Г.С. Кринчик - Физика магнитных явлений (1127398), страница 28
Текст из файла (страница 28)
е, справедливость (2.12.4) доказана. Из (2.!2.6) и (2.12.6) следует также, что 51251л+5125!л =О. Аналогичным образом можно проверить все соотношения коммутации для операторов спина. Используя (2.12.4) и условие гомеополярности, можно получить ряд полезных соотношений, связывающих Ферми-операторы вторичного квантования и спиновые операторы: + 1 а 2 а 1= — (1 — 51л); 1.1. + — 1. + — 2 1 а, а, == — (1 51л), — — 1.Л вЂ” — 2 + а 2 а 1 = — (512 -!521Л)= — 51 — — 1Л+ — 2 2 2 2 а+ ~ а 1 =. — (511.— 61~Л) = — 511„, (2 12 7) 2 161 б г с.
Кринчии где 5~~ и 51 носят название операторов повышения и понижения спина соответственно. Заменим теперь произведение Ферми-операторов а в гамильтониане (2.12.2) на операторы спина. Мы получим четыре члена в Н, придавая о значения (.+ /2). Заменяя их на операторы спина из (2.12.7), получаем для Й следующее выражение: йо ~~ '~ (~1Л~ )2~2) ((! 58М) (! + Я х ) м,,Фьх. -'- (51.ь. —, 15Ь.,) (5!.л — ЗЬ,) — (5д,, — ВЬ,) Я~ —, Аич) + —,— (1 — 31,м) (1 — 5~а,)) = С'Π— ! У (~1Л~', )аз) (Япх,Л!,м), пь Ф! ха (2.12.8) где Г, не зависит от операторов спина. Чтобы из (2.12.8) получить обменный гамильтониан, разобьем сумму в (2.12.8) на две части; первая относится к взаимодействиям между атомами 1,~1., а вторая — внутри атомов (~~=)з): Н= (l,— ~~! ХД,Л,; ~.,Л,)(5ь~,,5ьм) — ~~~~ Х(~Л,; ~Л,)5ич5!х,.
пм: Хь Х, З.,фх„ 8! — — ~~~~ 81ы ь=! (2.12.12) а именно: Н= (р,— ~' х(И,) ~А.. п~ь Это выражение с точностью до обозначений совпадает с гейзенберговским гамнльтонианом (2.3.22); этим продемонстрирован приближенный характер его. Метод решения задачи с гамильтонианом (2,12.13) состоит в том, что после перехода и новым операторам вторичного квантования форма операторов (2,12.2) из физических соображений сводится к бинарной н затем диагоналнзуется. Используем пре- (2.12.13) 162 (2.1 2.9) Введем еще два предположения, Первое — интегралы обмена между узлами слабо зависят от орбитальных состояний, т. е.
,(Ц,Ло ~аЛе) =1®, ~а) (~,~~,), (2.12.10) и второе — обменная связь электронов внутри атомов (хундовская связь) заметно больше межатомной связи, т. е. ! (а(~Л, ~Л')!):,(Ц,Л,; ~,Л,) (~ ~~ ). (2.12.11) В силу (2.12.11) можно пренебречь операторным характером последней суммы в (2.12.9) и считать ее постоянной величиной. Считая также обменные интегралы 1(1~Л~', !эЛз), не зависящими от орбитальных индексов, можно выразить гамильтониан (2.12.9) через операторы суммарного спина электронных незамкнутых обо- лочек образование Холстейна — Примакова и покажем, что в области низких температур обменный гамильтониан можно представить в виде 77= ~ Е,пы где Ех — энергия спиновой волны, а пх — число возбужденных спиновых волн с данной энергией Ею Компоненты векторного оператора спина удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям; Ж Ж вЂ” 56 5! = 1516п, 51~à — 5! ~!'= А'бич '5!5! — 51" 5! =15! брь (2.1 2.14) где ) — номер узла решетки.
