А.А. Коньков - Курс лекций по уравнениям математической физики (1128003), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

., гдеf (x1 , . . . , xn ) =∞Xfk1 ,...,kn (x1 − x01 )k1 · . . . · (xn − x0n )kn ,∞Xf˜k1 ,...,kn (x1 − x01 )k1 · . . . · (xn − x0n )kn .k1 ,...,kn =0f˜(x1 , . . . , xn ) =k1 ,...,kn =0 (свойство 5)Пусть степенной ряд для f сходится абсолютно в x1 , . . . , xn , где |xi − x0i | = ai > 0, i = 1, n.Тогда |fk1 ...kn ak11 · . .

. · aknn | 6 M для ∀k1 , . . . , kn = 0, 1, 2, . . . , fk1 ...kn ⇒|fk1 ...kn | 6Mak11 · . . . · aknnдля ∀k1 , . . . , kn = 0, 1, 2, . . . , f˜(x1 , . . . , xn ) =(1 −x1)a1M· . . . · (1 −xn ,)ank∞ X1xi i, |xi − x0i | < ai ,=1 − xaiiaiki =0f˜(x1 , . . . , xn ) =∞Xak1k1 ,...,kn =0 1M(x1 − x01 )k1 · . .

. · (xn − x0n )kn .· . . . · aknnM, где a = min {a1 , . . . , an }.x=(x1 ,...,xn )x̃1 + . . . + x̃n1−a!k∞XXx̃1 + . . . + x̃nMk!=x̃k11 · . . . · x̃k11 .kaa k1 ! · . . . · kn !k =0 k +...+k =kДругие мажоранты: U(x) =U(x) = M∞Xki =0i1nk!> 1, и U(x) — мажоранта для f˜ ⇒, то она является мажорантой иk1 ! · .

. . · kn !для f тоже. Так как6. f — аналитична в точке x0 = (x01 , . . . , x0n ), то f аналитична в некоторой окрестности точкиx0 . Пустьf (x1 , . . . , xn ) =∞Xk1 ,...,knfk1 ...kn (x1 − x01 )k1 · . . . · (xn − x0n )kn ,8(1)0y =(y10 , . . . , yn0 )⇒ (xi −x0i )ki= (xi − yi +yi0−x0i )ki=kiXk=0ckki (yi0 − x0i )ki −k (xi − yi0 )k .(2)Подставляем (2) −→ (1) и собираем подобные члены при (x1 − x01 )k1 · . . . · (xn − x0n )kn .Почему перестановка членов корректна?Рассмотрим мажоранту f˜ функции f в точке x0 :f˜(x1 , . .

. , xn ) =∞Xk1 ,...,kn =0f˜k1 ,...,kn (x1 − x01 )k1 · . . . · (xn − x0n )kn .Выберем ỹi0 , x̃0i такими,чтобы ỹi0 − x0i = |yi0 − x0i |, x̃0i − yi0 > |xi − yi0|, x̃i − x0i = |xi − x0i |,x̃i 6 ỹi0x̃0i .˜ 1 , . . . , x̃n ) мажорирует ряд для f (x1 , . . . , xn ) и в нем можно переставить члены,Ряд для f(x̃раскрывая скобки:(x̃i − ỹi + ỹi0 − x0i )ki = (x̃i − x0i )ki =kiXk=0ckki (ỹi0 − x0i )ki −k (x̃i − ỹi0 )k .7. g — аналитична в точке x0 = (x01 , . .

. , x0n ), f — аналитична в точке g(x0 ), то f (g(x)) аналитична в точке x0 .Упражнение. Доказать свойства 4 и 7.8. Упражнение.f (x1 , . . . , xn ) =∞Xk1 ,...,knck1 ...kn (x1 − x01 )k1 · . . . · (xn − x0n )kn ,— аналитична в точке x0 = (x01 , . . . , x0n ). Тогда ck1 ...kn =1∂ k1 +...+kn f (x01 , . . . , x0n ).k1 ! · . . . · kn !∂xk11 .

