А.А. Коньков - Курс лекций по уравнениям математической физики (1128003), страница 4
Текст из файла (страница 4)
, xn1 1 ) ∈ Ω1 , x2 =n21(x2 , . . . , x2 ) ∈ Ω2 , (x1 , x2 ) ∈ Ω1 × Ω2 .(x1 , x2 ) 7→ f1 (x1 )f2 (x2 ) — функция n1 + n2 вещественного аргумента.Обозначения: f1 (x1 )f2 (x2 ), f1 (x1 ) · f2 (x2 ), f1 ⊗ f2 (x1 , x2 ).Будем понимать бесконечно гладкие функции f1 (x1 ), f2 (x2 ), f1 (x1 )f2 (x2 ) как обобщенные.f1 (x1 )f2 (x2 ) : ϕ(x1 , x2 ) 7→Zf1 (x1 )f2 (x2 )ϕ(x1 , x2 ) dx1 dx2 =Ω1 ×Ω2=ZΩ1f1 (x1 ) dx1Zf2 (x2 )ϕ(x1 , x2 ) dx2 (1)Ω2|{z(f2 (x2 ),ϕ(x1 ,x2 ))}Лемма. Пусть f2 ∈ D ′ (Ω2 ).
Тогда функция x1 7→ (f2 (x2 ), ϕ(x1 , x2 )) принадлежит пространству D(Ω1 ). Или (f2 (x2 ), ϕ(·, x2 )) ∈ D(Ω1 ).Имеем ϕ(x1 , x2 ) ∈ D(Ω1 × Ω2 ), т.е. ϕ ∈ C ∞ (Ω1 × Ω2 ), Ω1 ⊂ Rn1 , Ω2 ⊂ Rn2 , n1 , n2 > 1.K = supp ϕ ⋐ Ω1 × Ω2 — компакт. Пусть K1 — проекция K на Ω1 , K2 — на Ω2 . Если x1 ∈/ K1 ,то ∀x2 ∈ Ω2 ϕ(x1 , x2 ) = 0. Т.о., (f2 (x2 ), ϕ(x1 , x2 )) = 0, т.е. supp(f2 (x2 ), ϕ(·, x2)) ⋐ K1 . Осталосьдоказать, что (f2 (x2 ), ϕ(·, x2 )) ∈ C ∞ (Ω).19А именно, докажем, что при hs −→ 0, s −→∞ 11in1inlimf (x ), ϕ(x1 , . . . , x1 + hs , .
. . , x1 , x2 ) − f2 (x2 ), ϕ(x1 , . . . , x1 , . . . , x1 , x2 )=hs −→0 hs 2 2ϕ(x11 , . . . , xi1 + hs , . . . , xn1 , x2 ) − ϕ(x11 , . . . , xi1 , . . . , xn1 , x2 ) = lim f2 (x2 ),=hs −→0 hs|{z}ϕs (x2 )∂ϕ= f2 (x2 ),(x1 , x2 ) .∂x1ϕs (x2 ) −→∂ϕ(x1 , x2 )при hs −→ 0 в пространстве D(Ω2 ) при фиксированном x1 ∈ Ω1 .∂xi1Имеем:1) существует компактное множество H ⋐ Ω2 : ϕs ⊂ H для всех достаточно больших индексов s. А именно, в качестве H достаточно взять K2 — проекцию supp ϕ на Ω2 ;∂ϕ(x1 , x2 )→ 0 при s −→ ∞, ∀m.2) ϕs (x2 ) − m −i∂x1C (Ω)В самом деле:∂xα2 ϕ(x11 , .
. . , xi1 + hs , . . . , xn1 , x2 ) − ∂xα2 ϕ(x11 , . . . , xi1 , . . . , xn1 , x2 ) =Z1d α=∂ ϕ(x11 , . . . , xi1 + ths , . . . , xn1 , x2 ) dt, (2)dt | x2{z}0≡ψ(t)где x2 = (x12 , . . . , xn2 2 ), α = (α1 , . . . , αn ) — мультииндекс,|α| = α1 + . . . +αn , ∂xα2∂ |α|=.∂x2 x1α1 . . . ∂x2 x1αnТогдаZ10dψ(t) dt = −dtZ101 Z1ddd2(1 − t) ψ(t) dt = − (1 − t) ψ(t) dt + (1 − t) 2 ψ(t) dt =dtdtdt0′0Z1dd2= ψ(t) + (1 − t) 2 ψ(t) dt,dtdtt=00dψ(t) = ∂xi1 ∂xα2 ϕ(x11 , .
