В.А. Артамонов - Линейная алгебра для экономистов (1129135), страница 19
Текст из файла (страница 19)
. . , n; t = 1, . . . , N.Совокупность этих ограничений будем как и выше обозначатьv ≥ 0. Ограничения на объемы продаж и покупок имеют, соответственно, видsti 6 sti ,i = 1 . . . , n;tbti 6 bi ,i = 1 . . . , n.Совокупность таких ограничений обозначим через v 6 v. Здесьw означает верхнюю границу величины w на рассматриваемыйпериод.4. ДекомпозицияИтак, задача оптимального управления порфтелем, поставленная в разделе 2, приобретает вид задачи линейного программирования:N NφN (v) = P1N QN1 + · · · + Pn Qn → max,Av = u, 0 6 v 6 v.Далее мы рассмотрим задачу оптимального управления портфелем с простыми ограничениями вид:φN (v) → max,Av = u,v > 0,u > 0.(106)Условие u > 0 означает, что на этапе управления не производится вывода средств. Напомним, чтоN NφN (v) = P1N QN1 + · · · + Pn Qn =N NNP1N (q1N + sN1 ) + · · · + Pn (qn + sn ).146В.
А. Артамоновявляется конечным капиталом портфеля.Теорема 7.4. Решение задачи является линейной комбинацией с неотрицательными коэффициентами решений wj задачφN (wj ) → max,Awj = ej , wj > 0,iгде j = 1, . . . , 3nN , и ej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) – базисный вектор,nNXXv=Q1i ei +F t e(n+1)t .i=1i=1Мы проведем доказательство в несколько шагов.Предложение 7.5. Пусть N = 2 и у вектора(Q11 , . . . , Q1n , Q10 ) все координаты, кроме одной, равны нулю. Тогда при оптимальной стратегии вектор (Q21 , .
. . , Q2n , Q20 ) также обладает указанным свойством.Q10Доказательство. Пусть сначала Q11 = · · · = Q1n = 0 и6= 0. ТогдаX(107)r = Q10 + F 1 =b1i + Q20 , b11 , . . . , b1n , Q20 > 0.iЗаметим, чтоQ2i = b1i Bi2 ,Bi1 > 0, i > 1.(108)Необходимо найтиφ2 (v) = P12 Q21 + · · · + Pn2 Q2n → maxпри условиях (107), (108). Указанные ограничения задают полиэдр, вершины которого имеют все нулевые координаты, кромеодной.
Поэтому max достигается в вершине.Предположим теперь, чтоQ11 6= 0,Q12 = · · · = Q1n = Q10 = 0.ТогдаQ11 = q11 + s11 ,P12i bi + Q0 ,Q2i = qi1 + Bi1 b1i ,r = S11 s11 =i > 1,Локализация значения147причем b1i s1i = 0. Снова экстремум достигается в вершине.¤Определение 7.6. Аффинная функция Φ(x) конуснолинейна, если Φ(αx + βy) = αΦ(x) + βΦ(y) для всех α, β > 0.Предложение 7.7.
Решение задачи (106) конусно линейна.Доказательство. Проверим справедливость этого утверждения индукцией по числу шагов. Случай одного шага рассмотрен в предложении 7.5. Нам необходимаЛемма 7.8. Рассмотрим две задачимированияφ → maxAx = b,(ZZ) :(ZZλ) :x > 0;линейного програмφ → maxAx = λ,x > 0;Тогда λ(maxZZ ) = maxZZλ .Доказательство этой леммы является несложным утверждением.Завершим доказательство предложения. Пусть для t шагов утверждение доказано. Тогда на каждом шаге свойствоконечно-линейности сохраняется в силу леммы.¤Из предложений 7.5, 7.7 вытекает утверждение теоремы 7.4.Следствие 7.9. Изначально однобумажный портфельостается однобумажным на всем интервале управления.Следствие 7.10.
Нахождение максимальной доходностипортфеля при отсутствииввода/вывода средств (чистой спекулятивной доходности)при заданном начальном капитале портфеля эквивалентно перебору n вариантов вложения этого капитала в один из активов.000Пусть Q t и Q t , t = 1, . . . , N – две стратегии управленияпортфелем. Назовем суммой этих стратегий стратегию Qt , прикоторой000Qti = Qit + Qi t , i = 1, . . . , n.Из предыдущих рассуждений вытекает148В. А. АртамоновТеорема 7.11. Оптимальная стратегия в задаче (106)при отсутствии вывода средств равна сумме n + nin однобумажных стратегий, где nin – количество дней, в которыепроисходит ввод средств.Замечание 7.12.
Как показывает практика, вырождение оптимальной стратегии в однобумажную производит черезнесколько шагов, в основном, благодаря тому, что цена какоголибо актива аномально резко изменилась. Как правило, при неслишком больших ставках трансакционных издержек (r ≈ 0.01)оптимальная стратегия сводится к переложению средств в наиболее доходный (к следующему дню) актив.
