Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 59
Текст из файла (страница 59)
7(о„) = »»' о» =,7„, или ою ен Ую. Далее, из т-секвенциальной полуна- прерывности снизу функции й(и) и неравенства (14) вы- текает, что й„«й(ою) «!пп Й(ол ) «1!ш Й(ои )«Й„, ю»» ю»» т. е. !!т й[оию)=й =й(о,), или ою ~У„. Тем самым показано, что любая точка о„, являющаяся т-пределом какой-либо подпоследовательности (олю), принадлежит множеству Ую ю и [й (олю)) — й„. Отсюда, рассуждая так же, как при доказательстве леммы 2.8.3, получаем, что последовательность (ол) т-сходится к множеству У„„ и (й(ол))-» й, при 7ю'- сю. Теорема доказана. 2.
Для иллюстрации теоремы 1 рассмотрим задачу .1(и) = !х(Т, и) — у!ю- |п1, (15) х(!) = А (!) х(!)+В(!) и (1)+7(1), (ю«!«Т, х((ю) =хю, (18) и = и (!) я У (и (1) ен Ц [1„Т): и (!) я 1~ почти всюду на [1ю, Т1; х(1, и) б, !ю«(=Т); (17) все обозначения здесь взяты из Я 1, 3. Так же, как в 3 3, для аппроксимации этой задачи рассмотрим последовательность разностных задач 7»» ([и)л) = ~ хи ([и)и) — у,ю -» !п1, (18) х,+,— — х~+Ж~(А,х,+В~и,+1,), (=О, й»' — 1, (19) [и1лю=-Ул=-[[и)ц (и„и„..., ил ю): ию 1', 1=О, М вЂ” 1; х,([и)л) енОе", 1=О, Ж), У=1, 2, ...
(20) (обозначения см. в Я 1, 3). Если в задаче (15) — (17) фазовых ограничений нет, т. е. 6 в = Е", то в (20) нет необходимости рассматривать расширения 6~и и можно принять $л=О, с»юл=Е", Ж=!, 2, ... Положим Х =Ею [1„Т'1, Хх»=1,юи, !У= 1, 2, т в качестве стабилизатора возьмем й (и) = ~,'и (1) !'ю(! = 1» = [ и !!1, и определим отображения Ял. Х -» Хл, Ри: 328 Хн- Х формулами Ял (и)=(иь ип ", ил-,): и;— 'Р = — ~ и(1)Ж, 1=0, М вЂ” 1, Рн([и]л)=иь Т,(1«1р„, 1=0, Н вЂ” 1.
Из соотношений (1.22), (1.23) следует, что йн (Ян (и)) «11 (и), Й (Рн ([и]н)) = [[и]н ]1., = Йн([и]н) (21) прн всех и вн Е;[1„ Т], [и]н я Ьчн. Заметим также, что ниже мы будем пользоваться соот- ношениями (1.8) — (1.28), считая, что встречающиеся в них константы С„См ... соответствуют множествам $' = [и (1) я Е', [1„Т]: и (1) ен У (22) почти всюду на [1„ТИ, %'н = ([и]н ен Ь;н' и~ ен У, 1 = О, У вЂ” 1), )У = 1, 2,...
Теорема 2. Пусть матрицы А(1), В(1), 1(1) кусочно непрерывны на отрезке [1„Т] У вЂ” выпуклое замкнутое ограниченное множество из Е', 6 — выпуклое замкнутое мно- жество из Е", 1п16 Ф Я; существуют число г, ) 0 и управ- ление и = й (1) е= 6 такие, что х (1, й) е 6 ", 1, «1 «Т. Пусть разбиение [(ь 1=0, М) отрезка [1„Т] удовлет- воряет условию с(н = шах Ж~ «(Т вЂ” 1,) М„~У, У=1, 2, Мь = сопл( ) О, о«<н — 1 Наконец, пусть последовательность [[о]н) определена условиями [о]л. е—= .
Ун, Тн([о]н) «Тн,+рн, У= 1, 2, ..., (24) 329 и, кроме того, бл «$н «Мьбл, М1 = сопз1 ) 1, У = 1, 2, ..., где величина бн взята из (1.26), а последовательности [ан), [рл) таковы, что (23) и са л' где Тн Ин) = 7н ([а]н) + и ч ~~ МН а~ ~', г=ь Тн, = (п1 Тн ([и1н). Тогда последовательность (Рн ([о1н)) сходится к йнормальному решению и = и„(1) задача (15) — (17) по норме (.,'[1ь, Т~.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что множество (17) непусто, выпукло, замкнуто и ограничено, а функция (15) выпукла и непрерывна в метрике 7.,'[1ь, Т)(она даже слабо непрерывна в Е,'[1„Т)). В силу теоремы 1.3.6 тогда множество ()„непусто, выпукло, замкнуто и ограничено. Тогда сильно выпуклая функция 11(и) = =)и)[, на множестве (l„согласно теореме 1.3.8 достигает своей нижней грани )п1 11 (и) = Й„в единственной и„ точке и„=и, (1) ен У„. Таким образом, 11-нормальное решение задачи (15) — (17) существует и единственно. Определим множество (I и = (и (1) ен К х(г, и) ен Сн, 1ь«1«Т), где ен=$н+бн+С с(н (если 6 в = Е", то ем=О), У= -1, 2, ...
