1 xnЕсли матрица A вещественная, то матрицы S, X, U можно выбрать вещественными.Упражнение 6.27. Построить QR-последовательностьдля матрицыµ¶0 1X=.1 0Будет ли она сходится?Упражнение 6.28. Пусть X – двудиагональная комплексная матрица из упражнении 6.26. Доказать, что X = D1 Y D2 ,где матрицы D1 , D2 диагональны, а матрица Y вещественна.Упражнение 6.29. Пусть3 1 1A = 1 3 1 .1 1 3Привести матрицу A к трехдиагональному виду. Найти ее QRразложение.Упражнение 6.30. Привести матрицу10 1 11 3 4 1 4 100к трехдиагональному виду. Найти для нее QR-разложение.Упражнение 6.31.
Найти1 11 00 2QR-разложение для матрицы02 .1Локализация значения139Упражнение 6.32. Пусть A ∈ Mat(n, R) – симметрическая матрица. Доказать, что существует такое вещественноечисло α, что(1) матрица A + αE положительно определена;(2) если λ – собственное значение A + αE, то −λ не является собственным значением A + αE.Упражнение 6.33. Пусть A ∈ Mat(n, R) – симметрическая матрица с собственными значениями λ1 > . . . .λn > 0.Пусть число λ ∈ R, причем 0 < λn − λ < λn .
Сравнить скорости сходимости QR-алгоритмов матриц A и A − λE.Упражнение 6.34. Пустьµ5A=48¶48.−5Найти число α ∈ R, для которого выполнены утверждения задачи упражнении 6.32.Глава 7Оптимальное управление портфелемценных бумагРезультаты этой главы принадлежат М. А. Гильману, Е. Е.Демидову и А.
Г. Михееву.Построение оптимальной стратегии управления портфелемценных бумаг на заданном временном интервале, как по известным ретроспективным данным, так и по результатам прогноза,является весьма важной задачей. В первом случае найденнаяв безрисковой ситуации стратегия позволяет оценить "упущенные возможности", а во втором – с учетом риска определитьнаиболее целесообразное поведение инвестора на будущее.в этой главе задача оптимизации будет сформулирована какзадача линейного программирования. Будет показано, что в отсутствие ограничений по риску и по объему покупок/продаж задача сводится к "однобумажной"ситуации, Отсюда следует, чтосложность вычислений оптимальной траектории может бытьрезко снижена.
Кроме того, для решения задачи оптимизации сограничениями по риску предлагаются некоторые приближенные методы.1. Постановка задачиВ этом разделе анализируется задача управления портфелем из n активов на интервале N дней. Пусть задан начальныйсостав портфеля – вектор Q1 = (Q11 , . . . , Q1n ), у которого координата Q1i равна количеству i-го актива. Пусть на заданномпериоде времени известны цены всех активов, именно, пусть Pitt– средняя цена i-го актива в день t, и P ti , P i – ее нижняя иверхняя границы, соответственно. Предположим также, что на141142В.
А. Артамоноврассматриваемом периоде времени осуществляется ввод и вывод денежных средств из портфеля. Обозначим через F t – сумму, вводимую (при Ft > 0) или выводимую (при F t < 0) в деньt. Будем считать, что комиссионные издержки при совершениисделки купли/продажи имеют вид τ P , если P – сумма сделки,и τ – фиксированная ставка. Из дальнейшего видно, что еслиставки комиссионных при покупке и при продаже различны, ноне зависят от объемов сделки, то они могут быть надлежащимобразом учтены.Определение 7.1. Назовем стратегией управления портфелем такую последовательность векторов Q2 , .
. . , QN на каждый день управления, что суммарный капитал портфеляφt = P1t Qt1 + · · · + Pnt Qtnв конечный момент времени t = N был бы максимален. Приэтом требуется, чтобы стратегия была бы самофинансирующейся, т. е. при переформировании портфеля должны быть учтенывозможные издержки, а также поток денежных средств F .
Кроме того, возможны ограничения на объемы покупок/продаж,а также ограничения по риску. Под риском будет пониматьсянедополучение прибыли.В дальнейшем предполагается, что цены активов, служащие исходными данными для задачи, неотрицательны. Равенство Pit = 0 означает, что i-ый актив в день t не имеется вобращении, т. е.
