Г.С. Кринчик - Физика магнитных явлений (1127398), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Тогда вместо (2.10.7) получаем 90 — — — 2(0 — 1) ~з,1з1 (гг йа) (Зг.1~). (2.10 26) гч 0 = — ~ — ') — (д — 1) 7(7+ 1) ~ Р(2йгР.,~. (2.10.27) л=О Явное вычисление суммы дает, как правило, 0>0. Вслп считать, что различные РЗМ отличаются друг от друга только значениями д и Х, а остальные параметры, входящие в (2.10.27), считать постоянными, то можно найти В для всех редких земель. Де Жен потребовал, чтобы точка Кюри гадолиния совпадала с экспериментом.
При этой нормировке был построен график О для всех РЗМ (рис, 2.33). Как видно, наблюдается хорошее согласие экспериментальных и теоретических значений. Осциллирующий характер косвенного обмена через электроны проводимости в РЗМ приводит к появлению в них спиральных геликоидальных или синусоидальных атомных магнитных структур (см. $4.6). В 2.Ы. МЕТОД ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ В настоящем параграфе кратко описан математический метод, известный под названием метода вторичного квантования 147). В методе вторичного квантования совершается переход к новым переменным — числам заполнения, которые определяют число частиц, находящихся в данном квантовом состоянии системы.
Этот метод требует введения операторов, действующих на числа заполнения, операторов рождения и уничтожения частиц в данных квантовых состояниях. Пусть задана система из 71' тождественных частиц. Волновая функция такой системы (в случае статистики Ферми) может быть получена ($2.4) в виде линейной комбинации слетеровских детерминантов, построенных из одночастичных функций электрона в изолированном атоме ф, (д;), т. е.
любая волновая функция может быть представлена в виде где 1~а,,....ад(Ч» ° ~ Чл) = М) ~' ( 1)рфа~(Ч1) фа~(Чз) ° г (2.11.2) Суммирование производится по всем Ф1 перестановкам, и все одночастичные состояния аь аь ..., ан разные. Множитель ( — 1)Р показывает, что нечетные перестановки входят в сумму (2.11.2) со знаком «минус». В силу тождественности частиц не важно, какая частица находится в данном одночастичном состоянии, а важно знать только, занято данное состояние или нет, Поэтому можно 155 пронумеровать волновые функции с помощью чисел заполнения и прн дополнительном условии, что ч'п„=й7, и представить волновую функцию системы в виде ф,. ()„.... 4. ) = ~;о(..., п.
) ф,„... ()„..., Ь), лч (2.11.3) где ф. (Ч~,", дьч)= ~ ' ', ' ) ~1,ф,,(д,)ф,,(д,) ... (2.11.5) / М~Из! ... уцз симметризованное произведение одночастичных функций, а(..., п, ...) — волновые функции в представлении вторичного квантования, числа заполнения и могут принимать любые целые положительные значения, а Хл, = г!. Если волновые функции в (2.11.2) и (2.1!.5) ортонормированы, то ) ~ ф (ц, ..., дп) !'до, ... Нд,т = ~~ ! а (..., и,, ) !', (2.11.6) следовательно, величину !о(..., и, . )1~ можно интерцретнровать как вероятность пребывания системы в состоянии, характеризующемся данным набором чисел заполнения (..., и„, ) одночастнчных состояний. Установим теперь соотношения, по которым операторам в координатном представлении сопоставляются соответствующие операторы в представлении вторичного квантования для Ферми-статистики. Пусть Рщ есть некоторый симметричный по всеч частицам оператор вида Г=~' 7а а (2.11.7) 156 где суммирование производится уже по всем наборам чисел заполнения и...
