В.И. Денисов - Введение в электродинамику материальных сред (djvu) (1129084), страница 20
Текст из файла (страница 20)
1. Пусть не частоте злектромегнитной волны ш1сь)= О . В В самом общем случее эти уравнения описывают переменное во вре- мени и иаменяющееся в пространстве электромагнитное пола, оп- ределяемое начальными и граничными условнямн. Наиболее прос- тым примером такого поля является плоская монохрометическэя электромагнитная волна.
В этом случае входящие в уравнения (52.1) векторы можно представить в виде -2('ю1- йт ) Е=Е,е ( Л вЂ” йР) (52*2) Н=Н,е Э = п~ )Е, В =р~су)Й, где сд — частоты и К вЂ” волновой вектор электромагнитной вол- ны. Поскольку для большинства сред магнитная проницаемость оста- ется практически постоянной величиной в широком интервале час- тот, то, не ограничивая общности, мы будем считать, что )ы.= 1, Подставляя выражения (52.2) в уравнения (52.1), получим ~кЙ1 = — — Е, С - 152— этом случае уравнения (52.5) принимают вид ~кЙ) О, ~КЕ~ ~~ Й, кЙ= О.
Первое из них утверидает, что вектор Й коллинеарен вектору К , в то время кек иэ последнего уравнения данной системы следует, что зти два векторе ортогонэльны. Вектор, удовлетворяюкий этим требованиям, единствен: Й = О. Таким образом, из всей системы уравнений (52.5) остается только одно: Ск Е 1 = О. Оно утверждает, что при Е (сд) = 0 в среде монет быть возбуждена продольная волна электрического поля. Электродинамика вакуума, как известно, такую возыоиность не допускает. 2. Предположим теперь, что на частоте электромагнитной волны е(съ) г' О. В этом случее две последних уравнения системы (52.5) будут следствиями первых двух и их можно опустить. В результате система (52.5) примет вид сдн ~КН1 =- — Е, С (52.с) Скет = ы й.
С -ь йз первого уравнения атой системы следует, что вектор Е , пропорциональный векторному произведению векторов К и Й , будет им ортогонален. Совершенно анелогично, из второго уравнения системы ~52.Ф~ можно убедиться, что вектор Р ортоганален векторам К и Е . Таким образом, в данком случае, как и в вакууме, электромагнитная волна является поперечной волной, причем векторы К , Е и Н образуют правую тройку векторов. Выразим теперь из второго уравнения системы (52.4) вектор Д и подставим его в первое уравнение. Раскрывея двойное векторное произведение и учитывая, что к Е = О, получим Ддя того, чтобы данное уравнение имело нетривиальные ревения ( Я ф 0), необходимо, чтобы выполнялось следующее равенство: 2 Кл И Е("ь) 0 сл (32,5) Вто уравнение в научной литература получило наавзние диспарсионного соотношении. Следует отметить, что в отличие от электродинамики вакуума, данное соотношаниа является комплексным, так как входящая в ыего величина Е(оз)= Е( э)+(л"(оа комплексна.
е Поэтому комплаксным должал быть и волновой ленгор К= к'~.ПК . Подставляя аго в дисперснонное соотношение и отдаляя действительную и мнимую части, получим л К - К = — ЕЫЙэ ~2 шл йу г 2 С 2 2К'К" = — Еа('сО) С (32.6) Отсюда сладует, что волновой вектор при Е" г' О всегда имеет комплексную часть болев того, как мы увидим дзлаа, возможны ситуации, когда к " и' О (к" .е к' ) деже при е" = О.
Используя представления (32.2), лагко убедиться, что неличиа неравного нулю векторе К " приводит к экспонанциальному убыванию (в знтидисскпирующих срадах - к экспонанциальноыу воарастанию) алактройвгннтной волны в направлении, определяемом вектором к ": ~ " = е"~~ ° е " ' .
рассматривая жа систему (32.6) с математической точки зрения, можно констатировать, что эта система иа двух уравнений, содержащая три неизвестных: к',К" и угол жажду зактсрами к н К Поэтому в общак случза Дан ная систама позволяет определить только два неизвестные величины (например, к' и к" ), з третья неизвестная будет играть роль параметра. При решении практических задач, там на менее, она на остаатся произвольной, з полностью конкрзтиаируатся посла учета начальных и граничных условий.
