Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 65
Текст из файла (страница 65)
(2) !и) и ш Ум !о)м ш У.ч Возникает интересный для приложений вопрос: каким условиям должны удовлетворять множества У, 1'/, и функции / ([и]М, [о] ) для того, чтобы последовательность задач (2) аппроксимировала задачу (!) по функции, т. е, !'пп /, =? ) (3) Следующая теорема дает ответ на этот вопрос. Т е о р е м а 1.
Для того чтобы последовательность задач (2) аппроксимировала задачу (1) по функции, необходимо и достагпочно выполнения следоющих двух условиа: 1) для каждого натурального числа М гв 1 существует отображение Р: Х вЂ” «Х и для любого [и] ~ У существует отображение г',!ч; У-«У такие, что Р „([и] ) г= У при [и] г= У, Ц,(о) шУ при о ем У и 1пп [/м ([и]м, Ям (от)) — / (Рм ([и]м), ом)] 0 (4) ы со при любом выборе [и]М я У и о гы У (/юдчеркнем, что отображение (]М в (4), вообще говоря, зависит от [и)/ гы У ); 2) длл каждого натирального числа М )! существует отображение !3 Х -«Х и длч любого и ~ У существует отобоажение Р,г У,— «У такие, что У (и) ж УМ при и ш У, РМ ([о]/,) си — У при (о[, гн У и 1нп [,?(им, Рм([о]м)) — /м(С)м(им), [о]м)](0 (5) при любом выборе и я У и [о] гн У, (подчеркнем, что отображе.
ние Р, в (5), вообще говоря, зависит от и ~ (/), Лак а ватель ство. Из определений величин ?~, / следует, что 365 1) существуют и е У, %=1, 2, ..., такие, что [пп (У вЂ” Х(и, о )) ~0 у со (б! при любом выборе о е У! 2) существуют [и[, „ем У, У=!, 2, ..., такие, что !пп (! — [, ([и]у, [о)! )) (О (7! при любом выборе [о), е Уу,. 3) для каждого фиксированного и .е У найдется точка о е У такая, что !ип (.1(иу, о, „) — ! ) ~0; (8) у оо 4) для каждого фиксированного [и[, е У, найдетсн точка [о!у е ру такая, что ![щ (7у ([и[ „[о[ ) — ! [9! СО В самом деле, из определения верхней грани следует существование таких иу е У и [и[!у е Уу, что !п! у (»у, о) — г„— !7у 1п[ !у ([и[а [»[у) гз »Е у ' [»!уЕ Уу св!у — 17У, У=!, 2, .„ Вспоминая определение нижней грани, отсюда при любом выборе о е У, [о[, е !'у имеем ! (» '*' оу) рв уе 17У' !у ([и[уз' [о!у) [уе !7У' или [ч — ! (иу„, оу) = [[У [л „, — [у ([и[а „[о!у) = ![У У =1, 2, " Отс1»да пои У -»со получим неравенства [8), (9).
Не обход и мост ь. Пусть задачи [1), (2) таковы, что выполнено равенство (3). Покажем, что тогда необходимо выполняются 366 Отсюда при М-ьсо получим неравенства [61 и [71. Далее, зафиксируем произвольные и е У и [и[ е У,. По определению величин [п1 l (и, о), !п1 [, ([и[, [о[ ) най- »Е у [»!уЕ Уу е [г, [о) е [г такие, что ! (и, о ) ~ !и[,! (и, о)+1[у < У +1!у »ЕУ [,([и[, [о[ )( [п! 7у([и[у, [о[у)+1!у [уз+1!у [»]уЕ Уу или г (и о ) ! ~!!у, ! ([и), [о)у ) — !уа ~!!у условия 1), 2).
Определим отображение Рм. Х, -ь Х так: Рм ([и]м)= прн всех [и]м а Х, И=1, 2™,, где иМ„см сг взяты из [6). Тогда из неравенства [6) следует, что 1!гп (у — у (Рм ([и] ), о ))( О, М со 110) [и]м е [тм, ом сн У. Зафиксируем произвольный элемент [и], ы сгм, возьмем соответствугопгие ему [о), „~ У, из (9) и определим отображение Ом: У-ь Г так: С), [о)=[о], при всех оиру, М=1, 2, ... Отсюда и из (9) имеем []щ (1, ([и], Ом(о )) — [мо)<0, [и1 я[)м омяУ.