. . ∂xknn3. Аналитическая поверхность. Задача Кошидля систем первого порядкаNXX∂uik ∂uj=aij+bij (x)uj + c(x), i = 1, N,∂t∂xk j=1k=1,...,m(1)j=1,...,Nui (0, x1 , . . . , xn ) = ϕi (x1 , . . . , xn ), i = 1, NТеорема (Коши–Ковалевской). Пусть akij , bij , c, ϕi — аналитические функции в точке0 = (0, . . . , 0). Тогда в некоторой окрестности U(0) существует единственное аналитическое| {z }m+1решение задачи (1).Замечание.

Без ограничения общности, можно считать ,что ϕi ≡ 0, i = 1, N. В противномслучае сделаем замену: vi (t, x1 , . . . , xn ) = ui (t, x1 , . . . , xn ) − ϕi (t, x1 , . . . , xn ).9(Единственность.) Пусть ui — аналитическое решение системы (1):∞Xui(t, x1 , . . . , xn ) =k1 ,...,knck1 ...kn xk11 · . . . · xkmm ,Тогда ci0...0 = ui (0, . . . , 0) = 0, так как ϕi = 0.ci0k1 ...km∂ k1 +...+kn u=∂t∂xk11 . . .

∂xknnXk=1,...,mi=j=1,...,N∂ui (0, x1 , . . . , xm ) 1=≡ 0.k1 ! · . . . · kn !∂xk11 . . . ∂xkmn x1 =...=xm =0∂∂xk11 . . . ∂xknnk ∂ujaij+∂xk+NX∂ k1 +...+kn (bij uj )∂xk11 . . . ∂xknnj=1Аналогично:cik0 k1 ...km∂ k0 −1+k1 +...+km∂tk0 −1 ∂xk11 . .

. ∂xknnk=1,...,mXj=1,...,Nakij∂uj∂xk+∂N c+. (1)k1∂x1 . . . ∂xknn t=x1 =...=xm =0∂ k0 +k1 +...+kn u =.∂tk0 ∂xk11 . . . ∂xknn t=x1 =...=xm =0+NX∂ k0 −1+k1 +...+km (bij uj )j=1∂tk0 −1 ∂xk11 . . . ∂xknn∂ k0 −1+k1 +...+km c +. (2)∂tk0 −1 ∂xk11 . .

. ∂xknn t=x1 =...=xm =0(Существование.) Возьмет функцию W (t, x1 , . . . , xm ) =M. W являетсяt + x1 + . . . + xm1−aktмажорантой для всех коэффициентов akij , bij , c. Тогда W ( , x1 , . . . , xm ) так же является мажо2рантой для akij , bij , c, если α ∈ (0, 1). В самом деле, пусть:W (t, x1 , . .

. , xm ) =∞XWk0 k1 ...km tk0 xk1 . . . xkmm .k0 ,k1 ,...,km =0ТогдаWαtt, x1 , . . . , xm = W , x1 , . . . , xm =α2k∞XWk0 k1 ...km0 ,k1 ,...,km =0Wk0 k1 ...kmПри этом, очевидно,> Wk0 k1 ...km .α k0Напишем мажорирующую систему:NX∂ui∂uj X=W+W u + W.∂t∂xi=1k=1,mj=1,N10tk0 k1x . . . xkmm .α k0tБудем искать ui в виде: u1 (t, x1 , . . .

, xm ) = . . . = uN (t, x1 , . . . , xm ) = u( +x1 +. . .+xm ) = u(z),αtгде z = ( + x1 + . . . + xm ).α1 ′Mu (z) = Nmu′ (z) · A(z) + NA(z) · u(z) + A(z), A(z) =,α1 − az1( − NmA(z))u′ (z) = NA(z)u(z) + A(z),αMtW (t, x1 , . . . , xm ) =, Wα (t, x1 , . . . , xm ) = W ( , x1 , . . . , xm ).αt + x1 + . . . + xm1−aduA(z)dz=.Nu + 11− NmA(z)α1Выбирая α ∈ (0, 1) достаточно малым добьемся того, чтобы − NmA(z) > 0 в окрестностиαA(z)точки x = 0. Тогда B(z) =раскладывается в окрестности точки x = 0 в ряд по1− NmA(z)αстепеням z с неотрицательными коэффициентами.Z z1· ln(Nu + 1) =B(ζ)dζ,N0u(z) =eNRz0B(ζ)dζ−1N— имеет в разложении по степеням z в окрестности z = 0 неотрицательные коэффициенты, таккакZz∞RX1N 0z B(ζ)dζ−1e=1+(N B(ζ)dζ).k!k=10Ряд для u мажорирует формальный ряд для решения исходной системы и, следовательно, онсходится.4.