В дальнейшем для проототы будам предполагать, что начальныа и граничные условия обеспечивают параллальность векторов К и -~» к . Тогда записывая вектор к в виде к — к. )., гда ф — вещественный единичный вектор, совпадающий по направлению с векторами к и к ', из соотношания (32.3) получим следующее уравыенке для определения комплексного показетеля преломленияп: Е + сЯ 2 г .
а Полагая л ст.'ч. Вс " , где л — показатель прелоиления, ж л - коэ4фициент поглощения, отсюде будем иметь П~л узел Е р 2л. ° гх." = Е". Раареиая ату систему уравнений относительно л.' и л-», получим Й Ек 6 гь П. 2 (52.7) Вти выражения существенно упрощаются з двух важных случаях. Первый иа них характереы для сред з областях и)( прозрачности, т.е. при тех частотах, при которых Е'(с4ъъ(ю"( )~ .
В этом случае иа выражений (52.7) будем иметь лл = «4', гьы= О. (52.8) Другой предельный случай реализуется з основном для сред с больной диссипацией (антидиссипацией) з области их непрозоаччности, т.а. з той .облаоти частот, где (ж"(сдЯ»е(оэ):и.'=пЛ(/1а."ай!. В области проарачности, когда диссипация (или актидиссипэцкя) электромагнитных волн мала, можно использовать понятия Фазовсй и групповой скорости. Используя выражения (51.1), (51.4) и (5ж.8), получим С С 'Р,~~ ~ д~'~ ~п.' с(оэ Таким обрааом„ в диспергирующей среде ( дп.УсЫ ы О ) фазовая и групповая скррдйтд. распространения электроыегнитнык волн не совпадают.
Выясним ~еперь как связаны между собой колебания векторов Е и Н в волне. Для атого воаьмем по модулю второе из соот- — 155- кошевий (32.а) и учтем, что векторы Е и К ортогояаиьаы, В результате получим ~к ~- )Ц = — "~ )Й~. Так как ~к) = к жк — — л +л — Я +с ~г,г ю .г г сЪ" .г ° г с и!Е1=Е„, 1Д! Н„, отсюда будем иметь Н = ~с'гч-6 г с О о Следовательно, при распространении электроиагаиткой волны в среде амплитуде электомческого поля, в отлвчие от электродинамики вакуума, в ~/Е'~л.б"~ раз меньше амплитуды магнитного поля. Кроие того, колебания векторов Е и Д в волке происходят не в фазе. Чтобы в атом убедиться, учтем, что л=л+ьл = л +л е в гг ьг ач~ л" где ~р ~ а-л с~ф —, .
Н этак случае второе уравнение системы (52.ч) можно записать в виде ~с~Е1е~ - Н. Таким образом, при распространении элйктроиагнитных волн в материальных средах колебание вектора Е опережает по Фаза колебание вектора Н ие угол у. ф 53. От ажекие и и еломление элект омагкитных вол ва г ани е з ела с Иаучим теперь, исходя из уравнений Максвелла, заковы отражения и прелоылеяия плоских электромагнитных вола яе гравице раздела двух прозрачных сред.
рассмотрим плоскую границу раздела двух сред, показатели преломления которых вещественны и рваны л, = кю, и л = Лд соответственно ()ы., =)и = у ). Предположим далее, что из первой среды на эту границу падает плоская ыонохроматическая влектромегкитная волке. На границе раздела сред оне, естественно, должка частично пройти во вторую среду, а оставшаяся часть - отра- — 156— -~И С >- бо) > Й вЂ )К Е 1> я 11) 'М К> Е =Е>Е ~И ~ ~ ~Й)-~ ~1 Ф ~12) 1 2 2 Е =Ее 62) С > блу> ")г Волновой вектор К падающей алектромагнитной волны будем счио ~// ф \ тать величиной вещественной ( Ке = О), вектора ие К и Кл в целях достиления максимальной степени общности будем считать комплексныыи: Ф/ .
~// -ы -т~ я К = К + ок > К = Кн + ь>Ч2 1 1 С > 2 Так как обе среды янляются прозрачными, то Я и Ел — вещественные величины. Ноатоыу дисперсионные соотношении (52.6) для атих волн пркмут вид -'2 к СДо к >г — 'Е, К 2 -~ /2 - //2 2 Е>> С. Ю// К К 1 1 о, 2 2 — Е с (33 2) 2 К =О Кл К2 / ~/ координат так, чтобы векторы к и К, леиа.
