А.А. Коньков - Курс лекций по уравнениям математической физики (1128003), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

∂ α u = uα . Т.о., uk −→ u, k −→ ∞ в пространстве Wpm (Ω). Теорема. Пространство Wpm (Ω) сепарабельно.Определение. Пространство называется сепарабельным, если существует счетное всюдуплотное множество.Рассмотрим вложение π : u 7→ (u1 , . . . , ∂ α u1 , . . .), | α| = m, пространства Wpm (Ω) в пространство V = Lp (Ω) × . . . × Lp (Ω), где в V = Lp (Ω) × . . .

× Lp (Ω) норма определяется равенством|{z}Nk vkV = k v1 kLp (Ω) + . . . | + k vN kLp (Ω) , v = (v1 , . . . vN ) ∈ V.Отображение π : Wpm (Ω) −→ V является изометрией, т. е.∀u ∈ Wpm (Ω) k π(u)kV = kukWpm(Ω) .Пространство V = Lp (Ω) × . . . × Lp (Ω) сепарабельно, т.к. Lp (Ω) — сепарабельно. А замкну{z}|Nтое подпространство сепарабельного пространства тоже сепарабельно.

Что равносильно сепарабельности Wpm (Ω).Рассмотрим первую краевую задачу Дирихле с однородным краевым условием:(△u = f (x),(∗)u = 0.∂ΩΩ ⊂ Rn — ограниченная область, f0 , f1 , . . . , fn ∈ L2 (Ω).◦Определение. Обобщенное (по Соболеву) решение задачи (∗) u ∈ W21 (Ω) :Z XZZ Xnn∂ϕ∂u ∂ϕdx = f0 (x) ϕ dx −fi (x)dx, ∀ϕ ∈ D(Ω).−∂x∂x∂xiiiΩΩ i=1Ω |i=1 {z}=▽u ▽ϕПример. Пусть u ∈ C ∞ (Ω), Ω ⊂ Rn — ограниченная область с бесконечно гладкой границей,f ∈ C ∞ (Ω) и при этом:n △u = f0 (x) + P ∂fi (x),i=1 ∂xi(∗∗) u = 0.∂Ω52Тогда ∀ϕ ∈ D(Ω) будем иметьZ△u ϕ dx =Ω−Zf (x) ϕ dx,ΩZ▽u ▽ϕ dx =ΩZf (x) ϕ dx,Ωт.е.

и является обобщенным (в смысле Соболева) решением (∗∗).Теорема. Обобщенное решение задачи Дирихле (∗) существует и единственно.Лемма. (Неравенство Фридрихса). Пусть Ω ⊂ Rn — ограниченная область. ТогдаZZ◦12∀u ∈ W2 (Ω) ∃C > 0 :| u| dx 6 C | ▽u|2dx.ΩΩБез ограничения общности, можно считать, что u ∈ D(Ω). Т.к. Ω — ограниченная область,то существуют a < b такие, что Ω лежит в полосе a < xn < b (т.е. ∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Ωсправедливо неравенство a < xn < b).x′ = (x1 , . . .

, xn−1 ). По теореме Ньютона-Лейбница,2′2′u (x , xn ) = u (x , a) +Zxn∂ 2 ′u (x , t) dt.∂taПри этом мы подразумеваем, что функция продолжается нулем на множество Rn \ Ω. Т.о.,u(x′ , a) = 0 ⇒u2 (x′ , xn ) =Zxn∂ 2 ′u (x , t) dt = 2∂tu2 (x′ , xn ) 6au2 (x′ , xn ) 6 ε∂u(x′ , t)dt,∂t ∂u(x′ , t)|u(x′ , t)| · dt, ∀(x′ , xn ) ∈ Ω, ∂t Z ZbΩ′ au(x′ , t)aaZbZxn1| u(x′, t)|2 dt +ε2Z ′∂u(x,t) dt, ε > 0. ∂t Ω′111Т.к. αβ 6 (α2 + β 2 ) 6 α2 + β 2 , то, учитывая, что α = ε 2 | u(x′ , t)|, β = ε− 22получим:ZΩ′u2 (x′ , xn ) dx′ 6 εZ ZbΩ′ a1u2 (x′ , t) dx′ dt +ε′2Z Zb ′∂u(x,t) dx′ dt, ∂t Ω′ aгде Ω — проекция области Ω на гиперповерхность xn = 0, dx′ = dx1 .