. . , xi1 + t hs , . . . , xn1 , x2 ) hs ,dtd2ψ(t) = ∂x2i ∂xα2 ϕ(x11 , . . . , xi1 + t hs , . . . , xn1 , x2 ) h2s ,21dtZ1Z1dψ(t) dt = ∂xi1 ∂xα2 ϕ(x1 , x2 ) hs + h2s (1 − t) ∂x2i ∂xα2 ϕ(x11 , . . . , xi1 + t hs , . . . , xn1 , x2 ) dt,dt| 1{z}00имеет компактный носитель20∂xα2∂ϕ(x1 , x2 )ϕs (x2 ) −∂xi1= hsZ10(1 − t) ∂x2i ∂xα2 ϕ(x11 , . . . , xi1 + t hs , . . . , xn1 , x2 ) dt −→ 0, s −→∞1Сходимость по x2 ∈ Ω равномерная, так как интеграл ограничен, a hs −→ 0 при s −→ ∞.
′′Определение. Пусть f1 ∈ D (Ω1 ), f2 ∈ D (Ω2 ). Прямым произведением f1 и f2 называется функция f1 (x1 )f2 (x2 ) ∈ D ′ (Ω1 × Ω2 ) : ∀ϕ ∈ D(Ω1 × Ω2 ) f1 (x1 )f2 (x2 ), ϕ(x1 , x2 ) = f1 (x1 ), (f2 (x2 ), ϕ(x1 , x2 )) .Лемма. Пусть f1 ∈ D ′ (Ω1 ), f2 ∈ D ′ (Ω2 ), ϕ ∈ D(Ω1 × Ω2 ). Тогда f1 (x1 ), (f2 (x2 ), ϕ(x1 , x2 )) = f2 (x1 ), (f1 (x2 ), ϕ(x1 , x2 )) .1) Если ϕ(x1 , x2 ) = ϕ1 (x1 ) ϕ2 (x2 ), где ϕ1 ∈ D(Ω1 ) ϕ2 ∈ D(Ω2 ), то f1 (x1 ), (f2 (x2 ), ϕ(x1 , x2 )) = f1 (x1 ), (f2 (x2 ), ϕ1 (x1 ) ϕ2 (x2 )) =Аналогично, = (f1 (x1 ), ϕ1 (x1 ) f2 (x2 ), ϕ2 (x2 ) = f2 (x2 ), ϕ2 (x2 ) f1 (x1 ), ϕ1 (x1 ) . f1 (x1 ), (f2 (x2 ), ϕ(x1 , x2 )) = f1 (x1 ), ϕ1 (x1 ) f2 (x2 ), ϕ2 (x2 ) .2) В общем случае представим ϕ(x1 , x2 ) ∈ D(Ω1 × Ω2 ) в виде ряда, сходящегося в D(Ω1 × Ω2 ):ϕ(x1 , x2 ) =∞Xϕs (x1 ) ψs (x2 ),s=1где ϕs ∈ D(Ω1 ), ψs ∈ D(Ω2 ).
Тогдаf1 (x1 ), (f2 (x2 ), ϕ(x1 , x2 )) =∞ Xs=1f1 (x1 ), (f2 (x2 ), ϕs (x1 ) ψs (x2 )) =∞ X=f1 (x1 ), ϕs (x1 ) f2 (x2 ), ψs (x2 ) = f2 (x2 ), (f1 (x1 ), ϕ(x1 , x2 )) . s=1Теорема. Пусть f1 ∈ D ′ (Ω), Ω ⊂ Rn — открытое множество, supp f ⋐ Ω — компакт. Тогдасуществует A > 0, m ∈ N : ∀ϕ ∈ D(Ω) |(f, ϕ)| 6 AkϕkC m (Ω) .Следствие. Пусть f1 ∈ D ′ (Ω), Ω ⊂ Rn — открытое множество, supp f ⋐ Ω — компакт. Тогдасуществует A > 0, m ∈ Z : ∀ϕ ∈ D(Ω) : supp ϕ ⊂ K |(f, ϕ)| = AkϕkC m (Ω) .Возьмем η ∈ D(Ω) : η ≡ 1 в окрестности K. Тогда ∀ϕ ∈ D(Ω) : supp ϕ ⊂ K получим (f, ϕ) =(f, η ϕ ) = (η f, ϕ).
