В.И. Денисов - Введение в электродинамику материальных сред (djvu) (1129084), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Учитывая, что Функция ~(с) является вещественной и подставляя в правую часть равенства (50.2) выражение с(с >) = с'(ой+ 26"(ы), будем иметь - 542- ЕЕ )=! 4 /11) Е о ОО Е "1 ) - 4 /)Г.) е' о Иа атих соотноианий непосредственно сладуат, что действительыая часть комплаксной дивлактричаской проницаемости является четной функцией, а инимая часть - нечетной Функцией своих аргументов) с (-с*в) = Е (оо) ) са(- й) = — с."(е )) (50.5) Переписывая соотыошение (50.2) в вида ПГ~) = Ну))$~ ~Гх) е' 'сЬ-., 0 выясним тапарь аналитические свойства Функции й (л) при комплекс ных аначаныях аргуманта 2 = к+~-ч .
Легко убеди*вся, что Функция 6(х) на имеет особых точек в верхней полуплоскости (при ц ~ 0 ). действительно, подставляя х = х е- 44) в выражения (50.4)е получиы ЕЕ) П()(-ю-щ) = (тЩ~(~('-) е е дт. О Поскольку Функция ~('г) ограниченная, то этот интеграл сходитса при всех 4) в О .
Более того, в случае диэлектрических сред Функция ~(и) достаточно быстро стремится к кули прн х- сс). понтону данный интеграл сходится и при ц = О. Вса ато означает, что функция Е(У) на имеет никаких особенностей в верхней полуплоскости. Кроме того, можно покааать, что в верхней полу(~ив) фу ц ЕЕ ) — 1 ~)))1' ) Н~ стремится к кулю при Х вЂ” оо- Испальзуя зти свойства Функции Е ~е) , мы можем вывести Формулы Крамерса-Кранига. Для этого рассыотрим интеграл / 2 — сй Г ааятый по контуру Г , изображекноиу на рис.15.
Поскольку Функция 6~~) н верхней полуплоскости не имает особых точек, то а силу теоремы о вычетах этот интеграл равен нулю. Рис. 15. Контур интегрирования Г Таким образом, мы можем записать 1+? +1 +1 — О, (50.5) — 145— Выделяя действительные и иниыые чести етого равенства, получим окончательно Е'~сз) — 1 = — ~ с1 ы, 1 Г ЕшГх) Уб ~ Х вЂ” сву СЮ 1 ГЕТк)-1 1 1 -СО (50.6) Эти форыулы и называются формулемы Кремерса-Кронига. Они показывают, что действительная и мнимая части комплеконой диалектрической проницаемости не являются неаависииыми друг от друга, а з силу принципа причинности свяазны мешду собой интегральными соотношенинми.
Поэтому, зная одну иа частей (действительную илы ынииую), другую часть мокко определить, проводя интегрировеыке в одном из соотношений (50.6). Это свойство Е' и Е" достаточ-' но широко используется не практике. Найболее' удобной для намерения является мнимая часть Е , так как онз непосредственно связана с поглояением энергии элентроиагнитных волн в среде.
Позтому для определения зависимости Е = Е(мз) некоторой среды обычно проводят измерение поглощения алектромегнитных волн в атой среде в достаточыо шираком интервале частот, находят зависимость Е"= Е"бо), а ватам проводя интегрирование в первом из выражений (50.6), определяют ЕТм)5. Следует отметить, что в случае проводников формулы Кремарса-Кровига имеют несколько иной вид. Действительно, как уше указывалось в начеле главы 6, функция е Гас) для проводников имеет в точке сс = 0 особенность.