Квадрат оператора спина имеет собственное значение 5(5+1), а его а-компонента может принимать только 25+1 значение в представлении, где 5, диагонален. Это дает следукнцие соотношения: П (5! — г) = О. (2.12.16) г — 3 3!5! = 5 (5 + 1), Вместо операторов 5! (а = х, у, г) введем операторы 51 = 51" -~- 15), 51, которые удовлетворяют перестановочным соотношениям 5! 5п — 5!п57 = 25! 6!и, З!5;, ж,З,* = ~ Зяб!! (2.12.16) Для случая 5 = 1/2 из (2.12.17) имеем 1 Г 1 1, 1 ! — — — ! -'- — — — =1, 2 (, 2 ' ) 2 4 1 3 о 515~ = — !' — +1) — — — — = О, 2 !, 2 ) 2 4 5 =- — —; 1 + т. е. 51 5) = пр где и!.— — 0 или 1.
Для оператора момента количества движения известны следующие формулы: 5ч-фз(а) = )( )фз(а-'-1), 3 — ~рз(а) = ~(5 —,— а) (5 — а —,-!) фз(а — 1), 5,фз(а) = аф~(а), (2.12.!8) (2.12.19) (2.12.20) 163 Из (2.!2.14) и (2,12.16) следует, что 3!5~! = 5 (5+ 1) — 51 — (5!), 5/"5; = 5(5 — 1)-- 51 — (5!)'. (2.12.1 7) 5~! ~рз (и1) = (25)нз и~1~'(1 — п!25)ив зрз (а — 1).
(2.12.24) Оказывается, что и! можно считать Бозе-числами заполнения, которые можно выразить через операторы вторичного квантования рождения и уничтожения одного кванта спинового отклонения. + Подставляя Ь1~ Ь! — — и! в формулу (2.12.24), где Ь н Ьг удовлетворяют бозевским перестановочным соотношениям (2.11.!8), полу- чаем + й+, = (25) ~з ( ! — 1~' "и Ь, (2.12.28) и аналогично для Й~ можно получить + 5-,= (25)изЬ+, ~1 — 1" )'", 25 (2. 12.
25') Преобразования (2.12.25) были предложены Холстейном и Примаковым 1491. Полный гамильтониан системы в присутствии однородного внешнего поля Н вдоль оси г и при учете только ближайших соседей может быть записан в виде ® = 11'0 1Ъ,81Я+т 2роН~~ в! 1 где Х вЂ” обменный интеграл для ближайших соседей, вектор д соединяет атом )' с его ближайшими соседями, р,— магнитный момент атома. В основном ферромагнитном состоянии системы (решетка из М атомов) имеем (2. 12.28) ~~~ (5~1) = Ф5. (2,12.27) 164 и — текущая координата г-компоненты спина, 5 — максимальное значение г-компоненты спина. Введем оператор спинового отклонения й! — — 5 — 5Н (2.12.21) собственное значение которого 5 †и=†и . Далее получаем 5 + и — , '1 = 5 -,'— (5 — и ) -, '1 = 25 (! — и !25), (2.12.22) Зу фз(5 — и1) = (п125(1 — п1/25))нз Фз(5 — и! + 1), (2.12 23) обозначим $з(5 — и!) через ~рз(п ), так как 5 — просто число, а не переменная; тогда Ь/ = Ь)изехр(й)с Д+, Ь, = Жп'~'ехР( — И~,) ~ь, (2.12.
28) где А — волновые векторы в первой зоне Бриллюэна. Перестано+ вочные соотношения для я» и $ц такие же, как для бозевских операторов рождения и уничтожения Ы," — ~ьЬ, = бм, $А ° — ~~~~= $+$+ — Ь+$+=0 При получении этих соотношений учитываем, что )"„ехр!(Ь вЂ” Ь')Лг=- Ь~бы. 1 (2.!2.29) Для 5! имеем после преобразований точную формулу Я = 5 — 31+6~ — — 5 — л! — ' ~," ехр[1(Ь вЂ” Ь') Й1~ $ь~6 . (2.12.30) Ь!ожио подсчитать оператор полного отклонения спина решетки й!5 — ~' 5! =~', в! Ц= ~) (Ь) ')ехр[!(я — я)!ЦВь йь'= гам' = ~.М.
