А.А. Коньков - Курс лекций по уравнениям математической физики (1128003)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико–математический факультетКурс лекций поуравнениям математической физикиЛектор — Андрей Александрович КоньковIII курс, 5–6 семестр, поток механиковМосква, 2008 г.2Оглавление1Предисловие.Этот конспект был набран по курсу лекций, прочитанному на потоке механиков в 2007–2008учебному году.

Главный TEXник — Анастасия Янгирова, студентка кафедры Вычислительноймеханики. Автор конспекта выражает благодарность Евгению Кудашеву за исправление опечаток и консультацию по различным аспектам издательской системы LATEX.ВведениеНаши лекции будут посвящены уравнениям математической физики или, как их еще называют, уравнениям в частных производных.

Мы познакомимся с классификации уравнений второгопорядка, данной Иваном Георгиевичем Петровским. Далее нам предстоит исследовать задачуКоши для уравнений в частных производных. Мы узнаем доказательство теоремы Софьи Ковалевской существования и единственности решения этой задачи. Для целого ряда уравнений,возникающих в физике и других приложениях, будут получены точные формулы решений.Все наши рассуждения будут основаны на едином подходе, использующим теорию обобщенныхфункций.Во втором семестре мы познакомимся с пространствами С. Л. Соболева и научимся с ихпомощью решать краевые задачи для эллиптических уравнений.Мы также подробно остановимся на такой важной области математической физики, кактеория гармонических функций.

Докажем теоремы о среднем, принцип максимума, теоремыХарнака и Лиувилля.Несколько лекций нашего курса мы посвятим параболическим уравнениям. На этих лекциях вы узнаете, что такое собственная (или параболическая) граница множества, научитесьдоказывать принцип максимума и априорные оценки для уравнения теплопроводности.21. Классификация линейных уравненийвторого порядка по И. Г.

ПетровскомуВ математической физике традиционно изучаются три основных типа уравнений.1) Гиперболический тип. Уравнения этого типа описывают колебательные процессы. Типичный представитель — волновое уравнение∂2u∂2u∂2u2n=k△u+f(x,t),x∈R,t>0,где△u=+...+.∂t2∂x21∂x2n2) Параболический тип. Уравнения этого типа описывают явления переноса. Типичныйпредставитель — уравнение теплопроводности∂x= k 2 △u + f (x, t).∂t3) Эллиптический тип. Уравнения этого типа описывают стационарные процессы. Типичный представитель — уравнение Пуассона△u = f (x).Рассмотрим линейное уравнение второго порядкаnnXX∂2u∂uaij (x) i j +bi (x) i + c(x)u = f (x),∂x ∂x∂xi=1i,j=1x = (x1 , .

. . , xn ) ∈ Ω ⊂ Rn .(1)В обозначения, принятых в дифференциальной геометрии, уравнение (1) можно записать ввиде∂u∂2uaij i j + bi i + cu = f.∂x ∂x∂xПри этом мы опускаем знак суммы, подразумевая, что суммирование по одноименным верхними нижним индексам происходит автоматически.Воспользуемся заменой координат x′ = x′ (x). Очевидно, получим′∂2u∂= iij∂x ∂x∂x∂u∂xj=∂u∂xi ∂u=,∂xj∂xj ∂xi′!′′′∂xi ∂u∂ 2 xi ∂u∂xi ∂∂u= i j i′ +=∂xj ∂xi ′∂x ∂x ∂x∂xj ∂xi ∂xi ′∂∂xi′′′∂ 2 xj ∂u∂xj ∂xi ∂ 2 u= i j j′ +.∂x ∂x ∂x∂xj ∂xi ∂xi ′ ∂xj ′Таким образом, уравнение (1) преобразуется к видуi′ij ∂xa∂xi′′′2 ji∂xj ∂ 2 u∂uij ∂ xi ∂x ∂u+a+b+ cu = f.′′′∂xj ∂xi ∂xj∂xi ∂xj ∂xj∂xi ∂xi ′Обозначая′ ′ai j = aij′′∂xi ∂xj∂xi ∂xj3и′bi =′′2 j∂xiij ∂ x+a,∂xi∂xi ∂xjзапишем это уравнение как′ ′ai j∂2ui ′ ∂u+ c(x)u = f (x).′′ +bij∂x ∂x∂xi ′В случае, когда замена координат x′ = x′ (x) является линейной, мы будем иметь′′xi = αii xi ,′′где αii ∈ R, det kαii k =6 0. Тем самым,′ ′′′ai j = αii αjj aijи′′bi = αii bi .Рассмотрим квадратичную формуQ(ξ) = aij ξiξj ,где ξ = (ξ1 , .

