Г.С. Кринчик - Физика магнитных явлений (1127398), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Система з-элек- 148 тронов сама по себе считается парамагнитной. Подсчитаем добавку к энергии Ферзи! за счет намагничивания з-электронов. 1 Дополнительная энергия намагниченных з-электронов ЛЕ = — Ы„ 2 где г', = хкН (х„— паулиевская парамагнитная восприимчивость). Тогда энергия на один узел есть гг гу12 г 2 г ЛЕ 1 (2.10.2) х„ 2х„ 2 При квадратичном законе дисперсии для энергии з-электронов х„= —,Нр;',г'Ек и / Ек. з Таким образом, полная энергия кристалла на узел, зависящая от лг, и лгк, 1 ! Е (т„тк) = — — Уккт"- —,(,зт,пг„-~г —,г'т,',.
(2.10.3) Равновесные значения намагниченностей пгк п гггг можно искать сразу нз условия минимума выражения (2.10,3) и одним из возможных решенай будет пгд глк макк~ гггю лгк дм (2.10.4) Х В обычных условиях ток 1о- ° .г к,,г,- — 1О" эрг, г = — 10 " эрг, !о- и отношение Х,кН 0,01, поэтому подмагничпванпе парамагнптной системы электронов составляет 1% намагниченности внутренних а'- плн г-электронов.
Подставляя (2.10.4) в (2.10,3), находим равновесное значение спиновоп части энергии системы (з+гг)-электронов как функции ша 1 ггз, 1 г Екнп(гва) =- ~Лак —,- — ) лгг= — (/кк)эф агг. (2.10.5) (ХКК),ЕŠ— — lэз -- (г,зг/ ПрЕдСтаВЛяЕт СОбсй ЭффЕКтИВНЫй Параметр обмена г(-электронов. Таким образом, (з — гг)- или (э — !)-обменное взаимодействие приводит к эффективной обменной связи между внутренннмп электронами, определяемой косвенным интегралом обмена. (2.10.6) ,г' кос В 2 Критерий ферромагнетизма в данном случае есть (Уаз),фф)0. Если У,гз--0, то У„„, целиком определяет магнитный порядок в метал- ле, гг тогда пз (2.10.б) следует, что У~зУЕг — ггО. Следовательно, (з — г()- или (з — 1)-обзсенный параметр по порядку величины равен у~ — (ЙОЕ„)!!-'.
Для количественного изучения проблемы (з — У)-обмена тре- буется рассмотрение микроскопической модели. Взаимодействие з- и (-электронов в кристалле можно описы- вать гейзенберговскнм обменным интегралом: Ц„= — Е Ум (гс — й.) (8А). (2.10.7) гл где Он г, и Я„, (с„— операторы спина и радиус-векторы соответствен- но электрона проводимости и суммарного спина парамагнитного иона в узле л кристалла, Уо(гс — 1с„) — обменный интеграл. Спин $„ складывается нз 2 спиноз неспаренных электронов незаполненного У-слоя. Если состояния электронов проводимости, не возмущенные (з — У)-обменом, описывать плоскими волнами, то в представлении вторичного квантования (см.
$2.!1) гамильтониан (2.10.7) запи- шется в виде О 2~ ~д ((со~У, (г — р,„)3~1с'о') аьоамо, (2.10.8) гга где гг — квазнимпульс электрона проводимости, о — его спнновая + проекция, а„б и ага — фермиевские операторы рождения н унич- тожения электрона в состоянии (со. Матричный элемент в (2.10,8) можно переписать в виде ((со!У, (г — К„)31!с о') = ЛГ'ехр(г((с' — (с) гс„)У, (Ис') (о!Й! о').
(2.10.9) Здесь Уо(И') — Фурье-образ (з — У)-обменного интеграла, гУ— число узлов решетки, (о!3 !о') — матрицы Паули (а=х, у, а). В представлении, в котором оператор 3, диагонален, матрицы Паули имеют (в единицах Ргг2) следующие, отличные от нуля мат- ричные элементы: ('- — 'В, —, :— ')=, 2 * 2 (+ — ~ог~ ) = 1 2 " 2 1 - 1 (+ — )3„! — — ) = — г, Подставляя (2.10.9) в (2.10.8) и задавая различные значения о и о', находим 180 й, = — Л ' ~' У, (йй') ехр 1(й' — 1с) Кь(аьь а, ° 3„+ ы'л -(- аь а, ' К + (аь аь' — аь+а,' ) 3,), г (2.10.10) Ум (М) = — ) В1 (г') е'~ ~~~~ 7 (г — г') р (г) агаг' = еиь ма" ! (11 "к), (2.
10. 1 1) где Г(г — г ) — потенциал электростатического взаимодействия пары з- п )-электронов, ~р~(г) — атомные волновые функции 1-электрона. Интеграл 1(к', к) называют обычно (з — 1)-обменным интегралом. Он описывает обменное взаимодействие з-электрона с 1-электроном, находящимся в узле, принимаемом за начало отсчета. Предположим, что прямой (1 — 1)-обмен отсутствует, тогда гамильтониан (2.10.1) можно записать в виде й = й„—. й„ и рассматривать йм как возмущение. Первая поправка теории возмущения определяется диагональными членамн й,у Ен>= (йа ~ у, ~й+и) = — — ' ~~1 ' 7(Цс) 3'„(пь — пи+), пах = а ь+еа~ .