каждое из которых в случае Ферми-частиц может принимать значение О или 1. Представление волновых функций в виде (2.11.3) называется представлением вторичного квантования, а функции от чисел заполнения а (..., пп, ...) называются волновыми функциями в представлении вторичного квантования. Аналогичным образом в случае статистики Бозе волновая функция системы М тождественных частицможетбыть представлена в виде диагональные (гс )"'„""' =~д„„у, недиагональные (Рп~)„с',' = +- я, (2. ! 1.8) 'с 'ь где берется знак плюс или минус в зависимости от четности общего числа частиц в состояниях, находящихся между сч и Ьсостояниямн (все одночастичные состояния ас, ..., пл пронумерованы в фиксированной последовательности), а сй= ~'Ь,(с)) Рф. (с)) с(с).
Введем операторы ас с матричными элементами с — 1 (2.!1.10) С помощью этих операторов можно записать РС1= ~~ фас+аь. м (2.11.11) Действительно, матричные элементы этого оператора совпадают с (2.1!.8). Это н есть представление оператора Е(с> в представлении вторичного квантования.
Оператор а+ (ас) носит название оператора рождения (уничтожения) частиц, так как, действуя на функцию от чисел заполнения ф(пс), он увеличивает (уменьшает) на единицу число частиц в состоянии й ~ч~Р и йстй (пс) = ( — 1)' ' б (п,) Япс — 1), с †! ~Р лс ас+ф(и;) = ( — 1)'=' Б(1 — ис) Япс+ 1). (2.11.12) Из (2.11.12) видно, что действие оператора ас на функцию с пс=0 дает нуль, это означает, что нельзя уничтожить частицу в незанятом состоянии.
Действие Ферми-оператора ас+ на функцию с аргументом пс=1 также равно нулю в соответствии с тем, что в данном состоянии не может находиться более одной Ферми-частицы. 157 где 1„— оператор, действующий только на функции от а~. Такой сс! оператор, действуя на функцию ф „, переводит ее в ту же самую функцию либо в другую, соответствующую изменению состояния одной нз частиц. Ввиду этого матричные элементы гсс> по функциям (2.11.2) имеют вид + + + (а~, ат) — = а~ а~ —,'-а~а; = бн, (а;а ) = (а~+ а+) = О, а+ а; = ип (2.11.13) Таким образом, Ферми-операторы вторичного квантования являются антикоммутирующими.
Аналогичные операторы рождения и уничтожения частиц могут быть введены и в случае частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Матричные элементы Г(Н по функциям (2.11.4) в этом случае имеют вид: диагональные (Р''~) '-,"" = ~) Я пч, а недиагональные (Р~ ')„";"~ „' = ф 'г' йп„. (2.11.14) Оператор РА можно представить в виде (2.11.11), если ввести операторы рь которые уменьшают на единицу число частиц в состоянии 1 и имеют матричные элементы (~,)„' = ~/йп (2,11.15) и операторы ~+,, которые увеличивают на единицу число частиц в состоянии 1 и обладают следующими матричными элементами: е")"„, = Ф)."-'Г = Къ,. (2.11.!6) Согласно формулам (2.11.15) и (2.11.16) произведения р+ н р; представляют собой диагональные операторы РГ Э1 = л~ р1 Ре = и (2.11.1 7) и далее можно получить перестановочные соотношения для опера- торов рп Р;$1~1— = Р; Р," — Ф® = би, РХ;1 = Р+- Р+.1= 9.
Таким образом, Бозе-операторы вторичного квантования коммутируют. На языке вторичного квантования симметризованный оператор ~а 1 (2.11.19) (2 11.18) 158 Действуя последовательно операторами а~~ и ат на некоторую функцию от чисел заполнения ф(п;), легко получить перестановочиые соотношения: (двухчастичный оператор 7,'~~ действует на функции от Ч, и а ) имеет вид га1= ~' Я ас.