он либо погашен, либо еще не выпущен. Длядостаточно больших N , как правило, несколько начальных иликонечных отрезков строк цен обращаются в нуль.С практической точки зрения предпочтение следует отдавать диверсифицированным стратегиям, при которых капиталпортфеля распределен между активами в некотором смысле"равномерно". Это позволяет инвестору обезопасить себя отаномально резких изменений котировок отдельных активов.
Известно несколько способов достижения разумной диверсификации – в основном, за счет введения в задачу нелинейности илидополнительных ограничений.Локализация значения1432. Линейные уравненияДля того, чтобы написать уравнения, задающие условия самофинансирования, введем дополнительный актив – "деньги",количество которого в день t обозначим Qt0 . Пусть sti – частьколичества i-го актива в день t, которая будет продана, а qit –часть, которая будет оставлена. ТогдаQti = qit + sti , i = 1 . . . , n;PQt0 = i Sit sti + F t ,где Sit = Pit (1 − τ ) – цена продажи единицы i-го актива в деньt с учетом комиссионных издержек.
Сумма денег Qt0 , вырученная от продаж активов с учетом средств, вводимых в портфельили выводимых из него, расходуется далее на покупку активов.Пусть bti – сумма денег, идущая на покупку i-го актива. ТогдаQt+1= qit + Bit bti , i = 1 . . . , n;iPQt0 = i bti ,гдеBit=1,+ τ)Pit (1если Pit 6= 0;0,в противном случае;– количество денег i-го актива, покупаемое на единицу денег сучетом комиссионных издержек.Итак, после исключения переменных Qti при t = 1, . . . , N ,стратегия (последовательности векторов Q1 , . . .
, QN ) можно однозначно сопоставить набор из N векторов v 1 , . . . , v N размерности 3n видаv i = (q1t , . . . , qnt , st1 , . . . , stn , bt1 , . . . , btn ).Условия самофинансирования записываются с помощью блочной матрицы 1S00 ...00B 1 S 2 0 . . .00 0 B2 S3 . . .00 A=0 B3 . . .00 0. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .000 . . . B N −1 S N144В. А. Артамоновразмера (n + 1)N × 3nN , где матричные блоки S i и Bi размера(n + 1) × 3n имеют видSt =1 0 ... 0 10 ... 0 0 ... 00 1 . . . 0 01 . . . 0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,0 0 . . . 1 00 . . . 1 0 . . . 00 0 . . . 0 S1t S2t . . . Snt 1 . . . 1Bt =−1 0 . . . 0 0 0 . . . 0 −B1t0...0 0 −1 . . . 0 0 0 . . . 00−B2t . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .00 . . . −1 0 0 . . . 000. . . −Bnt 00 ... 0 0 0 ... 000...0Положим v = (v 1 , . . . , v N ) и u = (u1 , . . . , un ), гдеu1 = (Q11 , . . . , Q1n , F 1 ),u2 = (0, . . . , 0,F 2 ),................................uN = (0, . . .
, 0, F N ).Тогда условие самофинансирования записывается в виде системлинейных уравнений Av = u.Замечание 7.2. Если цены продаж будут ниже цен покупок (с учетом комиссионных издержек), то для оптимальнойстратегии будут выполнены дополнительные ограниченияsti bti = 0,i = 1, . . . , n,t = 1 .
. . , N,поскольку в такой ситуации, очевидно, невыгодно сначала продавать некоторый актив, а потом покупать его же.Замечание 7.3. Выписанные выше линейные ограничениянетрудно модифицировать для ситуации, когда денежные средства, вырученные от продаж активов, поступают на счет инвестора с некоторой задержкой, зависящей от типа данного актива (например, при электронных торгах по ГКО перевод денегЛокализация значения145происходит без задержек, а при торгах по акциям приватизированных предприятий задержка составляет от двух до пятирабочих дней.) Для учета задержки нужная часть блоков S 1 вматрице A должна быть перенесена вниз.
Кроме того, платежи,приходящиеся на дни, следующие за концом интервала управления, должны быть надлежащим образом учтены в функционалеφN .3. Линейные неравенстваВсегда имеются простые ограничения:qit ≥ 0, sti ≥ 0, bti ≥ 0,i = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