. . dxn−1 .53 ∂u(x′ , t), ∂t Интегрируя последнее неравенство по xn ∈ (a, b), получим:Zb Zu2 (x′ , xn ) dx′ dxn 6 ε (b − a)a Ω′Z ZbΩ′ a1u2(x′ , t) dx′ dt + (b − a)εДругими словами,Z2u dx 6 ε (b − a)ΩВозьмем ε =ZZ1u dx + (b − a)ε2Z2Z Zb ′∂u(x,t) dx′ dt. ∂t Ω′ a| ▽u|2 dx.ΩΩ1, получим:2(b − a)1u dx 622ΩZ2u dx + 2(b − a)2ΩZ2| ▽u| dx ⇔ΩZ2u dx 6 4(b − a)Ω2Z| ▽u|2 dx. Ω(теоремы)Ω — ограниченная область, поэтому билинейная формаZ◦[u, v] = ▽u ▽v dx, u, v ∈ W21 (Ω)(∗ ∗ ∗)Ω◦является скалярным произведением в W21 (Ω), т.к., по неравенству Фридрихса,kuk2Wpm(Ω) 6 Ck▽uk2L2(Ω) = C[u, v].Более того, скалярное произведение (∗ ∗ ∗) порождает норму, эквивалентную Соболевской◦◦норме в W21 (Ω).

Рассмотрим в W21 (Ω) следующие линейные функционалы:l0 = −Zf u dx, li =ΩZfiΩ∂udx.∂xi◦Эти функционалы, очевидно, будут непрерывны на W21 (Ω). В самом деле,ZZ 12 Z 122u2 dx 6 const kuk2Wpm(Ω) ,| l0(u)| 6 | f | | u| dx 6f dxΩ| li | 6ZΩΩΩ ∂u Z 21 Z 1222| fi | fi dx| ▽u| dx 6 const kuk2Wpm(Ω) . dx 6∂xiΩΩ◦По теореме Рисса, существует единственное u ∈ W21 (Ω) :◦∀ v ∈ W21 (Ω) [u, v] = l0 (v) +54nXi=1li (v).Другими словами,Z▽u ▽v dx = −ΩZf0 v dx +n ZXfii=1 ΩΩ∂vdx. ∂xiНеоднородная задача Дирихле в области Ω ⊂ Rn :n ∂f (x)Pi △u = f0 (x) +,i=1 ∂xi◦ u = u0 (x), u0 ∈ W21 (Ω).(∗ ∗ ∗∗)∂ΩТеорема.

u∂Ω◦= u0 (x) в обобщенном смысле, если u − u0 ∈ W21 (Ω).Теорема. Обобщенная неоднородная задача Дирихле (∗ ∗ ∗∗) имеет единственное решение◦u ∈ W21 (Ω).Обозначим v = u − u0 . Тогда ∀ϕ ∈ D(Ω) получим:ZZZ▽v ▽ϕ dx = ▽u ▽ϕ dx − ▽u0 ▽ϕ dx.ΩΩΩПо определению обобщенного решения (∗ ∗ ∗∗):ZZn ZX∂vdx,− ▽u ▽v dx = f0 v dx −fi∂xii=1Ω−ZΩ▽v ▽ϕ dx =ΩZf0 v dx −ΩΩn ZXi=1 ΩnX∂vfidx +∂xii=1ZΩfi∂u0 ∂ϕdx∂xi ∂xiТ.о., v является решением однородной обобщенной задачи Дирихле:n △u = f0 (x) + P ∂gi (x),i=1 ∂xi u = 0,∂Ωгде gi = fi −∂u0∈ L2 (Ω), i = 1, n.