ьл Если считать, что в нулевом приближении з-электроны не подмагничены, т. е. энергия з-электронов не зависит от ориентации спина, то средние значения (п+) и (п ) равны и среднее значение Е<и обращается в нуль. Для определения эффективного обменного интеграла между парамагнитными ионами необходимо вычислить вторую поправку к энергии и матричные элементы типа -йп~Н,~~й'о'). Вычисления во втором порядке теории возмущений показывают, что между магнитными ионами, первоначально невзаимодействующими между собой, появляется эффективная обменная связь через электроны проводимости, и гамильтониан (2.10.1) (з — 1)-модели может быть сведен к виду й=- ~'Е,пм — 2,'~ У,фа(К вЂ” К,)8 $, ье тл (2.10.13) где ,(,вф(К) = — — У ен" — "'1" ~ (Е,), (2.10.14) Еь — Ем 1(Еь) — функция распределения Ферми.
151 где 3„— " = У; ~ (Я, и вместо индексов а= .+1~2 стоят просто ин- дексы —; — или —. Как видно из (2.10.14), косвенный обменный интеграл определяется тремя факторами: законом дисперсии электронов проводимости Ем степенью заполнения зоны и зависимостью (з — !)-обэ!енного интеграла от изменения волнового вектора к. Если положить приближенно 7 (кк') =сопя(=7 и принять квадратичный закон дисперсии для электронов проводимости, то можно вычислить явный вид обменного интеграла. Сделаем замену переменных к — к'=о(, тогда Уо 1.~ ~! Š— Е« (2. 1О.
15) (штрих у суммы по о! означает, что цчьО). Примем далее, что Е«=доя'72гп, где ги — эффективная масса з-электрона. Тогда Ло Е«+ — Е« = — о((2й сов В -'- о!), 2т (2. 1О. 16) Я) ( (2а)о фд 3!наг(ае!оя сова м 2тМ ' У оо,о Г Уоао, (2а!о ) " 3 о о Ю я Х ~ 7 (Е«) йойг ~ о о (2. 1О. 18) Проинтегрируем сначала по углам В и а в!и аеыя ооо о г(а 2 5!а ч!! ч!! о О ,7,ее(Я) = ~з!пай(В ~ йгй~(Е«)!п~ ' ~. (2.10.19) о Ф 1!спользуя табличный интеграл !п ~ х з!пЬЫх = — ' и!паЬ, (2.10.20) х — а '! Ь о 152 ,7 (р) = ~ — ~Р ~"р('ч ! э' 7( «) (2.10.17) Уо до С ! Ч,С ! 2«со«О+я Ч « Для вычисления этих сумм перейдем к интегралам н используем сферические координаты а=- Щ, В = г(к получаем 06 У, Ж) = в' ) А$1пЫ1(Е ) г(А.
(2.!О 21) о Прп 0'К функция распределения Ферми 1(Еь) имеет вид сту- пеньки ( 1 Е<Ею А<Ар, ) О Е>Ер, А>йю Аг — импульс на поверхности Ферми, поэтому интеграл в (2.10.21) переходит в ог Аз1п 2АЕгй = — (в1п 2йгК вЂ” 2йгй сов 2йгЯ), 1 4йо о и окончательно получаем Х Я) = ~ — (81п 2йр)! — 2йяЯ сов 2йяй). (2.10. 22) 8поло1то 41го Введем функцию Рудермана — Киттеля (рис. 2.32) Х СМ Х вЂ” 51П Х хо (2.10.23) Тогда го Аг о 1 ее(Я) = — — — Г(2А~Я), Ег и' (2.10,24) где Ег — энергия Ферми для электронов проводимости. Поскольку й~г= Зпоа,, то можно записать го ,7, ф) = — 9п —. (п,)о Е (2йгЕ), (2.!0.25) 153 где л„— концентрация электронов проводимости.
Эффективное обменное взаимодействие в виде (2.10.22, 2.10.24, 2.10.25) было получено в 145) и называется взаимодействием Ру. дермана — Киттеля — Касуи — Иосида или взаимодействием РККИ. Взаимодействие РККИ характерно двумя особенностями. Вопервых, оно является дальнодействующим и его амплитуда убывает по степенному закону. Дальнодействие объясняется тем, что взаимодействие РККИ вызвано электронами проводимости, которые движутся по всей решетке. Во-вторых, взаимодействие носит осциллируюший характер, т.
е. данный магнитный ион связан со своимн соседями попеременно ферро- и антиферромагнитно Рис. 2.32 а Влм К 500 250 100 Рис. 2.33. Парамагннтная точка Кюри Юшя как функция атомного номера редкоземельного металла. 1 — опорная точка для Оо, 2 — рассчитанные значения ипат по формуле (2.10.27), 3 — соотаетстиующие экспериментальные зна- Епм 50 Используя гамнльтоииан (2.10.26) в теории молекулярного поля, можно найти точку Кюри для РЗМ: 164 (рис, 2,32).
Абсолютная величина этого взаимодействия на расстоянии ближайших соседей определяется параметром 1з/Ер. Обычно 1-10 'з эрг, Ен-10 " эрг, так что параметр косвенного обмена (з7Ен-1О " эрг, что соответствует температуре Кюри порядка 100'К. Дальнодействующий и осциллирующнй характер косвенного обменного взаимодействия между 41ьионами позволяет понять совокупность специфических магнитных свойств редкоземельПл) ных металлов (РЗМ), а также л5 магнитных аномалий нх немагнитных характеристик. Первым обобщил теорию РККИ для РЗМ де Жен 1461. В РЗМ интегралом движения является не полный спин атома Я„ а полный момент 3„=6„+1.„. Поэтому де )Кен предложал заменить Я„в (2.10.7) егопроекцией на 1„, которая равна (й' — 1) Я„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