. . , ξn ) ∈ Rn ∗ — ковектор. Из курса линейной алгебры известно, что вещественные′числа αii можно подобрать так, что замена координат′ξi = αii ξi′ ,приводит нашу квадратичную форму к диагональному видуija ξi ξj =′′αii αjj aij ξi′ ξj ′i′ j ′=aξ ξ =i′j′mXi=1±(ξi′ )2 ,где m — ранг матрицы квадратичной формы (m 6 n).****РассмотримmX∂2u+ младшие члены = f (x).i2∂xi=11) эллиптический тип: все коэффициентыmPi=1∂2u∂xi 2имеют один знак и m = n, тогда ±△u +младшие члены = f (x);2) гиперболический тип: все коэффициенты имеют один знак, кроме одного, имеющего противоположный:n−1X∂2u∂2u−+ младшие члены = f (x);∂xn2∂xi 2i=13) ультрагиперболический тип: m = n и при этом более одного члена со знаком + и болееодного со знаком −, например:n−2X ∂2u∂2u∂2u+−+ младшие члены = f (x);i2∂xn2 ∂xn−1 2∂xi=14) параболический тип (в широком смысле): m < n;45) параболический тип (в узком смысле): m = n − 1, все коэффициенты имеют один знакпри i = 1, n − 1, а при производной первого порядка коэффициент не равен нулю:n−1n−1XX∂u∂2un ∂u±+bi i + cu = f (x), bn 6= 0.2 +bni∂x∂x∂xi=1i=1Пример.

Уравнение теплопроводности:∂u∂2u∂2u= △u + f (x, t), △u = 2 + . . . + 2 .∂t∂x1∂xnПриведем примеры задач Коши.Пример 1. Гиперболическое уравнение.Уравнение колебаний натянутой струны со следующими начальными условиями:∂2u= k 2 △u + f (x, t),∂t2u(x, 0) = uo (x);∂u(x, 0) = u1 (x).∂tПример 2. Параболическое уравнение.Уравнение теплопроводности со следующим начальным условием (задана температура вначальный момент):∂x= k 2 △u + f (x, t);∂tu(x, 0) = uo (x).nXi,j=1С двумя условиями:naij (x)X∂u∂2u+b(x)+ c(x)u = f (x), x = (x1 , . .

. , xn ),ii∂xi ∂xj∂xi=1u|S = ϕo ,∂u = ϕ1 ,∂ν (1)Snгде S — гиперповерхность в R , ν — нормаль к поверхности.Определение. ПоверхностьP S называется характеристической по отношению к уравнению (1) в точке x0 ∈ S, еслиaij (x0 )νi νj = 0, где ν = (ν1 , . .

. νn ) — вектор нормали к S в точкеx0 . Поверхность S называется характеристической для уравнения (1), или характеристикой,если она является характеристической по отношению к уравнению (1) в каждой своей точке.Пример. utt = uxx . Будет ли поверхность t = 0 характеристикой?utt − uxx = 0. PДолжно бытьaij (x0 )νi νj = 0. Проверим: ν1 = 0, ν2 = 1, тогда −ν12 + ν22 = 1 6= 0, значитt = 0 —√ свободнаяповерхность (не характеристика).

Найдем характеристики: для вектора√22ν = (− 2 , 2 ) получим−ν√12 + ν22 = − 12 + 21 = 0 ⇒ t = x + C являются характеристиками.√Аналогично для ν = ( 22 , − 22 ) характеристиками служат t = −x + C.5′ ′Сделаем замену координат и докажем, что an n 6= 0.!′′′′∂u ∂xj ∂u∂2u∂ 2 xj ∂u∂xj ∂xi ∂ 2 u==+∂xi ∂xj∂xi ∂xj ∂xj ′∂xi ∂xj ∂xj ′∂xj ∂xi ∂xi ′ ∂xj ′′′ij∂2u∂2uij ∂x ∂xa=a+ младшие члены.iji′j′∂xi ∂xj| ∂x{z ∂x } ∂x ∂xijai′ j ′′ ′Докажем, что an n 6= 0.∂rr = (x (x ), .