Обобщенные функцииПример.Рассмотрим поверхность с трением: брусок падает под углом αn и отражается от поверхности. Под каким наибольшим углом α0 он отразится?Скорость v = (vx , vy ), импульс p = mv = (px , py ) = (mmx , mmy ),vypy (∞)tg αn ==, tg α0 =?vx px (∞)RtdSy= Fy ⇒ py (t) = py (−∞) +Fd t (считаем, что при t = 0 происходит соударение)dt−∞11py (∞) = py (−∞) +R∞−∞Fd t = −py (∞) ⇒Z∞Fd t = −2py (−∞),(1)−∞k — коэффициент трения ⇒ px (t) = px (−∞) −px (∞) = px (−∞) −R∞k(t)Fy (t)dtRt−∞k(t)Fy (t)dt, ⇒−∞k зависит от t, но меняется со временем очень медленно, т.е.

при t ∈ (−ε, ε)R∞k(t) = k(0) = const ⇒ px (∞) = px (−∞) − k(0)Fy (t)dt = px (−∞) + 2k(0)py (−∞) ⇒−∞py (−∞)py (∞)py (∞)− tg αnpx (−∞)tg αo ===.=px (∞) px (−∞) + 2k(0)py (−∞)py (−∞) 1 + 2k(0) tg αn1 + 2k(0)px (−∞)R∞Рассмотрим δ(t) — дельта-функция Дирака: δ(0) = ∞, δ(x) = 0, x 6= 0,δ(t)dt = 1.−−∞Если Fy (t) = −2py (∞)δ(t), то получим (1).Определение. Носитель функции ϕ ∈ C ∞ (Rn ) — замыкание множества{x ∈ Rn : ϕ(x) 6= 0}.Обозначение: supp ϕ.Определение. Множество функций ϕ ∈ C ∞ (Ω) таких, что supp ϕ является компактомназывается множеством (пространством) основных функций D(Ω), где (Ω) — открытоеподмножество Rn , n > 1.Определение. Последовательность функций ϕk ∈ D(Ω), k = 1, 2, . . . , сходится к функцииϕ ∈ D(Ω), если:1) существует компакт H ⊂ Ω : supp ϕk ⊂ H, k = 1, 2, . . .

, P2) ∀mk ϕk − ϕkC m (Ω) −→ 0, k −→ ∞, где k ψkC m (Ω) = sup| ∂ 2 ψ(x)|, α = (α1 , . . . , αn ) —|α|x∈Ω | α|6m∂, αi — целые неотрицательные числа.. . . ∂x1αnОпределение. Функционал f : D(Ω) −→ C называется непрерывным, если из того, что ϕk−→ ϕ, k −→ ∞ в D(Ω) следует, что f (ϕk ) −→ f (ϕ), k −→ ∞.Определение. Пространство обобщенных функций — множество линейных непрерывных функционалов f : D(Ω) −→ Cn .D(Ω), D ′(Ω) — линейные пространства над Cn .f1 , f2 ∈ D ′ (Ω), λ1 , λ2 ∈ Cn , ϕ ∈ D(Ω) : (λ1 f1 + λ2 f2 )(ϕ) = λ1 f1 (ϕ) + λ2 f2 (ϕ).δ(t) — тоже функционал!Определение. Пусть f ∈ D ′ (Ω), ϕ ∈ D(Ω), тогда (f, ϕ) = f (ϕ) — результат действия функционала на основную функцию ϕ.(δ(x), ϕ(x)) = ϕ(0) — определение дельта-функции Дирака.Пусть L1,loc (Ω) — множество измеримых функций на открытом множестве Ω ⊂ Rn , суммируемых на всяком компакте H ⊂ Ω.