Учитывая агу особеныость и проводя вычисления, аналогичные проделанным, легко убедиться, что для проводников первая из формул (50.6) остается неизменной, е вторая принимает вид ГЕ'(и) — 1 Фхб Е"('с >) = — — (: сЫ +— тс/к — ы СаЗ Соотношениям (50.6) мошно придать и несколько иной вид, если учесть свойства (50.5) функций Е'1со) и Е"Ссс) . Зля втого запишем, например, первое из выражений (50.6), нано разделив - 146- интарвэл интегрирования на две части: о СО Я ~с~>) — 1 — дХ -Ф- ~ «~Х у Г ~'Я"(х) Г8"(х) и- ~ / Х-сю ,1 Х-са (Ф О Прсизвадем таперь замену х — х паременной интегрирования в парном иэ этих интегралов.
Объединяя его со вторым интегралом, получим ~'С5 — ~" — У~ ~-— 1 1 Г 8'(-х) ~"жЧ Х у ~ Х+со Х вЂ” Ы~ О (50.8) Учитывая равенства (50.5), будем мметь Ю Е~(иь) = ') ~- — — с)х ° Г Хн''(Х) (50 7) О Совершенно аналогично можно показать, что ) ~/ Хз с~з О Лля большинства мзтариальных срад Функция Я"(оь) имеет адин или насколько резких максимумов в окрастности накаторых характерных частот и достаточно быстро спадаат к нулю при с ь оо н с.ь — () (см., например, рис.15). Это свойство Функции 6"(с.ь) поэволяат научить поведение Функции 8'(с >) в области малых и больших частот. предположим, что Функция 8"(х) принимает достаточно боль|из значания толька лишь в области, заключенной изиду накотсРыми двУма чзстотаии бь и сол ( 0 « со « х « «оа ), и стремится к нулю вна алого интервала.
Тогда выражение (50.7) молью ааписать в следующем приближенном виде: л Я'( ) ) — У вЂ”,дХ- 2 Х Е "(Х) К Хэ ар оъ Так как интагрирование в этом выражении производится по интарва- ЛУ СД Ю Х А Сбл , тс ПРИ Сд МОО В ПОДЫНтаГРаЛЬНОМ ВЫРажа- ю - 147- нии возкикает малый параметр х/с> 7 и иы молем записать Ограничиваясь несколькиии членами этого, вообще говоря, бесконечного ряда, получим я, л, Е (со)— 2 4 (30.9) где оЗа Я = — Х а."(х)дм. 2 тг / А = — ХЕ"ГК)с~ми (90.10) где л/ е"~") Ы1 (дл о)1 используя соотношения (28.9), легко убедиться, что выражения (50.9) и (50. 10) правильно передают качественное поведение 8'фо) и для рассмотренного нани ранее случая простейий иетериальной среды - резрекенного неИтрального газа.
Как свидетельствуют опытные данные, этз Формуле достаточно хорошо передает качественное поведение Я'(со) в области больиих честот. ЛРУгот пРедельный слУчаИ возникает, когда оь сс с УтВ атом случае малым параметром является отношение оо/хи иа выраления (50.8) мы имеем аъ) - ~+В, В, у', 5 51. Фазозая и г ппозая око ости алект омагнитной он с ги а В случае распространения злактромагнитных волн в дисперглрующих срадах встаат вопрос об опраделении их скорости. Очазидно, что в случае распространении ыонохроматической волны в качестве еа скорости может быть принята скорость распространания поверхыости постоянной Фазы. Эта скорость з научной литературе получилв название Щзовсй скорости.
Так как для монохроматической волны положение поверхности постоянной Фазы в любой ыомант врамани определяется ооотноианием ю~ — к (с0) 7 = сОГсзх ~ то диФФаранцируя зто равенство по времени, имеем с.з — к хг = О. Ч' учитывая, что вектор Фвзовой скорости Ъ направлен вдоль вектора К , получим ЧГ 'Р ы (51.1) Таким образом, зная закон дисперсии К = К(со), мы всегда можем. найти $авовую скорость любой монохроиатичаской волны.