аи~а,'а (2.11.20) СИт (статистика Ферми), (2.!1.21) (статистика Бозе), где Ф~ =- ~ Ф ((11) Ь 01э) Р" % (Я ) ф (чэ) 411гйь. а2 ~ = — — у АГ + ~~6 (гг — И,) + ~~)~ ~$'(г;, г~ ), и ГФР Радиус-вектор 1-того электрона, 1Т; — фиксированный радиус.век тор Т-того ядра, может быть записан через операторы а; в виде Н= Т~~~Н!~иа~саа+ ~)~ Уй,„ас+а~~а, а, (2.11.22Г м 1~я где ' «2 Нси = — — сч + 6 (г1). Если в качестве ф; выбраны собственные функции гамильтониана Нь то первый член в (2.11.22) равен сумме энергий одночастичных состояний Йо > = )~~~ Е;а+ а; =- ~ Е; у;. (2.11.23) а здз. теОРия спинОВых ВОлн пО метОду ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ Рассмотрим кристалл, в узлах (с радиус-вектором $) решетки которого находятся атомы с незамкнутой электронной оболочкой.
Пусть между электронами оболочки действует рассел-саундерсовская связь, поэтому атому в целом можно сопоставить спиновое квантовое число о и орбитальное А. Тогда в представлении вторичного квантования гамильтониан системы можно записать, учитывая ортогональность спиновых функций, в виде 159 Гамильтониан, интересующий [нас, при учете только парных взаимо- действий В = ЕНп>(/Л, /'Л') а~и~а! л а -:— ! ч! -~- — ~~~ Р(/„Л„; /зЛ,, "/,Л,; /зЛз) а~',мцабмв„а/,, а/ ь „. (2.12.1) 2 з за* ' Первое слагаемое в (2.12.1) (бинарная форма операторов вторичного квантования) легко днагонализуется с помощью преобразования Фурье-операторов а" н а (см, ниже), и мы должны получить результат одноэлектронной теории металлов Е= ~," Еыпы а причем собственными функциями гамильтониана Нн' будут блоховские функции (см.
2.11.23). Нас будет интересовать второе слагаемое, учитывающее взаимодействие электронов и обусловливающее появление ферромагнетизма. Если пренебречь переходами между различными орбитальными состояниями электронов, а также образованием полярных состояний (когда в состоянии с данным Л находится больше одного электрона с а=+'/з нлн — '/я), что выражается условием гомеополярности ~.'аф а1, = 1, а то (2.12.1) упрощается и принимает вид 1 ъ-з Н = Ео у - /(/гЛз /зЛ,) абь,о, а/р,,о,абы~,абм~„ лхвФььа (2.12.2) где /(/тЛ„ /,Л ) = — !г (/~ЛП / Л; /,Л~; / Л )— обменный интеграл между состояниями ~Д~ и /яйь Кулоновское самовзаимодействие мы отсюда исключили: ~,чь~ь Поскольку орбитальные переходы считаются запрещенными, то единственными динамическими переменными являются спиновые переменные, поэтому гамильтониан (2.12.2) можно выразить только через операторы спинов.
По Боголюбову (см. !48]), эти операторы связаны с операторами а" и а соотношениями х ! + +1 51х= — (а ~ а ~ -1-а ~ а,), 2 9 — — !х+ — Р+ — гь 2 2 г 1 ч + ф„= — (а ~а ~ — а ~а ~), 2 Р+ — /ь — — !~ — гь+— 2 2 2 2 ф, = — (а+ ~ а ~ — а+ ~ а ~ ). (2.!2.3) 2 Р— — Р,— — гх+ — Р.+— г 2 2 г !60 Справедливость (2.12.3) доказывается проверкой соотношений коммутации. Докажем, например, что Ю.
51.) =151л (2.12.4) Вычислим: о1ло!л= — (а 2 а ~ а' 2 а 4 1Л вЂ” — 1Л, — 12+в 2 2 2 + + + + + — а 2а,а 2а 2+а,а ~а 2а, а 1Л- — 1Л+ — 1Л вЂ” — 1Л+ — 1Л+- 1Л+ — 11 — — 1Л+ — 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + — а2а,а2а1)= 1Л+ — 1Л вЂ” — 1Л вЂ” — 12+в 2 2 2 2 = — [и,. (1 — и, ) — и, (1 — и, )) = — 51л. (2.12.6) 4 1Л 1Л+ — 1Л+— р, ~ 2 2 2 2 Аналогично получаем, что 51Л 51Л= — — 51Л, 2 (2.12.6) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