По предположению, эта задача имеет единственное решение.∂xi25. Гармонические функцииОпределение. Функция f ∈ D ′ (Ω), где Ω ∈ Rn — область, называется гармонической вобласти Ω, если △u = 0 в Ω.Теорема. Пусть u ∈ D ′ (Ω) — гармоническая функция в области Ω, тогда u ∈ C ∞ (Ω).x0x0Пусть x0 ∈ Ω. Возьмем ε > 0 настолько малым, чтобы B2ε⊂∈ Ω, где B2ε— шар радиуса ε2nP ∂x0с центром в точке x0 . Пусть также η ∈ D(B2ε.), причем η x0 ≡ 1. △u =2B2εi=1 ∂xi55Имеем:x0△(η u) = △η u + 2△η △u + η △u , η u ∈ D ′ (Rn ), т.к. supp η u ⋐ B2ε,|{z}=0△(η u) = △η u + 2△η △u ⇒ по теореме единственности, η u = E ∗ (△η u + 2△η △u),1ln | x|, n = 2,2πгде E(x) =11, n > 3, −(n − 2)|S1 | | x|n−2x0x0Обозначим f (x) = △η u + 2△η △u ∈ D ′ (B2ε), supp f ⋐ B2ε.

Тогда ∀ϕ ∈ D ′ (Rn )Z E ∗ f (x), ϕ(x) = f (x), (E(y), ϕ(x + y)) = f (x), E(y) ϕ(x + y) dy ,RnZRnE(y) ϕ(x + y ) dy =| {z }=ξE ∗ f (x), ϕ(x) = f (x),ZRnZRnE(ξ − x) ϕ(ξ) dξ,ZE(ξ − x) ϕ(ξ) dξ = f (x) λ(x), E(ξ − x) ϕ(ξ) dξ ,Rnx0x0где λ ∈ D(B2ε\ Bε/2), λ ≡ 1 на supp f .Z Z f (x), λ(x) E(ξ − x) Θ(ξ) ϕ(ξ) dξ,E ∗ f (x), ϕ(x) = f (x), λ(x) E(ξ − x) ϕ(ξ) dξ =| {z }|{z}где Θ ∈x0D(Bε/2):RnxRnx0 )∈ C ∞ (B2ε0 ×Bε/2≡ϕ(ξ)Θ x0 ≡ 1.

Т.о.,Bε/2 Z E ∗ f (x), ϕ(x) =f (x), λ(x) E(ξ − x) Θ(ξ)) ϕ(ξ) dξ,|{z}Rnxx0 )∈ C ∞ (B2ε0 ×Bε/2x0x0k(x, ξ) = λ(x) E(ξ − x) Θ(ξ) ∈ D(B2ε× Bε/2),x0f (x), k(x, ·) ∈ D(Bε/2).∀ϕ ∈ D′x0(Bε/4) Z(η u), ϕ = E ∗ f, ϕ =Rnf (x), k(x, ξ)ϕ(ξ) dξ,{z}|беск. гладкая по ξx0u = η u — бесконечно гладкая функция в шаре Bε/4. Осталось доказать лемму.Лемма. Пусть L ∈ D(G × H), где G, H — области в Rn , f ∈ D ′ (G). ТогдаZ Z f (x), L(x, ξ) dξ =f (x), L(x, ξ) dξ.HH56 Без ограничения общности, можно считать, что H — это куб в Rn . D простом случаевозьмем вместо H достаточно большой куб, содержащий это множество.

ξi ∈ ∆i — элементарнаяячейка.ZNXL(x, ξi ) | ∆i| −→ L(x, ξ) dξ,i=1Hкогда диаметр разбиения стремится к 0. В виду линейности обобщенной функции f (x), получим:Z XZNN Xf (x),L(x, ξi ) | ∆i| dξ =f (x), L(x, ξi ) | ∆i| dξ|H−→i=1i=1{z Rf (x), L(x,ξ) dξHв D(G)}|−→RHH {zf (x),L(x,ξ)}dξВторое верно, т.к.

(f (x), L(x, ·)) ∈ D(H). Первое надо доказать. Имеем:PN1) suppL(·, ξi ) | ∆i | — проекция supp L(·, ·) на G. Т.к. supp L(·, ·) — компакт, то и проi=1екция supp L(·, ·) на G — тоже компакт.2) Для любого мультииндекса αZN αXαL(x, ξi ) | ∆i| − ∂x L(x, ξ) dξ ∂xC(F )i=1NXi=1∂xα L(x, ξi ) | ∆i |−Z−→ 0.H∂xα L(x, ξ) dξi=1HПо теореме о среднем, ∀x ∀i ∃yi ∈ ∆i :(1) ==NX∂xα L(x, ξ) dξ=∆iN Xi=1R∂xα L(x, ξi ) | ∆i|∂xα L(x, ξi )−−N ZXi=1 ∆∂xα L(x, yi ) | ∆i|,∂xα L(x, yi )∂xα L(x, ξ) dξ,(1)iпродолжим:| ∆i |.Т.к. ∂xα L(x, ξ) равномерно непрерывен на supp L(·, ·) ⋐ G × H, тоN NXXαα∂x L(x, ξi ) − ∂x L(x, yi ) | ∆i | 6 εN| ∆i| = εN mes H, εN −→ 0,i=1i=1когда диаметр разбиения стремится к нулю: | ξi − yi | 6 diam T — диаметр разбиения, т.е.