Очевидно, что в свмом общем случае эта скорость будет аазисеть от частоты волны. Если вса монохроматичаскиа волны, составляющие некоторый волновой пакет, распространяютсн с одной и той же Фазозой скороотью, то данный пекет будет распространяться в пространства как единое целое, баз изменения аго Формы. Понтону скорость неыонахроматичаской волны (золнозого наката) в данном случае будет совпадать с Фазовой скоростью любой иа составляющих аа моыохромвтичеоких волн.
В том же случае, когда различные монохромвтичвокие волны распространяются с различными Фазовыми скоростями, волновой пакет при свозы движении будет даФормироваться и вопрос о скоростк его распространения становится болев слоиныы. Если изменения Формы волнового пакета происходя~ достаточно медленно, то в качаства скорости аго распространения можно принять скорость движения максииума зтого пакета. В научной ли- Р УР Р У БХ~ИМ БИЙСКИ монохроматичаской волны. для ее нахождения рассмотрим ыекоторуш группу монохрометическнх волн, частоты которых содержатся в некотором достаточно узком интервале частоты ж , так чтобы Фазовые скорости этих валы лишь незначительыо отличались друг от друга ы 5иоощы Ь, б«с.з Не конкретизируя заранеее природу этих волн, лысом и+3 -'г й-" ) ~р (г;Т) = ~р(с,э) а.
<йети . з.-й Произведем замену переменной интегрирования с з= ~ +с,з, в этом выражении. В результате получим (51 2) Разложим теперь волновой вектор К(сй„+~) в рцл Тэйлора -Ф. й- с)м $з д~к кМ+Ю= ~.)+-' — - — —.+ --- — ~! Дм 2! А,з В *ом случае, когда Фаэовые скорости монохроматическнх вола в рассматриваемом интервале частот отличаются друг от друга достаточно мало, волновой вектор К в силу соотношения (51.1) будет также достаточно ыедленыо изменяпщейся Фуыкцией частоты. Поатому в разложении (51.5) можно ограничиться лишь линейыым приближеыием.
Тогда, подставляя это разлонение в выражеыие (51.2), будем иметь Функция Ч со„,п — ЬР ЫЕТ(ы+» Р— % с- -Б входящая в это выражение иэ-эа малости Ь н — (оъ ), нвля- до стоя медленно изменяющейся фуыкцией координат и времена и представляет собой огибаювую волнового пакета. Скорость давления точек атой огибающей, очевыдно, и будет групповой скоростью волнового пакета.
Так как радиус-вектор г 6~Я), определяющий полокение максимума огибающей, в любой момент времени удовлетворяат уравыенню Ь7 Й вЂ” ~и,) й~~) = сопвй, ась М то для групповой скорости Ю * — получим следующее соотноиение: 'Р сК хг — = О.
с/К 'Р асс сМ В тои случае, когда векторы ТГ и — коллинеарны и направгр с1са лены в одну сторону, получим 1Г дц~ (51 ч) Ч' дк Таким образом, если известен закон дисперсии К= к(М), то соотноиение ~51.Н) дает воамокность определить групповую скорость волновых пакетов. э 52. Раап ест невке плоских элакт омагнитных волн в йрой)вчнйх срщЖ Наличие мнимой части у комплексной диэлектрической проницаемости среды и отличие ее действительной части от единицы приводят к тону, что распространение алектромагнитных волн в средах существенно отличается от нх распространения в вакууме. Для того, чтобы в этом убедиться, рассмотрим некоторую область пространства, в которой находится покоящаяся однородная и иаотропная среда.
Предполоким далее, что свободные заряды и токи в среде отсутствуют. Тогде уравнения Максвелла для данной области будут иметь вид т.о1Й = 1-— ц а~ (52,1) - 151— ~кЕ3 - —,Й, пкЕ =О, (52,5) Лальнейший аналиа респространения плоской монохроматической алектромагнитной волны в метериальной среде существенно зависит от того, равна или не равна нуню комплексная диэлектрическая проницаемость среды на данной' частоте. рассмотрим эти две воамошности последовательно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