Эту плоскость в дальнейшем будем называть ° / В втой системе координат векторы Кс и К> Ориеытируем систему ли в плоскости цх плоскостью падения. виться обратыо в первую среду (см.рис.16). )>ля того чтобы рвали- четь ати три волны, условимся все величины, относящиеся к падающей волне, снабиать индексом "О", к отраиенной - индексом "1" и преломленной — индексом "2". Тогда решения уравнений Максвалла в виде плоских монохроматическмх волн для данного случая прииут вид - (о) ->.ась,1 -к,Р) > — 157- не будут иметь Х-компоненты: К = К' = 0 . ак >Х Кроме уревнений Мексвелла, компоненты электромагнитной волны при е = О долины удовлетворять и граничным условиям: (55 5) 4. в рассматриваемом нами случае первое из этих условий принимает вид 1(ьф-К,~) -Е~>С,1-~т ) — ~~о>лт-МЛ~) (Е,) е +('е,) е ' ' =(е,Д е Так как данное соотношение долино выполняться в любой момент 2 времени и во всех точках плоскостк Е ~ О, то для 6 этого необходимо, чтобм при >>1 д = О Фааы всех экспоыент Я зависели одинаковым обрезом 8, О„ от ы , ц и 6 .
Отсюда У>:> >> > непосредственно следует, что Рис.16. Ориентеция педаюцего,отраиенного и преломленного лучей К = — (О> бь>ЬОз > Сбн9о (55,5) К,'= )О,К,',К', К" =К" =К =О. л„ о„— Таким образом, в силу граничных условий все три волны долины иметь одинаковую частоту (в дальнейшем обозначаеыую просто с Ъ ) и их волновые векторы обяааны лакать в одной плоскости. Учитывая соотношении (55.>>) и первое из уравнений (55.2), ыы молем теперь записать данные векторы покомпонентыо: к,"= ~0,0,к," ~, где п. ~~ , 6„ - угол падания.
Подставляя эти соотношения во второе й третье уравнения (55.2), получкм 2 >2 ,2 ,2 сО +К К ю — 2Е,> тм 1к тк с Так как в силу граничнык условий К = К = — к й>й)6, то >>> денные уравнений принимают Вмд 2 К -К = — ЕФЙэд>0> >2 шг О>5 2 1К 1К 2 1 о Легко убедиться, что эти два соотношения удовлетворяютоя только в том случае, магда комплексная часть вектора к, равна кулю 4 -ъ Ктк = О. Поэтому вектор К1 мошно представить в виде к=~ (0 з В - В1 (, > где 8 - угол отрешения. П силу граничного условия К' = К оы этот угол равен углу падения В, = 9 .
Рассмотрни теперь оставшиеся два уравнения системы (55.2): ,г,г 2 со г к к — к' 2„2ш 2 К' кш=0. 2к гл l (Д Совершенно аналогично, учитывая граничное условие к --~~,ь>'.~ >>,' преобраауем ж к виду: с,ъл (55,6) 2к 2к - 159- Последков из этих уравнений удовлатворяатся в том случае, когда хотя бы один нз сомношнтелай равен нулю. Пусть кл - О.
Тогда первое урзвыанне системы (35.6) дает ~л ,„2Я 6 ) Так как величина К долвна быть вещеотванной, то легко убавя днться, что зто уравнение имеет решение только прн выполнеынм условна — 5сн. О ай' 1 . э Прадполовнм теперь, что Кя Г' О, а К = О. В этом случае первое уравнение систзыы (53.6) примет внд К' *~ — (6 — 6. 5~.л. 8о). ~л и 2 лз л л т Очевидно, что зто уравнение имеет дайствятальныа решения только прн выполнении условия — 5(л. 8 ш 1 .
Е, . л шг Таким обрааом, в зависимости от того больша нлн меньше единицы величина Е аи~ 6о / йл , распространенна волны во второй л среде буде* иметь качественно разный характер. Поэтому рассмотрим этн два случая по очереди. 1. Пусть — а(~. 8, ш г (35.7) Еа Легко убедиться, что данное условие выполняется нааависыыо от величины угла падания Ц а 8 - л в том случае, когда вторая среда является оп*ичаскн болев плотной по сравнению с первой средой:гь;ф, < и = на .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
