Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Зто значит, что Наконец, из й (6 ((), 6 (Он)) «ыа (дн), Он «( (и,н, следует, что 6 ((;н) ~ б 'а(~н) ((), или б~н+~н+с ен с: с б'н((), (;н«(«(»пн, 1=0, (н. Тогда х((, Рн([и]н)) ен ~бьн((), (,«(«~;нн. Кроме того, из (10) и (17) имеем х [( нн, Рн ([и]н)) ~ У'и+ и с: У'и. Включения (16) дока- 355 х ((, и) ~ б' (!), !О --= ( < 1(и), (18) х(1(и), и) ен Р, х(1, и) 4 Р при (»<1<((и). (19) Рассмотрим задачу ! (и) !п(, и ен Уе (Т). (20) Обозначим ( (е) = !и! ! (и) оптимальное время задачи иеет> быстродействия (1), (2), (18) — (20).
Лемма 3. Пусть выполнены всв условия теоремы 2. Тогда !!ш (е (е) =( . е -~- О Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку 6 (!) ~ 6' (!) ~ бт (!), Ус Рс Р прн всех 0<а<у, то ()(Т) ~Р(Т):— я()т(Т). Отсюда следует, что система (1), (2), (Т, 6'(!), У')-управляема при всех е)0 и !»(у)<1,(е)<ее при 0(е(у. Тогда существует !пп (е (е) = ТО~ !е. Покае О жем, что Т,=(е. Возьмем какую-либо последовательность (е»)- О, е») О, )О=1, 2, ...
Заметим, что из замкнутости множеств 6 (!), 1' следует замкнутость бе(!), У'. Отсюда и из теоремы 1 с учетом уже установленной (Т, бе(е), У')- управляемости системы (1), (2) вытекает, что в задаче (1), (2), (18) — (20) существует хотя бы одно оптимальное управление и„= и,е (!) Он ()е (Т).
Положим и» = и„е (!), (О<1< Т, )г=!, 2, ... Таким образом, и» ен (е'(Т), х((, и») ~ б'» (!), (О<(<(» =(е (е»), х((м и») ен У'», х((, и,) ~ У'», !О =-(((», я=1, 2, ... (21) Поскольку множество %'(Т), определяемое условиями (6), слабо компактно в Ц'1(„Т), то, выбирая при необходи- мости подпоследовательность из (и»), можем считать, что 356 яаны.
Отсюда следует, что Рн ((и)н) ен У'н (Т) и время ! (Рн (!и)н)) первой встречи траектории х (е, Рн ((и)н)) с множеством У'и не превышает !н(!и)н). Лемма 2 доказана. Наряду с задачей (1) — (5) рассмотрим расширенную задачу быстродействия. Для этого при каждом е)0 введем множество ()е(Т) всех управлений ие и(!), 1)1„ которые удовлетворяют условиям (2) и для которых существует момент ((и), (О<((и) =Т, такой, что сама последовательность [и») слабо в ~„'[г„ Т'! сходится к некоторому управлению о, ~ !Г (Т). Согласно (1.12) тогда зцр !х(С и») — х(С и„)/=)»»- О при л-»-оо.
ь<~<т Отсюда и из (21) следует, что х(С 0 ) еБ 6» ' "» (г), х((„о,) а=У'»" "», й=1, 2, ... (22) Кроме того, согласно оценке (1.11) lх(г, о») — х(Т», о»)(~С»(Т» — 1») =!)» 1»((=Т». поэтому х(С о») е= 6»» "» а»(1»), 1»(1(Т» (23) х(Тм о„) ен У'»+ "»+а», юг=1, 2, ... (24) Далее, учитывая, что множество 6 (г) непрерывно по Х а усдорф у и й (6 (1) * 6 (Т»)) ( ыо (Т» — 1) ( е»о (Т» — !») = у» при всех С (» 1(Т„имеем 6(Г») ен 6 "»(1) при 1, 1» (1=- Т,. Отсюда и из (23) получаем включение х((, о )ен6'»+ "»+а»+~»(() при 1» =.1-=Т,. С учетом первого из включений (22) тогда будем иметь, что х(1 о ), 6»»+е»+а,+т»(() при всех 1, (»(1 =То, 1=1, 2, " (25) Поскольку е»+р»+й»+у»-» О при л — ~со, а множества 6((), У замкнуты, то из (24), (25) при й-» со получим, что х(С о,) ен 6((), 1,==(==Т„х(Т„о„) ен У. Таким образом, о енУ(Т) и время первой встречи 1(о,) траектории х(1, о,) с множеством г" таково, что („(((о,) ( ( Т,.
Отсюда имеем неравенство 1,„~ Т,. Выше было установлено, что Т, ( 1,. Следовательно, („ = Т, = =!!ш („(е). Лемма 3 доказана. е 0 Таким образом, если принять У(и)=((и), иенУ= =(/(Т), (л([и)м)=1л([и7м), [и)» вне=(/л(Т), то из лемм 1 — 3 вытекает выполнение условий 1) — 3) теоремьг 2.4. Отсюда следует справедливость утверждения,теоремы 2. 4. Таким образом, показано, что при выполнении условий теоремы 2 для приближенного решения задачи 357 быстродействия (1) — (5) может быть использована последовательность разностных аппроксимирующих задач (7)— (11). В свою очередь, для решения разностной задачи (7) — (11) при каждом фиксированном гУ можно рассмотреть следующее семейство задач: минимизировать функцию 7го ([и]л, у) = ( хг ([и]л) — у,' (26) при условиях (7), (8) и х,.[[и] ) ен гг~", г= О, 7', у е=- У, (27) где 1 — фиксированный номер, последовательно пробегающий значения г =О, 1, ..., тл., здесь номер тм определяется условием 1,,л, ( Т ( 1 .„, го, момент Т взят из теоремы 2.