(11) М со Из [3), (10), (11) тогда следует, что 1 (l ([1 а ( )) У(Р ([]) ))- ~ 1]ю ('ме — Уа)+ 1!ю ('м([и]м Ом(ом)) — 'ма)+ М со М со + 1; (У,— У(Р„([ ]м), м)) 0 при любом выборе [и[, е [7 и о, сы У. Необходимость условия 1) установлена. Далее, определим отображение О,:: Х -ьХ, так: ЯМ (и) = [и]ма при всех и ы Х, М = 1, 2, ..., где [и] взяты из (7).
Тогда из неравенства [7) следует, что 11щ (!М вЂ” !м(Ом(и), [о]м)) (О, и я [с', [о]М я Ум. (12) Зафиксируем произвольный элемент им ~ [7, возьмем соответствующий ему ом ~ У из (В) и определим отображение Рм. Ум-ьу так: Рм([о]ч)=ем„при всех [о], си 1', М=!, 2, ... Отсюда и из (8) имеем 1 — и (у(им, Рм([ ]м)) — у.)«0, им и, [о]м =УМ, [!3) М со Из [3), (12), [13) тогда следует, что ]ип ( ('Р ([] ))-[.(О (") [] ))- ( 1'пп (зо — [л „)+ !пп (з (ич, Р~ ([о]м)) — з ) ! М со М со + !!пс (!М вЂ” !М(сй (и ), [о] )) (О при любом выборе и, я бс, [о] ы У~ .
Необходимость условия 2) также установлена. !пп (У вЂ” 1ия) ~ 1пп (У вЂ”,1 (иио, Р, ([о]и „)))+ Ф со ст со + !нп (' ( ..* Р ([ ];.)) — ' (~ (и.о), ]"1 *))+ -!- ]пп (1, (Яи(и ), [о]и ) — 1,„) (О. Лс со Таким образом, имеем 0( 1пп (У вЂ” 1ло) =- !нп (1и — уо) ~ 1пп (1и — 1о) ~0, Лс оо Ф со Лс со или 1пп 1 „= !!сп 1,о=уо, т.
е. равенство [3). Теорема! доказана. ст со М со 2. Для иллюстрации теоремы 1 рассмотрим задачу: найти зпр !п! и (и, о)= 1о, ищи ос к (! 4) где У(и, о)=! х(Т, и, о) — р ]з при условиях х (1) = А (1) х Я+ В (1) и (1)+ С (1) о (1)-[-) [1), (16) 1о~)~Т' х(го) =хо и = и (1) я У = !Ги (1) а 1 з [1„Т]: и [1) см Р почти всюду на [1о Т]) (17) о=о(1) а У !о(1) снЦ [го, Т]: о(1) яЯ почти всюду на [1о 7]) (Рй) где А [1), В(1), С(1), )(1) — матрицы порядка лхл, лХг, лхс), лх! 368 Достаточность. Пусть выполнены условия 1), 2) теоремы. Покажем, что тогда имеет место равенство (3).
Возьмем точки [и]и сп У, из (7) и положим им — — Ри([и]ио), а затем из (8) возьмем точки о „~ ]т, соответствующие именно точкам и,=Рл([и]мо), с9= 1, 2, ... Тогда, полагая в [4) [и],=[и]ио, о =он и взяв в качестве отображения Я, то, которое соответствует точке [и]ио, с учетом неравенств (7), [8) получим 1!гп (1мо — У ) - 1!гп (1,„— 1, ([и],, От,(о,„)))+ Лс со Лс со + '!щ (1~(["]и ° Ъ(~и,)) — 7(Рм([ ]яо) ~ло))+ + ]пп (Х (Р,, ([и]ио), оч,) —.1„) ( О.
