А.А. Коньков - Курс лекций по уравнениям математической физики (1128003), страница 7
Текст из файла (страница 7)
r=|x| | x|4πψrr (x, r)3820. Фундаментальное решение двумерноговолнового оператора∂2∂2∂2u ∂2u2a = 2 − a, a = const > 0, △ = 2 + 2 .∂t∂x2∂x1 ∂x2Определение. Обобщенная функция f ∈ D ′ (Rn−1 ) допускает продолжения на бесконечно гладкие функции вида ϕ(x) 1(xn+1 ), где ϕ(x′ ) ∈ D(Rn ), x′ = (x1 , . . . , xn ), если длялюбого компактного исчерпания единицы ηk (xn+1 ), k = 1, 2, . . . , в R существуетlim (f (x), ϕ(x′ )ηk (xn+1 )) = (F (x), ϕ(x′ )),h−→0(1)где F (x) — продолжение функции f (x).Напомним, что последовательность функций ηk ∈ L1 (R), k = 1, 2, . . . — компактное исчерпание единицы в R, если:1) для любого компакта H ⋐ R ηk |H = 1, начиная с некоторого k0 ;2) ∃ m ∃ A = const : ∀k = 1, 2, .
. . kηk kC m (R) 6 A.Упражнение. Доказать, что предел в (1) не зависит от выбора компактного исчерпанияединицы ηk .Теорема. Пустьm X∂ qLq + L0 ,L=∂xn+1q=1гдеLq =X′aq,α′ ∂ α , q = 0, m, α′ = (α1′ , . . . , αn′ ),|α|′ 6mq′′|α | =α1′+ ... +αn′ ,∂α′=∂ |α |α′∂x1 1. Тогда, если Lu = f (x′ )δ(xn+1 ), f (x′ ) ∈ D ′ (Rn ), иα′. . . ∂xn n′n+1при этом обобщенная функция u(x) ∈ D (R ) допускает продолжение на бесконечно гладкиефункции вида ϕ(x) 1(xn ), где ϕ(x′ ) ∈ D(Rn ), x′ = (x1 , . . .
, xn ), то продолжение U(x′ ) решенияu(x) удовлетворяет уравнению LU(x′ ) = f (x′ ).Пусть ϕ(x′ ) ∈ D(Rn+1 ), ηk (xn+1 ) — компактное исчерпание единицы в R, тогда Lu(x′ ), ϕ(x′ )ηk (xn+1 ) = u(x), L∗ (ϕ(x′ )ηk (xn+1 )) ,где∗L =mXq=1(−1)qX∂ q ∗′′Lq + L∗0 , L∗q =(−1)|α| aq,α′ ∂ α , q = 0, m,∂xn+1′|α| 6mq— это оператор, формально сопряженный к L.mP(q)Т.о., u(x′ ), L∗ (ϕ(x′ )ηk (xn+1 )) =(−1)q ηk (xn+1 )L∗q ϕ(x′ ) + ηk (xn+1 )L∗0 ϕ(x′ ), при этом дляq=1(q)∗q = 1, m получим U(x), ηk (xn+1 )Lq ϕ(x′ ) −→ 0, k −→ ∞.В самом деле, новое компактное исчерпаниебудет строитьсятак: λk (xn+1 ) = ηk (xn+1 ) +(q)∗′ηk (xn+1 ). Поэтому lim u(x), λk (xn+1 ) Lq (ϕ(x )) = lim u(x), ηk (xn+1 )L∗q ϕ(x′ ) .k−→∞k−→∞| {z }∈D(Rn )39Другими словами,(q)∗′∗′∗′lim u(x), ηk (xn+1 )Lq ϕ(x ) + lim u(x), ηk (xn+1 )Lq ϕ(x ) = lim u(x), ηk (xn+1 )Lq ϕ(x ) .k−→∞k−→∞| →∞{z} k−=0Т.о.=mXq=1′lim Lu(x), ηk (xn+1 )ϕ(x ) =k−→∞(q)(−1)q (u(x), ηk (xn+1 )L∗q ϕ(x′ )) + (u(x), ηk (xn+1 ) L∗0 ϕ(x′ )) −→ (U(x′ ), L∗0 ϕ(x′ )),| {z }∈D(Rn )где U(x′ ) — продолжение непрерывной обобщенной функции u(x) ∈ D ′ (Rn+1 ) на бесконечногладкие вида ψ(x) 1(xn+1 ), где ψ(x′ ) ∈ D(Rn ).
При этом, очевидно, Lu(x), ηk (xn+1 )ϕ(x′ ) = f (x′ )δ(xn+1 ), ϕ(x′ )ηk (xn+1 ) = f (x′ ), (δ(xn+1 ), ϕ(x′ )ηk (xn+1 )) =′′′′= f (x ), ηk (0)ϕ(x )) −→ f (x ), ϕ(x ) , k > k0 : ηk0 (0) = 1. Т.о., LU(x′ ), ϕ(x′ ) = f (x′ ), ϕ(x′ ) , т.е. LU(x′ ) = f (x′ ). Θ(at − | x|)p, где x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , тогда a E2 (x, t) = δ(x, t)2πa a2 t2 − | x|2 ∂2∂2∂2 в R3 , где a = 2 − a2+, a = const > 0.∂t∂x21 ∂x22Θ(t)Пусть E3 (x1 , x2 , x3 , t) =δS (x1 , x2 , x3 ), тогда, по предыдущей лекции,4πa2 t r!22 ∂2∂∂∂2++E3 (x1 , x2 , x3 , t) = δ(x1 , x2 , x3 , t) = δ(x1 , x2 , t) · δ(x3 ).− a2∂t2∂x21 ∂x22 ∂x23Теорема. Пусть E2 (x, t) =Покажем, что E3 (x1 , x2 , x3 , t) допускает продолжения на бесконечно гладкие функции видаϕ(x1 , x2 ) 1(x3 ), где ϕ(x1 , x2 , t) ∈ D(R3 ). Пусть ηk (x3 ) — компактное исчерпание единицы в R.Тогда имеем:E3 (x1 , x2 , x3 , t), ϕ(x1 , x2 )ηk (x3 ) =1−→4πa2Z∞0ПосчитаемdttZ14πa2Z∞0dttZϕ(x1 , x2 , t)ηk (x3 ) ds −→Satϕ(x1 , x2 , t) ds.
(по тоереме Лебега об ограниченной сходимости)SatRϕ(x1 , x2 ) ds.x21 +x22 +x23 =a2 t2Так как dx1 dx2 = cos(ν, x3 ) ds, гдеpx3a2 t2 − x21 − x22atcos(ν, x3 ) ==и ds = pdx1 dx2 ,atata2 t2 − x21 − x2240тоZZϕ(x1 , x2 ) ds = 2atx21 +x22 +x23 =a2 t2x21 +x22 +x23 =a2 t2Подставим в исходный интеграл:Z∞1dtE3 (x1 , x2 , x3 , t), ϕ(x1 , x2 )ηk (x3 ) −→2πat0=ϕ(x1 , x2 ) dx1 dx2p.a2 t2 − x21 − x22Zx21 +x22 +x23 =a2 t2Θ(at − | x|)p, ϕ(x1 , x2 )ηk (x3 ) ,2πa a2 t2 − | x|2ϕ(x1 , x2 , t) dx1 dx2p=a2 t2 − x21 − x22Θ(at − | x|)p— продолжение функции E3 (x1 , x2 , x3 , t) на ϕ(x1 , x2 , t)1(x3 ).
Тогда, по пред2πa a2 t2 − | x|2ыдущей теореме,! ∂2∂2∂2 2−a+E2 (x1 , x2 , t) = δ(x1 , x2 , t).∂t2∂x21 ∂x22где21. Обобщенная задача Коши для волновогоуравнения utt − a2 △u = f (x, t),u(x, 0) = u0 (x),ut (x, 0) = ut (x),(∗)(x, t) ∈ Rn × [0, ∞), △ = ∂x21 + . . . + ∂x2n , a = const .u ∈ C2 (Rn × [0, ∞)) ∩ C 1 (Rn × [0, ∞)), f ∈ C(Rn × [0, ∞)). Обозначимu(x, t), t > 0,ũ(x, t) =0, t < 0.Нужно написать для ũ явную часть.Возьмем ϕ ∈ D(Rn+1). ТогдаZ22(ũtt − a ũxx , ϕ) = (ũ, ϕtt − a △ϕ) = ũ(x, t)(ϕtt (x, t) − a2 △ϕ(x, t)) dx dt =Rn=Z∞0dtZdx ũ(x, t)(ϕtt (x, t) − a2 △ϕ(x, t)) ==ZRnRndxZ∞2dt u(x, t)ϕtt (x, t) − a0Z∞0dtZRndx u(x, t) △ϕ(x, t).
(1)x ∈ Rn — фиксирован.Z∞0Z∞∞dt u(x, t)ϕtt (x, t) = u(x, t)ϕt (x, t) − ut (x, t)ϕt (x, t) dt =t=0041Z∞∞∞= u(x, t)ϕt (x, t) − ut (x, t)ϕt (x, t) + utt (x, t)ϕ(x, t) dt =t=0t=00Z∞= −u0 (x)ϕt (x, 0) + u1 (x)ϕt (x, 0) +utt (x, t)ϕ(x, t) dt.0t ∈ [0, ∞) — фиксирован. supp ϕ ⊂ Br — шар достаточно большого радиуса с центром вточке 0.ZRnZu(x, t) △ϕ(x, t) dx =Z∂ϕ(x, t)u(x, t)ds− =∂νu(x, t) △ϕ(x, t) dx =Br=Sr=(ũtt − a ũxx , ϕ) = −Z∂ϕ(x, t)u(x, t), ds −| ∂ν{z }≡0u0(x)ϕt (x, 0) dx +Rn+Z=−ZZ∂ϕ(x, t)ϕ(x, t) ds +∂ν | {z }≡0SrZ△u(x, t) ϕ(x, t) dx.
(2)Bru1 (x)ϕt (x, 0) dx+RndxRnZ▽x u(x, t) ▽x ϕ(x, t) dx =BrZSr2ZZ∞02utt (x, t)ϕ(x, t) dt − au0 (x)ϕt (x, 0) dx +RnZ∞Z0dtZdx △u(x, t) ϕ(x, t) =Rnu1 (x)ϕt (x, 0) dx +RnZRn′Z∞dx (utt − a2 uxx ) ϕ(x, t) =| {z }0=f (x,t)= (u0 δ (t), ϕ(x, t)) + (u1 δ(t), ϕ(x, t)) + (ρ̃(x, t), ϕ(x, t)). (3)Пояснение: по определению прямого произведения:(u0 δ ′ (t), ϕ(x, t)) = (u0 , δ ′ (t) ϕ(x, t)),(δ ′ (t), ϕ(x, t)) = −(δ(t), ϕt (x, t)) = −ϕt (x, 0).Т.о.,′(u0 δ (t), ϕ(x, t)) = −(u0 , ϕt (x, t)) = −Zu0 (x)ϕt (x, 0) dx.RnАналогично,(ut δ(t), ϕ(x, t)) = −Zu0 (x)ϕ(x, t) dx,Rn(f˜(x, t), ϕ(x, t)) =Z∞dt042ZRnf (x, t)ϕ(x, t) dx.Т.о., получим:˜ t) + u0 δ ′ (t) + u1 δ(t).
ũtt − a2 ũxx = f(x,(1)Замечание. Носитель правой части (1) принадлежит множеству Rn × [0, ∞).Лемма. Пусть F, G ∈ D ′ (Rn+1 ), причем supp G ⊂ K = {(x, t) ∈ DRn+1 : | x| 6 at} — замкнутый конус. Тогда существует F ∗ G, причем supp F ∗ G ⊂ Rn × [0, ∞), более того:∀ϕ ∈ D(Rn+1 ) (F ∗ G, ϕ) = F (x, y)G(y, τ ), λ(t)λ(τ )λ(a2t2 − y 2 )ϕ(x + y, t + τ )) ,где λ ∈ C ∞ (R) : λ|(−∞,−2ε) ≡ 0, λ|[−ε,∞) ≡ 1, ε > 0.Видно ,что все справа - бесконечно гладкая функция с компактным носителем. Пусть ϕ ∈D(Rn+1 ).
Возьмем компактное исчерпание единицы ηs (x, y, t, τ ) в R2n+1 :lim (F (x, y, )G(y), ηs(x, y, t, τ )ϕ(x + y, t + τ )) =s−→∞= lim (λ(t)F (x, y, ), λ(τ )λ(a2t2 − y 2 )G(y, t) ηs (x, y, t, τ )ϕ(xy , t + τ )) =s−→∞{z}|=G(y,t)= lim (F (x, y)G(y, τ ), λ(t)λ(τ )λ(a2t2 − | y|2)ϕ(x + y, t + τ )),(2)s−→∞где λ(t)λ(τ )λ(a2 t2 − | y|2)ϕ(x + y, t + τ ) — бесконечно гладкая с компактным носителем, т.к. у ϕкомпактный носитель.
λ(t)ϕ(x + y, t + τ ) 6= 0 при t > −2ε, λ(τ )ϕ(x + y, t + τ ) 6= 0 при τ > −2ε,λ(a2 t2 − | y|2) 6= 0 при y > aτ. Если t > A, t + τ ∈ (−α, α) ⇒ τ — маленькое. Если τ большое, тоλ(t) = 0, то −2ε < t 6 A, −2ε < τ 6 A.| y|2 < C. Если y принадлежит компакту, x + y принадлежит компакту ⇒ x принадлежиткомпакту, | x| < k.(ηs (x, y, t, τ ) = f ) на supp(λ(t)λ(τ )λ(a2 t2 − | y|2)ϕ(x + y, t + τ )).Т.о., при достаточно больших s(2) = (F (x, y)G(y, τ ), λ(t)λ(τ )λ(a2t2 − | y|2)ϕ(x + y, t + τ )).Т.о., доказано, что предел (свертка) существует и формула верна. Определение. Обобщенная задача Коши для волнового уравнения: пусть F ∈′D (Rn+1 ), supp F ⊂ Rn × [0, ∞).
Найти функцию u ∈ D ′ (Rn+1 ) : u ∈ Rn × [0, ∞) :utt − a2 △u = F.(∗)Теорема. Обобщенная задача Коши (∗) имеет единственное решение.(Существование.) Т.к. supp F ⊂ Rn × [0, ∞) и supp E ⊂ Kn , где E — фундаментальноерешение, то существует свертка F ∗ G — решение (∗).(Единственность). Т.к. существует u ∗ E. a u = f (x, t), x ∈ Rn , t > 0,u(x, 0) = u0 (x),ut (x, 0) = u1 (x).∂2∂2∂2u∂2u2−a,a=const>0,△=+...+.∂t2∂x2∂x21∂x2nu ∈ C 1 (Rn × [0, ∞)) ∩ C 2 (Rn × (0, ∞)), u0 , u1 ∈ C(Rn ), f ∈ C(Rn × [0, ∞)).a =43Обозначимũ(x, t) =u(x, t), t > 0, ˜f (x, t) =0, t < 0,f (x, t), t > 0,0, t < 0.a ũ(x, t) = f (x, t) + u0 (x)δ ′ (t) + u1 (x)δ(t) = F (x, t),где supp F ⊂ Rn × [0, ∞).Обобщенная задача Коши:∀F ∈ D ′ (Rn+1 ) : supp F ⊂ Rn × [0, ∞), найти u ∈ D ′ (Rn+1 ) : a u(x, t) = F (x, t),supp u ⊂ Rn × [0, ∞).Теорема.
Обобщенное решение задачи Коши существует и единственно.22. Классическое решение задачи Кошидля волнового уравнения a u = f (x, t), x ∈ Rn , t > 0,u(x, 0) = u0 (x),ut (x, 0) = u1 (x).Будем предполагать ,что на правую часть f и начальные значения u0 , u1 следующие условия:1) в случае n = 2, 3: f ∈ C 1 (Rn × [0, ∞)), u0 ∈ C 3 (Rn ), u0 ∈ C 2 (Rn );2) в случае n = 1: f ∈ C 1 (Rn × [0, ∞)), u0 ∈ C 2 (Rn ), u0 ∈ C 1 (Rn );Определение. Найти классическое решение задачи Коши (∗) — значит найти функцию u ∈ C 1 (Rn ×[0, ∞))∪ ∈ C 2 (Rn ×(0, ∞)), удовлетворяющую соотношениям (∗) в классическом(не обобщенном) смысле.Теорема. При сформулированных выше условиях на f, u0 , u1 классическое решение задачиКоши (∗) существует и единственно.
Более того, оно равно:1) формула Кирхгофа n = 3: Z f ξ, t− x−ξ ZZ111 ∂ 1au(x, t) =dξ+u(ξ)ds+u(ξ)ds1ε0ε ;4πa2| x − ξ|4πa24πa2 ∂t txBatxSatxSat2) формула Пуассона n = 2:1u(x, t) =2πaZt01+2πaZdτZf (ξ, τ )pdξ+a2 (t − τ )2 − | x − ξ|2xBa(t−τ)u1(ξ)xBat1 ∂pdξ +2πa ∂ta2 (t − τ )2 − | x − ξ|2xBat3) формула Даламбера n = 1:1u(x, t) =2aZt0Zdτx+a(t−τZ )1f (ξ, τ ) dξ +2ax−a(t−τ )x+atZu0 (ξ)pu1 (ξ) dξ +x−at44a2 (t − τ )2 − | x − ξ|2dξ;1u0 (x + at) + u0 (x − at) .2a ũ = f˜(x, t) + u0 δ ′ (t) + u1 δ(t).(∗∗)Свертка правой части (∗∗) с фундаментальным решением оператора a существует и онаравна ũ(x, t), т.к. свертка ũ(x, t) с фундаментальным решением оператора a тоже существует.Надо показать, что свертка фундаментального решения с правой частью (∗∗) определяетсяприведенными выше формулами Кирхгофа, Пуассона и Даламбера (в зависимости от n).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