При более равномерном поведении цен стратегия остается диверсифицированной.5. Однобумажная задачаПусть в первый день периода управления все средства вложены в один актив, ввод/вывод средств производится без ограничений на объем покупок/продаж. В этом случае вся стратегия будет однобумажной.Пусть Qtj – количество j-ого актива в день t, Pjt – его цена. Тогда количество i-го актива, купленного по цене Pit на всювырученную от продаж j-го актива сумму (с учетом трансакционных издержек) равнаQt+1=iPjt (1 − τ ) tQ .Pit (1 + τ ) jОпределим трансакционных матрицы T t , t = 2, . .
. , N , полагая tP (1 − τ ) t jtQ , если i 6= j, Pit .Pjt 6= 0;Pi (1 + τ ) jtTij =если i = j, Pit 6= 0;1,0,в остальных случаях.Таким образом, задача оптимальной стратегии сводится к вычислениюmax (TiNN iN −1 · · · Ti22 i1 Q1i1 ) = QNiNi1 ,...,iN −1(109)Локализация значения149и нахождению оптимальной траектории, т. е. последовательности i1 , .
. . , iN , на который этот максимум достигается. ЗдесьQ1 – вектор начальных количеств активов, имеющих лишь одну ненулевую компоненту. Конец iN оптимальной траекторииопределяется как номер актива, на котором достигается максимум конечного капитала – maxi (PiN QNi ).Рассмотрим множество R+ неотрицательных вещественныхчисел с операциямиx ⊕ y = max(x, y),x ¯ y = xy.Эти операции превращают R+ в ассоциативное идемпотентноеполукольцо. Нетрудно видеть, что выражения (109) сводятся кперемножению трансакционных матриц в смысле полукольцаR+ , именно,NQN¯ · · · ¯ T 2 ¯ Q1 )iN ,iN = (Tпоскольку (A ¯ B)ij = maxk (aik bkj ), и умножение матриц ассоциативно.
Сложность операции матричного умножения в полукольце R+ такая же, что и в сложность обычного матричного умножения. Тем самым, задача управления однобумажнымпортфелем допускает эффективное решение.Для нахождения траектории можно завести вспомогательный массив индексов Ijt , где j = 1, . . . , n и t = 1, . . . , N − 1,сt+1 tIjt = i0 : (T t+1 ¯ Qt )j = TjiQi0 ,0t+1 tт.
е. на i0 достигается максимум произведений TjiQi . ЗдесьQt = T t−1 ¯ · · · ¯ T 2 ¯ Q1 .Положим IjN = j. Конец оптимальной траектории iN определяется из условияN NPiNN QNiN = max(Pi Qi ).iДалее, если iN , iN −1 , . . . , it уже известны, то it−1 определяетсяиз условия it−1 = Iit−1. Итак, однобумажная задача решена.tДля оценки риска однобумажной траектории (i1 , .
. . , iN ) заметим, что конечный капиталCout = C(Q1i1 , i1 , . . . , iN ) = PiNN QNiN150В. А. Артамоновможет уменьшиться, если продажи осуществляются по ценамP ti , в то время как покупки – по ценам Pit (напомним, чтоtP ti 6 Pit 6 P i ). Поэтому, если определить матрицы "невыгодных трансакций"как tP i (1 − τ )t,если i 6= j, P ti , P i 6= 0, tP i (1 + τ )T̂ijt =1,если i = j, Pit 6= 0,0,в противном случае ,тоN11Cout > C = C(Q1i1 , i1 , .
. . , iN ) = P NiN T̂iN iN −1 · · · T̂i2 i1 Qi1 .Отметим, что зависимость C(Q1i1 , i1 , . . . , iN ) от Q1i1 при фиксированной траектории линейна.Замечание 7.13. При решении однобумажной задачи полезно добавить еще один актив "деньги". Введение этого активапозволит рассматривать такой вариант стратегии, когда вместоубыточного вложения средств в один из активов происходит их"консервация"в виде денег. Для этого к матрице цен Pit надоприписать еще одну строку (будем считать ее нулевой) с P0t = 1для всех t = 1, .
. . , N . Правила составления трансакционныхматриц остаются после этого прежними.Замечание 7.14. В трансакционной матрице T t можетбыть закодирована разнообразная информация об условияхторгов в данный день. Например, рассмотрим портфель ГКОв день аукциона t. Пусть в этот день выпускаются облигацииi0 , а облигации j0 гасятся; по другим облигациям в этот день,согласно правилам, торги не производятся. Кроме того, при погашении облигации комиссионные с получаемой суммы не взимаются. Поэтому матрица T t должна выглядеть следующим образомPnomTit0 j0 = t,P − i0 (1 + τ )(Pnom – номинальная цена облигации, по которой и осуществляется погашение),1tT0j= Pnom , Tit0 0 = t0P − i0 (1 + τ )Локализация значения151(актив с номером 0 – это "деньги"),tT00= 1,Tiit = 1,если i-ая облигация существует в день t и i 6= i0 , j0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
