Лекция (13) (1127571)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Благодарим всех за оказанную помощь.

Лекция 13

Рассмотрим ядерное уравнение.

Для двухатомных молекул можно отделить переменные, связанные с движением центра масс и вращением системы как целого. При переходе к сферическим координатам для радиальной части получим:

Здесь V(r)=E_e(r), а центробежный член связан с вращением.

Если J=0, то потенциал будет иметь вид (зависимость от межъядерного расстояния):

Если J>0, то потенциал будет иметь вид:

J(J+1)/μr²

В пределе потенциал переходит в гиперболу :

J(J+1)/μr²

В этом случае молекула распадается на два фрагмента.

После замены переменных и разложения V(r) в ряд Тейлора до членов второго порядка приходим к уравнению:

Решениями этого уравнения будут функции вида , а выражение для энергии будет иметь вид:

Если вместо разложения в ряд Тейлора аппроксимировать потенциал функцией Морзе:

,

где D_e – энергия диссоциации молекулы,

то получается следующее выражение для энергии:

Видно, что расстояния между колебательными уровнями должны уменьшаться с ростом (v+1/2). Можно определить v_max, после которого начинается непрерывный спектр (соответствует диссоциации молекулы).

Кривая Морзе обладает следующим недостатком: при для двух нейтральных атомов потенциал , а значит потенциал стремится к нулю медленней, чем экспонента; поэтому число колебательных функций дискретного спектра для потенциала Морзе будет всегда занижено.

Перейдём теперь к рассмотрению многоатомных молекул:

, где

Всего имеется k ядер, для описания которых нужно ввести 3k переменных. Из этих 3k переменных можно отделить три переменные, связанные с поступательным движением молекулы (центра масс), и три переменные, связанные с вращением молекулы как целого. Для отделения хотелось бы ввести два условия (как и в классической механике):

Однако, для k>3 не удаётся выбрать такую систему отсчёта, в которой . В этом случае вводится приближённое условие:

, т.е равенство нулю момента количества движения относительно равновесной конфигурации.

Условия носят название условий Эккарта.

Оставшиеся после такого отделения 3k-6 координат обычно выбираются как некоторые независимые обобщённые координаты. Например, для молекулы H⁽¹⁾O⁽¹⁾O⁽²⁾H⁽²⁾ 3k-6=6 координат можно выбрать следующим образом: три межъядерных расстояния H⁽¹⁾-O⁽¹⁾, O⁽¹⁾-O⁽²⁾, O⁽²⁾-H⁽²⁾, два валентных угла H⁽¹⁾-O⁽¹⁾-O⁽²⁾ и O⁽¹⁾-O⁽²⁾-H⁽²⁾ и двугранный угол между плоскостями H⁽¹⁾-O⁽¹⁾-O⁽²⁾ и O⁽¹⁾-O⁽²⁾-H⁽²⁾. Такие координаты носят название естественных координат.

В классической механике выражение для кинетической энергии имело бы вид:

, где

В квантовой механике подобный оператор кинетической энергии не был бы эрмитовым (в выражение входят одновременно координаты q и импульсы p).

Разложим V в ряд Тейлора вблизи минимума потенциала, оставляя члены не выше второго порядка:

Начало отсчёта энергии мы можем выбрать так, что V₀=0. Первые производные равны нулю (в точке минимума). Введя переменные получим

, где

для всех i.

Для получения выражения для кинетической энергии разложим в ряд Тейлора вблизи минимума потенциальной энергии (положения равновесия):

,

и в полученном разложении оставим лишь члены нулевого порядка (тогда в выражении для T_n будут члены не выше второго порядка малости). В этом случае оператор кинетической энергии будет эрмитовым.

В результате получаем следующее выражение для гамильтониана:

Этот же гамильтониан удобно представить в виде

, где

n=3k-6

При использовании материалов лекции ссылка на www.students.chemport.ru обязательна.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций