Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Нетрудно видеть, что сьс,(с() не убывает при возрастании А Если выполнены условия леммы 2, то сье(д)-« - О=сьс.(0) при с(-«0. Заметим, что для множеств В (С) из примера 4 модуль непрерывности равен сьв (й) = Зд. Для множеств )с (1) из примера 3 для модуля непрерывности )с (С) справедлива оценка сос,(д) <)l г тах (ьс„(й); сев (с()), где ьс„(с(), ьса (с()— модули непрерывности функций сс(1), й (с), 1,<1 =Т. В частности, если а(1), () (С) удовлетворяют условию Гельдера ~сс(1) — а(т) ~ =с ~с — т,ь ~~Я(с) — н(т) ~ =с с( — ты 0<се -1, то сев(с() <)с'гИ".
Лемма 3. Пусть )с (с), (в< С( Т, — семейство множеств из Е', причем в каждой точке с~[се, Т) множество )с(1) выпукло, замкнуто, ограничено и непрерывно по 344 Хаусдорфу. Если функция и(1)=(и'(1), ..., и'(1)), (1(Т, непрерывна в точке 1, то функция о(1)=Ргии(1), (е(1(Т, (10) где Ргиг — проекция точки ге= Е' на множество г'(1), также непрерывна в точке Е Если функция и(1) кусочно непрерывна на отрезке [еы Т), то функция (10) тоже кусочно непрерывна на этом отрезке, Доказательство. Пусть 1ен[1ы Т'1 — какая-либо точка непрерывности функции и(1).
С учетом (10) имеем ! о ( с) — о (1) ( = ! Р г „, и (т) — о (1) / ( ( / Р 1ч „и (т) — Р копи (1) (+ ~ Р копи (1) — о (() 1, т~[1ы Т[. (11) Операция проектирования обладает сжимающим свой- ством (см. теорему 1.4.2): ~ Рг~„и (т) — Риони(1) ( ( ~ и (т) — и (1) (. Отсюда и из непрерывности и(1) в точке г следует, что первое слагаемое в правой части неравенства (11) стре- мится к нулю при т- Е Покажем, что и второе слагае- мое стремится к нулю при т-«Е По лемме 1 семейство множеств У (т) ограничено рав- номерно по т ~ [еы Т).
Следовательно, множество точек [Рггои(1)) ен *г'(т), 11,(т(Т, ограничено и имеет хотя бы одну предельную точку н при т — «Е Это значит, что существует последовательность (т„) -« 1 такая, что ыл = = РП()и(Г)- ы при я- оо. Покажем, что м=Р„и,ия= =о(1). Сначала убедимся в том, что о~У(1). В силу непрерывности семейства множеств г' (1) по Хаусдорфу для любого е) 0 найдется номер й, такой, что й(У (т,), ~l(1)) =е при всех й~йы Согласно (8) тогда )г(т,)с: с: ($' (7))' при всех й ~ йы Т)патом у ыл е= (1' (1))', А ~ Аы Так как г' (1) замкнуто, то (У (1))' также замкнуто. Отсюда и из того, что (аз,)- ы, следует, что ы~()с(1))'. В силу произвольности е) 0 и замкнутости г' (1) последнее вклю- чение возможно лишь в случае м ен У (1). Далее, имеем (соя — и (1) ~ = (Рг(,„)и(1) — и (1)1= 1п1 /и — и(1)~'(~Р, о(1) и(1)1» цыг0 ) » ) о (1) — и (() ! + / Р (,„)о (1) — о (1) (, Поскольку ) Рг (,„)о (1) — о (1) | = )п1 ! и — о (1) ! = иегб ) =о(о(1), Ъ'(ть))-- зцр р(о, 1/ (т„)) ( с юг щ =.
й (Ъ' (1), (Е (ть)) -э 0 при й-асс, то, переходя к пределу при Ее- сю, из пре- дыдущего неравенства получим ~ гв — и (1) ! -= ~ о (1) — и (1) ~. С другой стороны, по определению проекции точки и условию (10) с учетом ы ев (Е (1) имеем / о (1) — и (1) ! = )п1 ! и — и (1) ! ( / оэ — и (1) /.