Вложим L1,loc (Ω) в D(Ω) следующим образом: для любогоf ∈ L1,loc (Ω) определим функционал f : D(Ω) −→ Cn формулой:Zf: ϕ−→ f ϕdx, ϕ ∈ D(Ω)мультииндекс, | α| = α1 + . . . + αn , ∂ α =∂x1α1Ω12(f ϕ — тоже измерима и = 0 вне носителя функции ϕ (компакт)). На самом деле интегралберется не по Ω, а по компакту — носителюϕ.RУпражнение*.

Доказать, что если f ϕdx = 0, ∀ϕ ∈ D(Ω), то f = 0 почти всюду в Ω.Ω5. Действия над обобщенными функциямиПусть f, g ∈ D ′ (Ω), f, g : D(Ω) −→ Cn — линейные непрерывные функционалы.1. (f + g)(ϕ) = f (ϕ) + g(ϕ) или (f + g, ϕ) = (f, ϕ) + (g, ϕ);2. (λf )(ϕ) = λf (ϕ) или (λf, ϕ) = λ(f, ϕ);3. f ∈ D(Ω), ψ ∈ C ∞ (Ω) ⇒ (f ψ, ϕ) = (f, ψϕ);RR4.

В частности, если f, ψ ∈ C ∞ (Ω), то (f ψ, ϕ) = (f ψ)ϕ dx = f (ψϕ) dx = (f, ψϕ);ΩΩ5. Дифференцирование обобщенных функций: если f ∈ D ′ (Ω), f ∈ C ∞ (Ω), ϕ ∈ D(Ω), то ∂f R ∂f ∂ϕ R ∂ϕ,ϕ =ϕ dx = − fdx = − f,∂xi∂xi∂xiΩ ∂xiΩСчитаем это определением: (f ψ, ϕ) = −(f, ψϕ).Пример.(1, x > 0;Θ(x) =0, x < 0..Очевидно, что Θ ∈ L1,loc (Rn ). Для ∀ϕ ∈ D(Rn ), учитывая supp ϕ ⊂ (−a, a), имеем:R∞Ra(Θ′ (x), ϕ(x)) = −(Θ(x), ϕ′ (x)) = −Θ(x)ϕ′ (x) dx = − Θ(x)ϕ′ (x) dx =−∞=−R0Ra−aRaΘ(x) ϕ′ (x) dx − Θ(x) ϕ′ (x) dx = − ϕ′ (x) dx = −ϕ(a) + ϕ(0) = ϕ(0).−a | {z }0 | {z }0≡0≡1Таким образом, получаем: (Θ′ (x), ϕ(x)) = ϕ(0) = (δ(x), ϕ(x)).6.

f, g ∈ D ′ (Ω) ⇒∂∂f∂g(f + g) =+.∂xi∂xi ∂xiДля ∀ϕ ∈ D имеем:!!∂∂ϕ(f + g), ϕ = по свойству (5) = − f + g,= по свойству (1) =∂xi∂xi!!!!∂ϕ∂ϕ∂f∂g= − f,− g,= по свойству (5) =,ϕ +, ϕ = по свойству (1) =∂xi∂xi∂xi∂xi!∂f∂g=+, ϕ .∂xi ∂xi137. f ∈ D ′ (Ω), ψ ∈ C ∞ (Ω) ⇒∂∂f∂ψ(f ψ) =ψ+f.∂xi∂xi∂xiДля ∀ϕ ∈ D имеем:∂∂ϕ∂ϕ(f ψ), ϕ) = по свойству (5) = −(f ψ,) = по свойству (4) = (−f, ψ).∂xi∂xi∂xi!!!∂f∂ψ∂f∂ψC другой стороны,ψ+f, ϕ = по свойству (1) =ψ, ϕ + f,ϕ =∂xi∂xi∂xi∂xi!!∂f∂ψ= по свойству (4) =ψ, ϕ + f,ϕ = по свойствам (1), (5) =∂xi∂xi!!!∂∂ψ∂ψ∂ϕ ∂ψ∂ϕ= − f, −(ψϕ) +ϕ = f, −ϕ−ψ+ϕ = − f, ψ.∂xi∂xi∂xi∂xi ∂xi∂xi(Упражнение.

Характеристики

Список файлов лекций