су со Далее, возьмем точки илосщс1 из (6) и положим [и]дс — — !з,у(имо), а затем кз (9) возьмем точки [о]д„сп т'ч, соответствующие именно точкам [и),= се, (и,„), йс=1, 2, ... Тогда, полагая в (5) илс — — илсо, [О]В=[О]и, И ВЗЯВ В КаЧЕСтВЕ ОтОбражЕНИя Рдс тО, КОтОрОЕ СООтВЕтствует точке иио, с учетом неравенств [6), (9) получим соответственно: моменты 1в, Т, точки хв, у Е" заданы; Р н 0— заданные множества иэ Е' и Еч соотоетственно: х(1, и, г) — решение задачи (16), соответствугощее управлениям и=и(1) ~ Ез [1г, Т], о=о(1) ~ (г [1в, Т]. Будем предьолагать, что матрицы А (1), В (1), С (1), [(1) кусочно непрерывны на отрезке [1е, Т]. Разобьем отРезок 1е~.г< Т на Лг частей точками 1„<1,<...
... <1,ь.—— Т и приняв зти точки в качестве узловых, уравнения (!6) заменим разностными уравнениями с помощью схем г Эйлера. В результате придем к следующей разностной аппроксимации задачи (14) — (18): найти (19) ьпр !п! 1м(]и)м, [о]л)=)м„, (и)ышггм (в)мы ум где 1л ([и]л, [о]м) =] хл,(]и]м, [о]м) — и[в (20) при условиях хты —— х;+Ыг(А!хе+В;и;+СШ;+[), г=О, 11 — 1, (2!) [и]мы(ум — — ([и]л,— — (иы ..., им,) еи )езмг и; еп Р, 1=О, 1е' — 1), (22) [г]мем (гм=)г[о] =(ов ... о г) ев Езгм' ог еи () г'=О, Л! — 1); (23) ЗДЕСЬ Ыг=-1ыг — 11, А;=А(1г+0), В;=В(1;-1-0), С,=С(гг.+0), [г= =)(!с+О) )х([и]м, [о]л)]л =(хы хг ([и)ль [о]л)' ' хл ([и)л" [о]л))— — решение задачи (21), соответствующее управлениям (и]м шум, [о]м ~ Етом, Л'=1, 2, ".
Опираясь на теорему 1, сформулируем условия, ори которых последовательность задач (19) — (23) аппраксимирует задачу (14) — (18) по функции. Тео рема 2, 1)усгль матроны А (1), В(1), С (1), 1(1) кусочно нглрерыгкы на отрезке [1г, Т), множества Р с Е', 1) еи Ее гьтуклы, вамккуты и ограничены, разбиения (1ь 1= 0, Л') отрезка [1в, Т] таковы, что шах Ыг<(Т вЂ” 1г) Мв1Лг о<!<Я вЂ” ! Тогда 1пп 1м — — г'в, Х ео Доказательство. Заметим, что ьнр гпр шах ~х(1 и о) С <со, (24) иыи вс у г,<г<г зпр зпр гпах [хг([и)л, [о] ) [<Се<со, (25) !в1ныиы (в!МШ уж О<г<Л' зцр знр х(1, и, с) — х(т, и, о)[<С, )1 — т, 1„<1, т<Т, (26) ишу вы у где Сы С,, С,— положительные константы.
Оценки (24) — (26) доказываются так же, как соответствующие оценки (!.8), (1,16), (1.!1). 13 Ф П Васильев 369 Положим Х=ьз ]Гв Т] Хм= Цм У=ьз [/е Т] Ум=Цзг. Определим отображения Ож! Х вЂ” «Х, !)ж. У-«У ., Рлк! Хм — «Х, Р: У,— У следующим образом: '1.!1 1 О, (н)=(и....", и„,): =б —, ~ (Г)81 /! У !. 01 !), (о)=(оа, оь ..., о ); о;= —, ~ о(/)й. 3 ! ° [и], =иь Р . [о],, =о! при 11<1 </!«г 1=0 М вЂ” 1, 1=0 Л вЂ” 1, 1Ф( л) ь( л) С помошью леммы 1.1 имееы Ож (и) ш !/м при всех и ш (/, Ом(о) ев !гж пРи всех о ш У, Рлг ([и]м) ш (/ при всех [и) ш (/ Рж([о)л,) гм У при всех [о] ш У М = 1, 2, ... 1=О, о' — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