иагео Следовательно, ! гь — и (1) / =' ,о (1) — и (Е) ! = ! Р д сои (1) — и (1) !. Однако проекция точки и(Е) на выпуклое замкнутое мно- жество Ъ'(1) определяется однозначно (см. теорему 1.4.2), т. е. в=о(1) =Р, „,и(1). Тем самым показано, что любая точка в, являющаяся предельной для семейства точек (Рггои (1)) при т- 1, совпадает с о(1).
Это значит, что указанное семейство сходится к о(1), т. е. (Р~сои(1) — о(1) ~- 0 при т-+1. Таким образом, второе слагаемое в правой части нера- венства (11) также стремится к нулю при т-~1. Следо- вательно, если и(1) непрерывна в точке 1, то и функция о(1) из (10) также непрерывна в этой точке. В частности, если и(1) непрерывна на отрезке [Е„ТЕ, то о(1) также непрерывна на этом отрезке.
Наконец, из приведенного доказательства видно, что если существует предел Ищ и(т)=и(1 ~-0), то сущее.ко ствует !цп о (т) = Реп~и (1 +- 0). Это значит, что если ~-с. о и(1) кусочно непрерывна на отрезке [Е„Т), то о(1) также кусочно непрерывна иа этом отрезке. Лемма 3 доказана. 4. Вернемся к задачам (1) — (3) и (4) — (6). Через,Е обозначим нижнюю грань функции (1) при условиях (2), (3), через Ен, — нижнюю грань функции (4) при усло- виях (5), (6). Теорема 1. Пусть матрицы А(рп В(1), Е'(1) кусочно непрерывны на отрезке [Е„Т), множества У(1) выпуклы, замкнуты, ограничены и непрерывны по Хаусдорфу при всех 1е= [Е„Т!. Пусть разбиения (1ь е =О, ЕУ) отрезка 346 ((ь, Т) таковы, что с(н= снах ЛЦ((Т вЂ” 1,)Мь/б7, У=1, 2, ... О<4<к — 1 Тогда 1пп 1н =14 и справедлива оценка — Свбн==)н„— 7,(Сьбл Ж=! 2.
(12) где С, = 2С„+ 2С4 -1- 2 ~ у ~ = С„постоянные С„С, взяты из (1.8), (1.16) при Ж'=У, (!7н =Ум соответственно, а величина бн определяется формулой Н вЂ” ! 044 бн=е" 4"(~ Ц)~4 Э, ~ (! А(т) — А,)Сь+ (=0 4 +АпьахС44(н+~)(т) ~; ~+ зпр зцр ',и))В (т) — В; ~+ и<~<7 ь~г<о + Вьь„ь4 (дн)) йт; (13) здесь ы (й) — хаусдорфов модуль непрерывности мнозсеств К (1), 14(1 -'Т, или какая-либо оценка сверху этого модуля, А,„= ьцр (А(()', В „= зпр !В(!)'„посптоянная С, взята из оценки (1.11) при Ю'=У. Доказательство. Положим Х=Ь.',144, Т), Хн = =1,'н. Отображения ьен: Х-+.Хн, Рн.
.Хн-ьХ опреде- лим так: 4гн(и)=(и„и„..., ин,): и;=Ре,(о;), ~В4 о;= — ~ и(1)с(7, (14) ! Р„(1и)н)=Рж„и; пРи б(1 -..04„1=0, !У вЂ” 1, (15) где Ри(г) — проекция точки ген Е' на множество (7. Как видим, в рассматриваемом случае отображения 1~ь Рн имеют несколько более сложный вид, чем в предыдущих параграфах, в которых задача вида (1) — (3) исследовалась при (7 (1) = 1', 1, =!(Т. Кстати говоря, при )7(1)==(7, 74(1(Т, формулы (14), (15) превращаются в формулы (1.20) и (1.21) соответственно. Так как множества )7(1) выпуклы и замкнуты при каждом 74:— 1(ь, Т), то отображения Яр,, Рн из (14), (15) определяются однозначно.