. . , x (x )), n′ =∂x1′n′′ ′an n = aijnXi,j=1т.е.nXi,j=1∂x1∂xn,...,∂xn′∂xn′.∂xn′ ∂xn′∂xi ∂xj(2)aij (x0 )νi νj 6= 0,aij∂xi ∂xj6= 0.∂xn′ ∂xn′Последнее равенство не равносильно (2).Векторы перпендикулярны, следовательно gij = δij — метрический тензор.i′ j ′ak′ p′ = gk′ i′ gp′ j ′ ai′ j ′, где a′′∂xi ∂xj ij∂xp ∂xj∂xk ∂xi′j ′ =′ i′ ==a,gg,ggki .ppjk∂xi ∂xj∂xp′ ∂xj ′∂xk ′ ∂xi ′Тогда получим:′ak ′ p′′∂xk ∂xi∂xp ∂xj∂xi ∂xj ij= k ′ i ′ gki p′ j ′ gpj ia .∂x ∂x∂x ∂xj∂x ∂xn′X∂xi ∂xi∂xiПодчеркнутые множители дают 1, т.к. при фиксированном i:== 1.′∂xi∂xi ∂xii′ =1Аналогично, если фиксирована j :Таким образом, получимak′ p′ =n′X∂xj∂xj ∂xj== 1.jj ′ ∂xj∂x∂x′j =1∂xk∂xp∂xk ∂xpijgga=akp ,kipj∂xk ′ ∂xp′∂xk ′ ∂xp′′ ′где akp = gkigpj aij , gki = δki , akp = akp , gk′ i′ = δk′ i′ , an′ n′ = an n ⇒ an′ n′ =′ ′ai jn′ n′a6= 0,∂2u∂xn′ 2∂xk ∂xpakp 6= 0∂xn′ ∂xn′∂2u∂ui′+ c(x)u = f (x′ ),′′ + b (x)ij∂x ∂x∂xi ′n−1Xn−1nXX ′ ∂u∂2u∂2u=ãi′ j ′ i ′ j ′ +ãn′ i′ n′ i ′ +b˜i i ′ + cu + f∂x∂x∂x∂x∂xi′ ,j ′ =1i′ =1i′ =16′Поверхность S в координатах x′ будет определяться уравнением xn = 0.∂u 1 ′′′′′′′′u(x1 , .

. . , x(n−1) , 0) = ϕ0 (x1 , . . . , x(n−1) ),(x , . . . , x(n−1) , 0) = ϕ1 (x1 , . . . , x(n−1) ).n′∂xТ.о., без ограничения общности, можно считать, что задача Коши имеет следующий вид: uttnnnP∂2uP∂u P∂u∂2u+a+b+b+ cu + f,0ii0∂xi ∂xj i=1 ∂t∂xi i=1 ∂xi i=1 ∂ti,j=1u(0, x1, . . . xn ) = ϕ0 (x1 , . .

. , xn ),ut (0, x1 , . . . xn ) = ϕ1 (x1 , . . . , xn ),=nPaijПерейдем к системе первого порядка. Обозначим u0 =∂u0∂tu(0, x1 , . . . xm )u0 (0, x1 , . . . xm ) ui (0, x1 , . . . xm )(1)∂u∂u, ui = i , i = 1, m, получим:∂t∂xnnn∂2uP∂2uP∂u P∂u=aij i j +a0i+b+b+ cu + f,i0∂x ∂x∂t∂xi i=1 ∂xi i=1 ∂ti,j=1i=1= ϕ0 (x1 , . . . , xm ),= ϕ1 (x1 , . . . , xm ),∂ϕ0 (x1 , . . . , xm )=.∂xinP(2)Утверждение. (1) ⇔ (2).(⇒) Очевидно.(⇐) Пусть u, u0, u1, . . . , um — решение задачи (2). Докажем, что u является решением задачи∂u0 ∂ 2 u∂u(1). Имеем:= 2 , покажем, что ui =.

При t = 0 это так. При t > 0:∂t∂t∂xi∂ui (t, x1 , . . . , xn )∂u0 (t, x1 , . . . , xn )∂ ∂u(t, x1 , . . . , xn )==.∂t∂xi∂t∂xiФиксируем x1 , . . . , xn , т.е. ui(t, x1 , . . . , xn ) =∂u(t, x1 , . . . , xn ).∂xi2. Аналитические функцииПусть Ω ⊂ Rn , n > 1.Определение. Пусть f : Ω −→ Rn — вещественно аналитическая функция в точкеx0 = (x01 , .

. . , x0n ), если f разлагается в ряд:f (x1 , . . . , xn ) =∞Xk1 ,...,knck1 ,...,kn (x1 − x01 )k1 · . . . · (xn − x0n )kn ,который абсолютно сходится в некоторой окрестности точки x0 .Определение. f : Ω −→ Rn — вещественно аналитическая функция в области Ω, еслиf аналитична в каждой точке области Ω.{(x1 , . . . , xn ) : |x1 − x01 | < ε1 , . . . , |xn − x0n | < εn }Свойства аналитических функций:1.

f, g — аналитические в точке x0 ∈ Ω ⇒ f + g — аналитична в точке x0 ∈ Ω (для доказательства надо сложить два ряда и перегруппировать в нем члены);72. f, g — аналитические в точке x0 ∈ Ω ⇒ f · g — аналитична в точке x0 ∈ Ω (для доказательства воспользоваться тем, при умножении сходящегося ряда на число он будетпродолжать сходиться, и сумма сходящихся рядов снова дает сходящийся ряд);3.

эту функцию можно разложить в ряд в окрестности точки x0 ∈ Ω;4. f, g — аналитические в точке x0 ∈ Ω, g 6= 0 ⇒f— аналитична в точке x0 ∈ Ω;g5. у каждой аналитической функции существует мажоранта.˜ аналитичная в точке x0 ∈ Ω называется мажорантой функОпределение. Функция f,0ции f в точке x ∈ Ω, если |fk1 ...kn | 6 f˜k1 ...kn для всех k1 , . . . , kn = 0, 1, 2, . .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций