А.А. Коньков - Курс лекций по уравнениям математической физики (1128003), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Пусть Ω ⊂ Rn — область, u(x) — гармоническая функция в Ω и u(x0 ) = sup u дляΩнекоторого x0 ∈ Ω. Тогда u(x) ≡ const в Ω.Обозначим через E множество точек x ∈ Ω : u(x) = sup u. Т.к. x0 ∈ E, то E 6= ∅.ΩТ.к. u ∈ C(Ω), то E — замкнуто в топологии, индуцированной на Ω ⊂ Rn . Для достаточногомалого ε > 0 : Bεx ⊂ Rn , получим: u(y) = sup u, ∀y ∈ Bεx . Почему так?yПусть u(y) 6= sup u для некоторого ∈ Bεx . Тогда u(y) < sup u. Т.о., из непрерывности uΩxследует, что существует множество ω ⊂ Bε : u < sup u < λ, mes ω > 0 для некоторого λ > 0.ωПоэтому,1| Bεx0 |ZxBε 061u(x) dx =| Bεx0 |ZωΩ1u(x) dx +| Bεx0 |Zu(x) dx 6xBε 0 \ω1 1 x0supu−λmesω+|B|−mesωsup u 6ε| Bεx0 | Ω| Bεx0 |Ω596 sup u − λΩmes ω< sup u = u(x0 ) — противоречие.| Bεx0 |ΩТ.о., Bεx0 ⊂ E ⇒ E — открытое и одновременно замкнутое множество в топологии, индуцированной на Ω ⊂ Rn .
Т.к. Ω — связное множество и E 6= ∅, то E = Ω. Следствие. Пусть u ∈ C(Ω), u — гармоническая функция в Ω, где Ω ⊂ Rn — область. Тогдаmax u = max u.∂ΩΩТеорема. (Неравенство Харнака) Пусть u — гармоническая функция в Br . Тогда ∀r ∈(0, R) sup u 6 γ sup u, где γ = const > 0 и зависит только от n, Rr .BRBrЛемма. Пусть u — гармоническая функция в B1 . Тогда sup u 6 γ inf u, где γ = const > 0 иB1/4B1/4зависит только от n.Пусть x ∈ B1/4 , u(x) = inf u.
По теореме о среднем, u(x) =B1/4R1u(ξ) dξ. Пусть y ∈| B3/4| Bx3/4|RR11B1/4| : u(y) = sup u. По теореме о среднем, u(y) =u(ξ) dξ 6u(ξ) dξ, т.к.| B1/4| By| B1/4| BxB1/41/4|1/4|| B3/4|u(x). | B1/4|Следствие. Пусть u > 0 — гармоническая функция в Bεx0 , тогда sup u 6 γ inf u, где γ =yxB1/4|⊂ B3/4|. Т.о., u(y) 6xx0Bε/40Bε/4const > 0 и зависит только от n.Заменой переменных переводим Bεx0 в B1 и применяем теорему. (неравенство Харнака)Найдется x ∈ Brx0 : u(x) = sup u и y ∈ Brx0 : u(y) = infu. Соединим x и y прямой в L.
ВозьмемxBr 0xBεzBr 0Brx0 .ε > 0 : ∀z ∈ L⊂Возьмем конечную последовательность точек x = z1 , . . . , zN = y. ШарыnoNziBε/4покрывают L. Для i = 1, . . . , N имеем: sup u 6 γ infu. Т.о., u(x) 6 γ N u(y). zi=1ziBε/4iBε/428. Теорема ЛиувилляПусть △u = 0 в Rn и при этом u(x) > 0 в Rn . Тогда u ≡ const в Rn .Возьмем некоторое x0 ∈ Rn . Для некоторого вещественного r > 0 имеем: sup u 6 γu(x0 ),xгде γ = const и зависит от n — из неравенства Харнака для шаровбесконечность, получим: sup u 6 γ inf u(x0 ) = 0 ⇒ u ≡ 0 в Rn .
Brx0⊂x0B2r.Br 0Устремляя r вRn29. Принцип максимума для решенияпараболических неравенствПусть ω ∈ Rn+1 — ограниченная область.Определение. (x0 , t0 ) ∈ ∂ω принадлежит верхней крышке γ множества ω, если найдется вещественные числа r > 0, t2 > t1 :1) t0 ∈ (t1 , t2 );602) Brx0 × (t0 , t2 ) ⊂ Rn+1 \ ω;nox0x0n3) Br × (t1 , t0 ) ⊂ ω, где Br = x ∈ R : | x − x0 | < r .Определение. Множество Γ = ∂ω \ γ, где γ — верхняя крышка области ω, называетсяпараболической (собственной) границей.Пример.