=',)„и,, (2.12.31) при вычислении используется соотношение (2.12,29). Из (2.!2.3!) видно, что величину ~~Ь |, можно рассматривать как оператор числа заполнения состояний А для ферромагнонов (спиновых волн). 166 Будем вычислять отклонения от этого основного состояния. Для этого в (2.12.26) заменим спиновые операторы на операторы вторичного квантования с помощью подстановки (2.12.26). При этом мы вводим много нефизических состояний. Оператор числа бозонов а; имеет произвольно большие собственные значения, в то время как 5,=5 †принимает только (25+ 1) значений (от — 5 до +5). Нефизические состояния не будут вносить ошибок в области низких температур, когда число <аг) мало. Параметром малости является величина п~/25 к.1.
Перед подстановкой (2.12.26) в (2.12.26) разложим квадратные корни в ряд и перейдем к Фурье-компонентам операторов Ь~~ и Ьь а именно: Для 5+ и 5 — получаем приближенные формулы 5+ = (25)пд~Ъ вЂ” (Ь~+Ъ1Ь )145 ог ...) =— = (25) пд Д ' ехр (й)д1) $» — (4М5) ' ~' ехр 11(Ь вЂ” Й'- Ь")1д1) $»+ $, е»-~, 5 — = (25)нз(ь/ — (Ъ~1Ъ~1ь1)145+ ...) == (25)п'~~.'ехр( — й)д1)Ъ~Ц— — (435) — ' ') ехр(1(Ь вЂ” 'Й' — Ь")Ег ®Ъ»+$»~. (2.12.32) Используя (2.12.30) и (2.12,32), можно выразить гамильтониан (2.12.26) через Бозе-операторы й~~ и $»: о»обм ') ~~» 15ИФ ~~~~~ ~д~1-~д Г ~ (51 51+д+ 1 5Р+д)) ы Хх((5 п1)(5 — и ) г (Ь1Ь '. ЖЪ1+)) + 2 и = — УХг5' +,)5 ~ ЦБ~ Ь ) -1- Ь~+д Ь1+,) — — ~~ (Ь Ьд»д + Ъ/ Ь|+д)+М», ы 1+д Аналогично ~ ' Ъд+Ъ1+д =,'~' ехр ( — (ьд)Д,+ $, = ~," у,Я+, (2,12.36) ы д» » где г у» ~Г ехр (Йд)) д 1 (2.12.
37) (2.12.33) де в Я, включены все члены более высокого порядка по и . Рассмотрим отдельные члены в (2.12.33): '~ Яь -(- ь1ч+дЪдч.д) = 2г~ $»+Ъ», (2.!2.34) и » ~ Ь ЬД.д =- — ~~)~~ ~~~~ ~ехр( — й'Я1) ехр й(йд + д))Я~+ = и дд ы' = — ~~~~~ ~~1~~ ехр 1(Ь вЂ” Ь') Я1 ехр (йп) Ц~~ = — '~ ~~)~~ ехр (йд)) Я» 6»» = У д.»» д» вЂ” — ~ ехрй4Я» = ~~) уАЪ~+. (2.12.36) Если кристаллическая решетка имеет центр симметрии, то Таким образом, для Я получаем выражение Ф = Яе + ~) 12,)г5 (1 + У») + 2Р»Н1 ~~~» -'- Фм (2 12 38) где йе не зависит от операторов спиновых волн, а Я1 включает все высшие порядки этих операторов.
Опуская Яе и пренебрегая Яь получаем из (2.12.38) За,е„—— ~ Е»п», где Е» =- йае» = 2)гЕ (1 — у») + 2реН и» = — й»+ $». (2.12,39) Для малых волновых векторов спиновых волн, т. е. при условии йц«1, величину у» можно разложить в ряд и получить 2г(1 — у») ~ ~ (йЧ)', (2.12.40) откуда следует квадратичный закон дисперсии для спиновых волн Е» = 2Р»Н вЂ” И~ (Й~)е, а (2. 12. 41) который, как показано в ~ 2.4, приводит к закону Блоха для тем- пературной зависимости самопроизвольной намагниченности (»т ~еЛ (2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