ξi ∈∆i , yi ∈ ∆i . Теорема доказана. 26. Теорема о среднем для гармоническихфункцийТеорема. Пусть u — гармоническая функция в области Ω ⊂ Rn , Brx0 ⊂ Ω, тогда1u(x0 ) =| Sr |57ZxSr 0u ds,где | Sr | — площадь (n − 1)–мерной сферы радиуса r.Как было показано в предыдущей лекции, u ∈ C ∞ (Brx0 ). Имеем:Z0=E(x − x0 ) △u dx,xxBr 0 \Bε 01ln | x|, n = 2,2πгде E(x) =11, n > 3, −(n − 2)|S1 | | x|n−2— фундаментальное решение оператора Лапласа.Интегрируя по частям, получим:ZZ∂u0=E(x − x0 ) △u dx =E(x − x0 )ds −∂νxxBr 0 \Bε 0=xZxx∂(Br 0 \Bε 0 )x∂uds −E(x − x0 )∂νxZxxxBr 0 \Bε 0∂E(x − x0 )u ds −∂νx∂(Br 0 \Bε 0 )∂(Br 0 \Bε 0 )ZxZ▽x E(x − x0 ) ▽u dx =△x E(x − x0 ) u dx,xBr 0 \Bε 0где ν — внешняя нормаль к границе области ∂(Brx0 \ Bεx0 ).Т.о., для любого ε ∈ (0, r) будем иметь:Zx∂uE(x − x0 )ds +∂νSr 0Zx∂uE(x − x0 )ds =∂νSε 0Zx∂E(x − x0 )u ds +∂νxSr 0Zx∂E(x − x0 )u ds,∂νxSε 01Z ∂u ln | ε|, n = 2, 2π| E(x − x0 )| ds 6 k ukC(Bx0 ) | S1 | εn−111r∂ν, n > 3,x −Sr 0(n − 2)|S1| | ε|n−2где | S1 | εn−1 — площадь (n − 1)–мерной сферы Sεx0 .ZxSr 0по формуле Грина,Z∂u∂uE(x − x0 )ds + E(x − x0 ) x0ds,∂νx∈Sr∂νxSr 0ZxSr 0∂uds =∂νZx△u dx = 0.Sr 0Тем самым, 1Z∂E(x − x0 )∂Ed  2π ln r, n = 2,u ds = −(x − x0 ) = −11∂νx∂νxdr , n > 3,x −Sε 0n−2(n − 2)|S1 | r58r=ε=−11,|S1 | | ε|n−111|S1 | | ε|n−1ZxSε 0Z11u ds =|S1 | | ε|n−1xSε 0Z11|S1 | | ε|n−1xSε 011u(x0 ) ds +|S1 | | ε|n−1Z(u(x) − u(x0 )) ds,xSε 0| u(x) − u(x0 )| ds 6 sup | u(x) − u(x0 )| −→ 0, ε −→ 0,xx∈Sε 0т.к.

u — непрерывна.Т.о.,Zu(x0 ) =xSr 0∂E(x − x0 )1 1u ds =∂νx|S1 | r n−1ZxSr 01u ds =|Sr |Zu ds. xSr 0Теорема. Пусть Ω — область в Rn , Brx0 , u — гармоническая функция в Ω, тогдаZ1u=u(x) dx.| Brx0 |xBr 0R1 Ru ds.u ds, или u(x0 ) |Sρ∗ | =|Sρ | Sρx0xSρ 0∀ρ ∈ (0, r) имеем по предыдущей теореме: u(x0 ) =Проинтегрируем последнее равенство от ρ до r:Zru(x0 )0dρ |Sρ | =Zr0dρZxu ds ⇒| Brx0 | u(x0)=Zu dx. xBr 0Sρ 027. Принцип максимума для гармоническихфункцийТеорема.

Характеристики

Список файлов лекций