А.А. Коньков - Курс лекций по уравнениям математической физики (1128003), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Считать известным, что фундаментальным решением двумерного волновогооператора ∂t2 − a2 △, a > 0, является следующая функция:E2 (x, t) =θ(at − |x|)p,2πa a2 t2 − |x|2(x, t) ∈ R3 .26. Теорема существования и единственности решения обобщенной задачи Коши для уравнения теплопроводностиut = a2 △u + f (x, t), x ∈ Rn , t > 0,u(x, 0) = u0 (x),где f ∈ M, u0 ∈ L∞ (Rn ). Формула ПуассонаZ tZ2f (ξ, τ )− |x−ξ|pu(x, t) =e 4a2 (t−τ ) dξdτπ(t − τ ))n0Rn (2aZ|x−ξ|21−2√+u0 (ξ)e 4a t dξ.(2a πt)n RnПодсказка. Считать известным, что фундаментальным решением оператора теплопроводности ∂t − a2 △, a > 0, является следующая функция:En (x, t) =2θ(t)− |x|24a t ,√e(2a πt)n65(x, t) ∈ Rn+1 .27. Существование и единственности решения классической задачи Коши для уравнения теплопроводностиut = a2 △u + f (x, t), x ∈ Rn , t > 0,u(x, 0) = u0 (x).Докажите, что если все производные по пространственным переменным, начиная с нулевого и до второго порядка включительно, от функции f принадлежат классу M ∩ C(Rn ×[0, ∞)), а от функции u0 — классу L∞ (Rn ) ∩ C(Rn ), то формула ПуассонаZ tZ|x−ξ|2f (ξ, τ )− 24a(t−τ ) dξdτpu(x, t) =eπ(t − τ ))n0Rn (2aZ|x−ξ|21−2√+u0 (ξ)e 4a t dξ(2a πt)n Rnгарантирует, что u ∈ C(Rn × [0, ∞)), ut ∈ C(Rn × (0, ∞)), и при этом uxi xj ∈ C(Rn × (0, ∞))для всех i, j = 1, .

. . , n.o28. Пространства C.Л. Соболева Wpm (Ω) и W mp (Ω). Полнота и сепарабельность пространствC.Л. Соболева.29. Неравенство Фридрихса.30. Обобщенное в смысле С.Л. Соболева решение первой краевой задачиnX∂fi △u = f0 (x) +(x) в Ω,∂xii=1u|∂Ω = u0 ,где Ω — ограниченная область в Rn , n > 2, u0 ∈ W21 (Ω) и fi ∈ L2 (Ω), i = 0, 1, . . . , n.Существование и единственность обобщенного в смысле С.Л. Соболева решения первойкраевой задачи.31.

Гармонические функции. Докажите, что всякая гармоническая функция из пространстваD ′ (Ω) принадлежит классу C ∞ (Ω).Подсказка. Воспользуйтесь сверткой с фундаментальным решением оператора Лапласа 1ln |x|,n = 2,2πEn (x) =11− (n−2)|S1 | |x|n−2 , n > 3.32. Теоремы о среднем для гармонических функций.33. Принцип максимума для гармонических функций.34. Неравенство Харнака для гармонических функций.35. Теорема Лиувилля для гармонических функций.36. Принцип максимума для решений параболических неравенств.66.

Характеристики

Список файлов лекций