Функция о (1) = Рн ([и)н) = 347 =Рж„и х(1), полученная проектированием кусочно постоян- ной функции ил (1) = и;, 8~1(б, 1=О, У вЂ” 1, согласно лемме 3, кусочно непрерывна на [1„Т] и, следовательно, Ри([и]о) 1'.[1о, Т] при всех [и]л ~![и Отсюда и из (14), (15) вытекает, что (ао (и) ен Ии, Ри ([и]и) оп У при всех и~0, [и]аеУл, У=1, 2, Заметим также, что согласно лемме 1 зпр ьнр ~и)-=Я(со, и<а<г ая~ Ю откуда следует, что множество (3) ограничено в метрике Е' [У„Т], и мы можем пользоваться оценкой (!.11) при %'=У, а также оценками (1.8), (1.16) при %'=У, (ол =-(7и Покажем, что справедливы оценки знр тах ~х(1ь и) — х;й)и(и)) ~(бл, оеио«о<и ' иенУ, )'о'=1, 2, ..., (!б) анр п1ах ~х(1а, Рог([и]л)) — хо([и]ч) !(бл, [о]и~ила<о<и ' [и]и ен Уи, У = 1, 2, ..., (!7) где величина би определяется формулой (13).
Рассуждая так же, как при получении неравенства (1.27), с помощью оценок (1.8) и (1.11) имеем !х (1, и) х ([и] ) ! „,залах~ ал ~а~4 и — 1( ыа Рл х '~~ ~ ~ (1 А (т) — А;)Со+ АоаааСао(и+ о=о с,. 'иа +[В(т) — В; [Р+ ~[(т) — [; (дую+В,„~ (и(т) — и;) о(т и вне, [и]л яУлч 1=0, Л', У=1, 2, ... (18) Зафиксируем какое-либо управление и и в (18) примем [и]л =Яи(и).
Поскольку по условию й((г(т), (/;) =. ~оэ(~т — б~)(оо(о(х) при 1а~т(1;„, то согласно (8) Ъ'(т) с: У;"( "1 при всех т~[1ь 1а,а], 1=0, У вЂ” 1. Тогда из включения и (т) с: Ъ' (т) следует, что и (т) еп Ъ',". ( ") 348 почти всюду на [!ь !в,в!. Отсюда, замечая, что множество $'".( л) выпукло, замкнуто и не зависит от т, с помощью '!в! леммы!.1 получаем о,= —,~ и(т)в(тон)!, ( "), (=О, У вЂ” 1.
Следовательно, (Рю (и!) — о; ) = р (ии У!) =- и ()г',.'(ви), )Л!) = ==во(в(и), 1=0, Л! — 1. Отсюда и из (14) имеем !. 3+! (и (т) — и;) в(т = Л!! ~ о! — ив~ =. !л(;во(г(л!), ! = О, У вЂ” 1. Тогда из (18) при (и)и = Яи (и), и ен (I, получим оценку (16). Далее, возьлвем какое-либо [и)л ~(/и и в (18) примем и = Ри ([и)и). Из того, что й (1~ (т), 1'!) ( во (~ т — !! !) ( <го(в(л) при Ув(т( 1;„, согласно (8) следует, что )'!с ~(Ъ'(т))"( л!) при всех те-:[(с, !в+!). Поскольку [и)м= = (и„и„..., ил !) ен Ут означает, что и; я 1!в, то и; ен()г(т)) (вл) при всех т я[!в, (!,!), ! =О, У вЂ” 1.
Следовательно, ~ Рггои! — ив! =р (ио $'(т)) -=.й((~/(т))"'(~л), )/ ) о-. '! !-! =-.о!(г(л,); отсюда и из (15) имеем ~ (Рл ([и)и) — и!)в(т(( Е. ==Лгвво(в!л), !'=О, йà — 1. Тогда из (18) при и=Рл ([и[в!), [и)л ~Уи следует оценка (17). Далее, рассуждая так же, как в леммах 1.3 и 1.4, из оценок (16), (17) получаем, что ~7лг(9и(и)) — 7(и)~(Соби=[)л„иенК Лг=1, 2, ..., [У(Р ([и!и)) — 7 (М )!- <! вбл!=уи [и!л'~Ь Л'=1 2 Таким образом, выполнены все условия теоремы 2.1, из которой следует оценка (12).
Остается заметить, что величина Ьи из оценки (12), определяемая формулой (13), стремится к нулю при Ж- со; это доказывается так же, как аналогичное утверждение в лемме 1.2. Теорема 1 доказана. 349 Предлагаем читателям самостоятельно рассмотреть за- дачи (1) — (3) и (4) — (6) прн наличии фазовых ограничений х((, и) яб(!), (ч —.(<Т, х;([и)н) енб((;), 1=0, 'т', где б(() — замкнутые множества, непрерывные по Хаус- дорфу на отрезке [гы Т), и доказать аналоги теорем изЯ3,4. ф 6. Аппроксимация задачи быстродействия 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