При этом η f имеет компактный носитель: supp η f ⊂ supp η ⋐ Ω.|{z}≡ϕТ.о. |(f, ϕ)| = |(η f, ϕ)| = AkϕkC m (Ω) (последнее равенство — из предыдущей теоремы). Лемма. Пусть f1 : Ω1 −→C, f2 : Ω2 −→ C, Ω1 ⊂ Rn1 , Ω2 ⊂ Rn2 — открытые подмножества,n1 , n2 > 1.
Тогда ϕ(x1 , x2 ) 7→ f1 (x1 ), (f2 (x2 ), ϕ(x1 , x2 )) — непрерывный функционал на D(Ω1 ×Ω2 ).21Пусть ϕi (x1 , x2 ) ∈ D(Ω1 × Ω2 ), i = 1, 2, . . . ; ϕi −→ 0, i −→ ∞. Докажем, чтоf1 (x1 ), (f2 (x2 ), ϕ(x1 , x2 )) −→ 0, i −→ ∞.В самом деле, существует компакт H ⋐ Ω1 × Ω2 : supp ϕi ⊂ H. Тогда ∀1 ∈ Ω ∀i = 1, 2, . . . .supp ϕi (x1 , ·) ⊂ H2 , где H2 — проекция H на Ω2 .
Тогда∀s ∈ Z k(f2 (x2 ), ϕi (x1 , ·))kC s(Ω1 ) −→ 0, i −→ ∞.Действительно, по следствию, ∃A > 0, m ∈ Z : ∀α = (α1 , . . . , αn ) ∀x1 ∈ Ω1| ∂xα1 (f2 (x2 ), ϕi(x1 , x2 ))| = | (f2 (x2 ), ∂xα1 ϕi (x1 , x2 ))| 6 A k∂xα1 ϕi (x1 , ·))kC m(Ω2 ) 6A kϕi kC m+|α| (Ω1 ×Ω2 ) −→ 0, i −→ ∞.Другими словами, мы доказали, что ∀s ∈ Z, s > 0k(f2 (x2 ), ϕi (·, x2 ))kC s (Ω1 ) −→ 0, i −→ ∞.Очевидно, что supp(f2 (x2 ), ϕi (·, x2 )) ⊂ H1 , где H1 ⋐ Ω1 — проекция компакта H на Ω1 .Т.о., (f2 (x2 ), ϕi(·, x2 )) −→ 0, i −→ ∞ в пространстве D(Ω1 ), поэтомуf1 (x1 ), (f2 (x2 ), ϕi (x1 , x2 )) −→ 0, i −→ ∞.Аналогично может быть доказано ,что f2 (x2 ), (f1 (x1 ), ϕi (x1 , x2 )) является линейным непрерывным функционалом от ϕi (x1 , x2 ) ∈ D(Ω1 × Ω2 ).
Лемма. Пусть ϕi (x1 , x2 ) ∈ D(Ω1 × Ω2 ), Ω1 ⊂ Rn1 , Ω2 ⊂ Rn2 — открытые множества. Тогдасуществует ϕs ∈ D(Ω1 ), ψs ∈ D(Ω2 ) :ϕi (x1 , x2 ) =∞Xϕs (x1 ) ψs (x2 ),s=1где ряд сходится в D(Ω1 × Ω2 ).Без ограничения общности, будем предполагать,что Ω1 ∈ (−π, π) × . . . × (−π, π),|{z}n1Ω2 ∈ (−π, π) × . . . × (−π, π), supp ϕ ⋐ Ω1 × Ω2 = (−π, π)n1 +n2 × . . . × (−π, π)n1 +n2 .{z}|{z}|n2n1 +n2PPCk1 ,k2 eik1 x+ik2 x , x = (x1 , x2 ), k = (k1 , k2 ),ϕi (x1 , x2 ) = Ck eikx =kk1 ,k21ck =(2π)n1 +n2Zϕ(x) eikx dx,(−π,π)n1 +n2kϕk2L2 (In1 +n2 ) =Xk|Ck |2= (−π, π)n1 +n2 × . . . × (−π, π)n1 +n2 .|{z}n1 +n2XX∂ 2 ϕ(x) =ak eikx , k∂ 1 ϕ(x)kL2 (In1 +n2 ) = (2π)n1 +n2|ak |2 dx < ∞,| {z }— равенство Парсеваля, где In1 +n2 = (−π, π)∈ L2 (In1 +n2 )n1 +n2kk22Z1ak =(2π)n1 +n22−ikx∂ ϕ(x) e(−1)|α|dx =(2π)n1 +n2In1 +n2ϕ(x) ∂ 2 e−ikx dx =In1 +n2α=Z(ik)(2π)n1 +n2Zϕ(x) e−ikx dx = (ik)α Ck ,In1 +n2где α = (α1 , .