Для решения задачи (26), (27), (7), (8) при каждом фиксированном / могут быть использованы известные методы минимизации функций конечного числа переменных или дискретные аналоги методов из главы 1. Обозначим ргл, =1п1 7л ([и]го, у), где нижняя грань берется по всем ([и]л, у), удовлетворяющим условиям (7), - (8), (27). Может слУчитьсЯ, что Ргл ) О пРи всех 1', О~ -=)ь(гг, а Р„и=Π— это значит, что (м„=1ол. Если же Рул) О пРи всех /=О, пгго, то Ясно, что 1л,„)Т)1 гол. Отсюда следует, что, взяв номер У достаточно большим, согласно теореме 2 в принципе можно получить достаточно точное значение оптимального времени задачи (1)— (5). Однако нужно заметить, что такой подход к решенизо задачи быстродействия на практике может оказаться не очень удобным, поскольку с ростом У растет число задач вида (26), (27), (7), (8) и, следовательно, вообще говоря, растет и объем вычислений.
Поэтому желательно иметь другие более удобные методы решения задачи (1) — (5), не требующие перебора всех задач вида (26), (27), (7), (8). 5. Остановимся на одном из таких методов. Для простоты ограничимся рассмотрением задачи быстродействия (1) — (5) при дополнительных предположениях, когда фазовые ограничения отсутствуют, множество У состоит из одной точки, а множество )г(г) не зависит от времени, т. е. 6(()=Е", Ъ'(1)=1' при (о(Г~Т, У=[у). (28) Как и выше„будем предполагать, что матрицы А (г), В(1), 7(1) кусочно непрерывны на любом конечном отрезке 358 [(,, а), множество У выпукло, замкнуто и ограни- чено. Возьмем некоторое достаточно большое число Т)(„ зафиксируем 1, 1,< Г ~ Т, и рассмотрим задачу У (и, () = ( х (1, и) — у !'-»- (п1, х (т) = А (т) х (т) + В (т) и (т) + [(т), (о~т~( х((а) =ха, (30) и = и (т) ен Ж' = ЪГ ( Т) = [ и (т) е= й~ [(и Т): и (т) е= Ъ' почти всюду на [1„ТД. (31) (29) Заметим, что значения управлений и(т) при (~т(Т на задачу (29) — (31) не влияют.
Но тем не менее мы здесь рассматриваем множество (31), так как в дальнейшем нам будет удобно считать, что управления доопределены на всем отрезке [(„Т'1. Обозначим р(()= 1п1 у(и, 1), 1,<( =Т; (32) ием при 1= 1, положим р (1,) = ~ х, — у,". Будем считать, что р(1,))0, так как при р(1,) =О= ~х,— у!' задача (1) — (5), (28) становится тривиальной: 1„= 1,.
Так как множество К слабо компактно в Л,'[1,, Т'1 и функция У(и, 1) слабо непрерывна на )Р', то в (32) нижняя грань достигается, т. е. существует управление и = = и,е=(Р' такое, что р(1)=У(а„()=,'х(1, и,) — у)'. Отсюда ясно, что для того, чтобы момент („был оптимальным временем задачи (1) — (5), (28), необходимо и достаточно, чтобы р(1) О, р(1)>0 при 1, =.1<г„, Р(1)=~х(1, и,) — У1', Р(т)=1х(т, и,) — У~', иь и,.ен)1'. 359 т. е.
1,— минимальный корень уравнения р(1)=0. Это значит, что для поиска 1, могут быть использованы известные методы решения уравнений. В частности, здесь может быть использован метод, описанный в п. 4 ~ 16 гл. 5 книги [4). Этот метод был описан в предположении, что функция р(1) удовлетворяет условию Липшица. Покажем, что в рассматриваемой задаче зто условие выполняется. Пусть Тогда из определения (32) функции р(1) с учетом оценок (1.8), (1.11) имеем р(г) — р(т)((х((, и,) — у~' — (х(т, и,) — у('» =.2(Со+!у()!х((, и,) — х(т, ит)(-=2(Со+!у!)С~,'1 — т(, р(г) — р(т) ) ~х(г, ид — у/' — (х(т, и,) — у/') ) — 2(С,+ /у/) /х(1, и) — х(т, и)() ) — 2 (Со -(- / у () С~ (1 — т (.
Следовательно, )р(1) — р(т)( й~г — т( (э~1, т=аТ, Е.=2(С,+/у/)С,. (ЗЗ) Для поиска минимального корня 1 уравнения р(г) =0 на отрезке ((„Т1 может быть использован итерационный процесс (~~,=(~+р(1~)(Т., Й=О, 1, ... (34) По условию р(Г,))0. Сделаем индуктивное предположение: пусть р(())0 при (,(1((м Тогда при всех 1, 4а(Г<(эем имеем Р (() ~ Р ((а) — 1. (1 — (а) ) Р (1~) — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