ω = BR × (0, T ).Теорема (принцип максимума). Пусть ω ∈ Rn+1 — область, γ — верхняя крышка области, a Γ = ∂ω \ (γ — параболическая граница области ω. Обозначим Ω = ω ∪ γ. И пусть△u − ut > 0 в Ω,Тогда u(x) 6 0, ∀x ∈ ω.u ∈ C 1 (Ω) ∩ C(ω) :u 6 0. (от противного)Пусть max u > 0.∂ΓωТ.к. u ∈ C(ω), то существует (x0 , t0 ) ∈ ω : u(x0 , t0 ) = max u. u 6 0 ⇒ (x0 , t0 ) ∈ Ω. РассмотωΓрим v(x, t) = u(x, t) − ε(t − t0 ).
Очевидно, что △v − vt > 0 в Ω. C другой стороны, выбирая ε > 0достаточно малым, получим: v(x0 , t0 ) = u(x0 , t0 ) иmax v = max u + ε diam ω < u(x0 , t0 ) < v(x0 , t0 ).ΓΓТ.о., найдется точка (x1 , t1 ) ∈ Ω : v(x1 , t1 ) = max v. Если vt (x1 , t1 ) < 0, то v(x1 , t1 ) < v(x1 , t2 )ωдля некоторого t1 < t2 : (x1 , t2 ) ∈ Ω. Т.о., v не может достигать максимума в точке (x2 , t1 ).Пусть vt (x1 , t1 ) > 0, тогда △v(x1 , t1 ) > vt (x1 , t1 ) > 0. Т.к. (x1 , t1 ) ∈ Ω и в этой точке достигаетсямаксимум v, то ▽x v(x1 , t1 ) = 0 и△v(x1 , t1 ) =nX∂ 2 v(x1 , t1 )i=1∂xi 2>0⇒∂ 2 v(x1 , t1 )∂xi 2> 0для некоторого i.Фиксируя все переменные, кроме xi , получим:v(x11 , . . .
, xi1+h, . . . , xni , t1 )=v(x11 , . . . , xi1 , . . . , xni , t1 )∂v(x1 , t1 )∂ 2 v(x1 , t1 ) 2+h+h + o(h2 ) > 0.2ii| ∂x{z }| ∂x{z }=0=0Они равны нулю, т.к. ▽x v(x, t) = 0 для достаточно малых h.Т.о., v(x11 , . . . , xi1 + h, . . . , xni , t1 ) > v(x11 , . . . , xi1 , . . . , xni , t1 ) для некоторого h, которое можетбыть настолько малым, что v(x11 , . . .
, xi1 + h, . . . , xni , t1 ) ∈ Ω. Это противоречит тому, что в(x1 , t1 ) = (x11 , . . . , xi1 , . . . , xni , t1 ) достигается максимум функции v на множестве ω. 61Экзаменационные вопросы1. Классификация линейных уравнений второго порядка по И.Г. Петровскому.2. Характеристические и не характеристические поверхности. Теорема Коши – Ковалевской(на примере линейных уравнений второго порядка).3. Пространства D(Ω) и D ′ (Ω) основных и обобщенных функций. Операции сложения обобщенных функций и умножения обобщенной функции на бесконечно гладкую. Определениепроизводной от обобщенной функции.4. Слабый предел обобщенных функций.
Замкнутость пространства обобщенных функцийотносительно слабого предела (без доказательства).5. Первообразная от обобщенной функции. Докажите, что у всякой обобщенной функцииf ∈ D ′ (R) существует первообразная, определенная с точностью до константы.6. Замена переменной у обобщенной функции.7. Носитель обобщенной функции.
Свойства носителя обобщенных функций:supp(f + g) ⊂ supp f ∪ sup g,supp(f ψ) ⊂ supp f ∩ supp ψ,∂f⊂ supp f,supp∂xiгде f, g ∈ D ′ (Ω), ψ ∈ C ∞ (Ω), Ω — открытое подмножество Rn .8. Обобщенные функции с компактным носителем. Докажите, что всякая обобщенная функция f ∈ D ′ (Ω) с компактным носителем supp f ⋐ Ω, где Ω — открытое подмножество Rn ,является непрерывным функционалом на пространстве C m (Ω) для некоторого целого числа m > 0.9. Прямое произведение обобщенных функций. Докажите эквивалентность двух определений прямого произведения:(f (x), (g(y), ϕ(x, y))) = (g(y), (f (x), ϕ(x, y)))для всех f ∈ D ′(X), g ∈ D ′ (Y ) и ϕ ∈ D(X × Y ), где X ⊂ Rn и Y ⊂ Rm — открытыемножества.10. Свертка обобщенных функций. Коммутативность свертки.
Существование свертки в случае, когда одна из двух обобщенных функций имеет компактный носитель.11. Дифференцирование свертки обобщённых функций.12. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами.13. Теоремы существования и единственности решений уравненияLu = f (x)Pв пространстве обобщенных функций D ′ (Rn ), где L = |α|6m cα ∂ α — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами.6214.