. . , αn1 +n2 ), x = (x1 , . . . , xn1 +n2 ), k = (k 1 , . . . , k n1 +n2 ).α1 α1n1 +n2 αn1 +n2)⇒ | ak | = | k α Ck | 6 const, не зависящей от k, так какP (i k) 2 = (i k ) · . . . · (i kk | ak | < ∞.Xϕ(x1 , x2 ) =Ck1 ,k2 eik1 x1 eik2 x2 .k1 ,k2Возьмем η1 ∈ D(Ω1 ), η2 ∈ D(Ω2 ) : η1 ≡ 1 в окрестности проекции supp ϕ на Ω1 ; η2 ≡ 1 вокрестности проекции supp ϕ на Ω1 .Xϕ(x1 , x2 ) = η1 (x1 ) η2 (x2 ) ϕ(x1 , x2 ) =Ck1 ,k2 η1 (x1 ) eik1 x1 η2 (x2 ) eik2 x2k1 ,k2— сходится абсолютно и равномерно со всеми своими производными в D(Ω1 × Ω2 ).
Определение. Последовательность обобщенных функций fk ∈ D ′ (Ω), k = 1, 2, . . . , Ω ⊂ Rn— непустое открытое множество, сходится (слабо) к обобщенной функции f ∈ D ′ (Ω), если∀ϕ ∈ D(Ω) lim (fk , ϕ) = (f, ϕ).k−→∞Теорема. (без доказательства, Шилов, «II спецкурс») Пусть последовательность обобщенных функций fk ∈ D ′ (Ω), k = 1, 2, . . . , слабо сходится к некоторому функционалуf : D(Ω) −→ Cn ,т.е.∀ϕ ∈ D(Ω) lim (fk , ϕ) = (f, ϕ) .k−→∞ | {z } | {z }fk (ϕ)f (ϕ)Тогда f является обобщенной функцией.10. Свертка обобщенных функцийПусть f, g ∈ L1 (Rn ), n > 1.f ∗g =ZRnf (x − y) g (y) dy =| {z } |{z}ξx−ξZRnf (ξ)g(x − ξ) dξ.R RRRR f ∗ g ∈ L1 (Rn ), так как |f ∗ g(x)| dx = dx f (x − y) g(y) dy 6 dx f (x − y) g(y) dy =RnRnRnRnRnZRRR= dy | g(y)| | f (x − y)| dx = | g(y)| dx | f (x)| dx < ∞.RnRnRn|RRn{z|f (x)| dxRn}Т.о., интеграл сходится по теореме Фубини,⇒ f ∗ g ∈ L1 (Rn ), kf ∗ gkL1(Rn ) 6 kf kL1 (Rn ) kgkL1(Rn ) .23Как определить свертку двух обобщенных функций f, g ∈ D ′ (Rn )?Будем пониматьфункции Rf, g ∈ L1 (Rn ) как обобщенные.
Тогда ∀ϕ ∈ D(Rn ).R(f, ϕ) = f ϕ dx, (g, ϕ) = g ϕ dx,Rn(f ∗ g, ϕ) =RnZRnf ∗ g(x) ϕ(x) dx =Zdx ϕ(x)=ZRnZRnf (x − y) g(y) dy =Zϕ(x) f (x − y) g(y) dx dy =R2nϕ(ξ + y) f (ξ) g(y) dξ dy,R2nгде ξ = x − y. Последний интеграл очень напоминает выражение f (ξ)g(y), ϕ(x + y) — прямоепроизведение. Но последнее выражение нельзя корректно определить для произвольных f, g ∈D ′ (Rn ), так как функция ϕ(x + y) : R2n −→ Cn не имеет компактного носителя. Как же быть?supp ϕ ⊂ [−A, A], −A < y + ξ < A, то есть supp ϕ в общем случае не является компактом| {z }=x(только если supp ϕ = ∅).Определение. Последовательность функций ηk ∈ L1 (R2n ), k = 1, 2, . .
. — исчерпание единицы, если:1) для любого компакта H ⋐ R2n ηk |H = 1, начиная с некоторого k;2) для любого мультииндекса α = (α1 , . . . , α2n ) существует Aα = const > 0 :∀z ∈ R2n ∀k = 1, 2, . . . |∂ α ηk (z)| 6 Aα .Другими словами,∀ m ∈ Z ∃A : ∀k = 1, 2, . . . kηk kC m (R2n ) 6 AЕсть хотя бы одно компактное исчерпание единицы?Пример. Обозначим Br = z ∈ R2n : |z| < r.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