Заметим, что поскольку множество К из (22) ограничено в метрике Ь' [(„Т), то можем пользоваться оценкой (1.11). Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 3.2, можно показать, что в рассматриваемом случае для введенных множеств У'н, отображений (Ц, Р„ справедливы включения (4), (7) н неравенства (5), (8), (10) пРи Рн=Сьбн, ун=Свбл тн=2ЯСзео'((М~+1) Х х бн+С,е(н), У=1, 2, ... Тогда из условия (23) вытекает условие (12). Из (21) следуют неравенства (6), (9) при $ь =т1н=О, У=1, 2, ... Далее, функция /(и) слабо непрерывна, 11(и) неотрицательна и слабо полунепрерывна снизу на 7,'[1,, Т), множество 1)с=(и ен 7.,'[1„Т): 11 (и) «С) слабо компактно при любом С.= О.
Наконец, всякая точка о=о(1) я 7.;[1,, Т~, являющаяся слабым пределом какой-либо последовательности [ин), ин ен У'н, йГ= 1, 2, ..., принадлежит множеству 13. 330 В самом деле, условие ич ~ У*и означает, что ии~(Р', х(1, ии)епб'и, 1,==.1«Т, Л'=1, 2, ...
Из слабой замкнутости множества Ж' следует, что и ~ К. Далее, согласно (1. 12), зпр )х(1, ии) — х(1, о)) =;(л — О и<~<т при М-+со, поэтому х(1, о) епС'лехи, 1,«1«Т, У=1, 2, ... Поскольку ел,+~л,-+О, множество 6 замкнуто, а «(1, о) не зависит от Ж, то последнее включение возможно только при х (1, и) я 6, 1„=.1«Т. Следовательно, о ~ (l. Таким образом, в рассматриваемом случае все условия теоремы 1 выполнены, если в качестве топологии т в ней взять слабую топологию пространства Е,'[1„Т[. Из теоремы 1 тогда следует, что последовательность ~,Рл.
([и)„)) сходится к и„слабо в С„""1„Т[ и, кроме того, ; Ри ([и[и ) 1ь, = лз(Ри ([о)л )) -+-', и, )ь, =- О (и.) при Ж- со. Но ))' Ри ([о!и) — и )Х, = 2 () Рл ([й)л) [Х, + ! и „)!ь,)— — [Ри([о]и)+и,1,'„У=!, 2, г Отсюда, пользуясь слабой полунепрерывностью снизу нормы в ).,'[1,, Т), получаем, что последовательность [Ри([о)и)) сходится к и, по норме У.,'[1„Т), Теорема 2 доказана. 3. Прокомментируем условие (23). Оно означает, что шаг с!ч= шах Л1; разбиений отрезка [1,, Тз, а также о<с<« — ~ точность решения задачи минимизации функции Тихонова Тл ([и!л) на множестве Ух в смысле неравенства (24) должны быть согласованы с параметром регуляризации ал.
В частном случае, когда матрицы А (1), В(1), 1(1) на интервалах непрерывности удовлетворяют условию Липшица (например, когда эти матрицы не зависят от 1), пользуясь оценкой (1.11) из (!.26), имеем бл«Си1л, С,=сонэ() О. Тогда условие (23) запишется в виде !пп ~ ~ =-О. М со ~Ф (25) 33! У [и(1)ен1,,'[1„Т]: (и[т,(Й, х(1, и) я= 6, т„<1вТ), Ул-[[и]м~Ь;л.
'!![и]л [с, ~)7 ху ([и]ч) е= 6"л, ю' = О, Лl), Ж = 1, 2, (26) Однако для множеств (26) условие (23) нужно заменить на ал + ил+ "л !1ш =О. Л со ~Ф (27) Подчеркнем, что если при регуляризации разностных аппроксимаций задач оптимального управления параметр регуляризации ал и шаг йл разбиений отрезка [1„ Т] стремятся к нулю несогласованно, то получающаяся при этом последовательность [Рл([о]л)) может не сходиться к множеству Й-нормальных решений в нужной метрике. Зто видно из следующих примеров, приналежащих А. 3. Ишмухаметову и М.
М. Потапову. П р и м е р 1. Рассмотрим задачу 1 /(и) =х(1, и) — ~(х(1, и)+!и(1)) Ж вЂ” «1п(, о х(1)с и(!), 0((=-1, х(0)=0, и = и (!) ен У = [и (!) ен Т.~ [О, 1], / и (!) / ( 1 почти всюду на [О, 1][, где р — фиксированное число, 1(р<со. с ! 1 Поскольку ~ (и (!) й = ~ (х (!) й = х (1) — ~ х (1) Ж, то о о о ,7 (и) = О при всех и ен У.