Фундаментальное решение линейного обыкновенного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами.15. Обобщенная задача Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравненияс постоянными коэффициентами. Существование и единственность решения.16. Формулы Грина: многомерный аналог формулы Ньютона-ЛейбницаZZ∂hdx =h cos(ν, xi )dSΩ ∂xi∂Ωи формула интегрирования по частямZZZ∂g∂fg dx =f g cos(ν, xi )dS −f dx,∂ΩΩ ∂xiΩ ∂xiгде h, f, g ∈ C 1 (Ω)∩C(Ω), Ω — ограниченное открытое подмножество Rn с кусочно гладкойграницей, а ν — вектор внешней нормали к ∂Ω.17. Фундаментальное решение оператора Лапласа 1ln |x|,n = 2,2πEn (x) =11− (n−2)|S1 | |x|n−2 , n > 3.18.
Фундаментальное решение волнового оператора a = ∂t2 −a2 ∂x2 , a > 0, случай одномерногоосновного пространства:E1 (x, t) =1θ(at − |x|),2a(x, t) ∈ R2 .19. Фундаментальное решение волнового оператора a = ∂t2 −a2 △, a > 0, случай трехмерногоосновного пространства:E3 (x, t) =θ(t)δS (x),4πa2 t atгде(δSr , ϕ) =Zϕ dS,Sr(x, t) ∈ R4 ,ϕ ∈ D(R3 ).20.
Фундаментальное решение волнового оператора a = ∂t2 − a2 △, a > 0, случай двумерногоосновного пространства:E2 (x, t) =θ(at − |x|)p,2πa a2 t2 − |x|2(x, t) ∈ R3 .Теорема о продолжении обобщенных функций из D ′ (Rn+1 ) на функции вида ϕ(x)1(xn ),где ϕ ∈ D(Rn ).21. Фундаментальное решение оператора теплопроводности ∂t − a2 △, a > 0,En (x, t) =|x|2θ(t)− 24a t ,√e(2a πt)n63(x, t) ∈ Rn+1 .22. Обобщенная задача Коши для волнового уравнения.
Теорема существования и единственности решения (случай размерности основного пространства n = 1, 2, 3).Подсказка. Считать известным, что в случае размерности основного пространства n =1, 2, 3 фундаментальными решениями волнового оператора ∂t2 − a2 △, a > 0, являютсяследующие функции:1E1 (x, t) = θ(at − |x|), (x, t) ∈ R2 ,2aθ(at − |x|)p, (x, t) ∈ R3 ,E2 (x, t) =2πa a2 t2 − |x|2иθ(t)E3 (x, t) =δS (x), (x, t) ∈ R4 ,4πa2 t atгдеZ(δSr , ϕ) =ϕ dS, ϕ ∈ D(R3 ).Sr23. Классическая задача Коши для одномерного волнового уравнения utt = a2 uxx + f (x, t), x ∈ R, t > 0,u(x, 0) = u0 (x),ut (x, 0) = u1 (x),где a > 0, f ∈ C 1 (R × [0, ∞)), u0 ∈ C 2 (R), u1 ∈ C 1 (R). Существование и единственностьрешения. Формула ДаламбераZ t Z x+a(t−τ )Z x+at11u(x, t) =f (ξ, τ ) dξdτ +u1 (ξ) dξ2a 0 x−a(t−τ )2a x−at1+ (u0 (x + at) + u0 (x − at)).2Подсказка.
Считать известным, что фундаментальным решением одномерного волновогооператора ∂t2 − a2 ∂x2 , a > 0, является следующая функция:E1 (x, t) =1θ(at − |x|),2a(x, t) ∈ R2 .24. Классическая задача Коши для трехмерного волнового уравнения utt = a2 △u + f (x, t), x ∈ R3 , t > 0,u(x, 0) = u0 (x),ut (x, 0) = u1 (x),где a > 0, f ∈ C 2 (R3 × [0, ∞)), u0 ∈ C 3 (R3 ), u1 ∈ C 2 (R3 ). Существование и единственностьрешения.
Формула КирхгофаZ f ξ, t − |x−ξ|Za11u(x, t) =dξ +u1(ξ) dSxx4πa2 Bat|x − ξ|4πa2 t Sat!Z1 ∂ 1+u0 (ξ) dS .x4πa2 ∂t t Sat64Подсказка. Считать известным, что фундаментальным решением трехмерного волновогооператора ∂t2 − a2 △, a > 0, является следующая обобщенная функция:E3 (x, t) =θ(t)δS (x),4πa2 t atгде(δSr , ϕ) =Zϕ dS,Sr(x, t) ∈ R4 ,ϕ ∈ D(R3 ).25. Классическая задача Коши для двумерного волнового уравнения utt = a2 △u + f (x, t), x ∈ R2 , t > 0,u(x, 0) = u0 (x),ut (x, 0) = u1 (x),где a > 0, f ∈ C 2 (R2 × [0, ∞)), u0 ∈ C 3 (R2 ), u1 ∈ C 2 (R2 ). Существование и единственностьрешения. Формула ПуассонаZ tZZf (ξ, τ ) dξdτ1u1 (ξ) dξ1pp+u(x, t) =2222xx2πa 0 Ba(t−τ2πa Bata (t − τ ) − |x − ξ|a t2 − |x − ξ|2)!Zu0 (ξ) dξ1 ∂p+.x2πa ∂ta2 t2 − |x − ξ|2BatПодсказка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