Следовательно, 7„= О, У, = У. 1 Возьмем стабилизатор !1(и)=~,и((),'яй. Тогда У „= о = [о ен ()„: !! (о) = !п! !1 (и)) = (0), т. е. !1-нормальное и. решение единственно и равно и„=О. 332 Заметим, что теорема 2 остается верной и в случае, когда в задачах (15) — (17) и (18) — (20) множества У и Ум отличны от множеств (17), (20) и имеют, например, вид Таким образом, если Л(=г(и=1!У- О, аи- О, но Л1 — ) 1, то Рлг([о)л)= — 1 при всех Г, 0«Г«1, М = оал, = 1, 2, ..., и последовательность [Ри([о1л)) не может сходиться к нормальному решению и„=О в метрике 1,„[0, 1) ни при каких р, 1 <р <со.
Остается рассмотд! реть случай, когда Д(=дл — О, ам- О, — «!. Тогда лам /дг з — ьп — м Рл([оЬ)= ~ а ) при всех (, 0«(«1, и 1 [' г дг 1 — оп1 — ю Ри ([о)и) — 0 [[ — — [ ~ — ) й= ~ ~пал ) =-( — „), 0=1, 2,. Отсюда ясно, что для сходимости последовательности (Рл ([о~л,)) к и, =0 в метРике Ьр[0, 11, 1<Р<оо, необ"л ходимо и достаточно, чтобы — = †, — 0 при У вЂ” со.
ам Л'а, П р и м е р 2. Рассмотрим задачу .( (и) =4х(1, и) — 3и(() о(1-+!п1, о х(()=и((), 0«(«1, х(0)=0, 1 и = и (1) ~ () = [ и (1) е= (.о [ О, 1 ]: ! и ~~~ —— $ ! и (() !о ~(1 « 1, о и(() )О почти всюду на [О, 1)), 1<р <сю. ! Поскольку х (г, и) = ~ и (т) о(т, то о 1 1 1 .( (и) = 4 ~ и (() г(( — 3 ~ и (1) Ш = ) и (() й( ~ 0 о о о при иенУ. Отсюда ясно, что /„=О, ()„=[0). В качестве стабилизатора возьмем й (и) = ' и ,'о . о 334 Ь вЂ” 1 (и([и]лс)=4( 3 ~ 3 5 Л!и! )п(, !=а хсс.с=хс+Л(иь =О, ЛС, х,=О, л — ! [и!и~()л =Ни)и ~ Лс!ию!"==.1, сс!«О, с=О,Лс 1), !=О Л ! = 1/сУ, Лс = 1, 2, ... !сведем разностную функцию Тихонова ч — ! !' — ! Ти([и)и) =.2(хсг+хи !) — З,У, 'Л)и +ал ~', Лс'!ис'!' ° .'= а =о ! Так как хс„= ~ч~ Л)иь 1=0, Лс — 1, то Ти ([и)и) = л — с Л!(и;+ах( и; ,'сс)+Л1( — илс с+асг, ,'ил с!г)« =О «Л(( — ии с+алс ~сси-~ !'), [и)сс ен Улс Отсюда, исследуя поведение функции ср(и) = — и+ ал, ! и т при и !!я Л ! ( 1, и «О, или при 0 ~ и ( (Л !) — сся, нетрудно получить, что Тл*= !п( Ти([и)сг)= ии ! 1 д (ра, )!с!с! — с! — (д!)пс+а при Л1~(рал)с, ~=р(р- 1)-.
пРи Л1) (Рад,)е, причем нижняя грань Ти,, достигается в точке (О, О, ..., О, (Л!) ссл) пРи Л(- (Расс)с, Ил = (О, О, ..., О, (расс) — !с!!с — '!) при Л1~(ралс)е. Таким образом, если Л(=1/ЛС, алс — со, Лс-с.оо, но Л( > (РаиУс, то Ри([о)л) =0 пРи О=!(1 — Л(, Рлс([о)и)ы =(Л!) — 'се при 1 — Л1(1~1 и !Ри([о)лс)1~~ =1, Лс= 335 Рассмотрим следующую разностпую аппроксимацию этой задачи: = 1, 2, ..., так что [Рл([п]л)] не будет сходиться к ив =0 в метрике 1. [О, Ц ни при каких р, 1 р(оо. Остается рассмотреть случай А Г =.
(Рар)е. Тогда Рл([о]л) =0 пРи 0(1(1 — А(, Рм([и],ч) =(Рад)пп м а~ ~.ч пРи 1 — АГ -Г~! и [Рм([и]л)[л = ьр (рсс )е (ра )я У=1, 2, ... Следовательно, для сходимости [Р„([о]л)] к и,=О в метрике 7.р[0, Ц, 1<р(со, необходимо и Дм ! достаточно, чтобы †, = , -~ 0 при У вЂ” оо. ич Фи~~ Любопытно, что в примере 2 условие сходимости [Рч([о]л)] в метрике Ар[0, Ц зависит от р, а в при- 1 мере 1 такое условие — — 0 не зависит от и, но зато Уа (7 ~ 7.
[О, Ц при всех р, ! (р=-+со. Приведенные примеры показывают, что при регуляризации разностных аппроксимаций задач оптимального управления условия типа (28), (25) или (27) являются существенными. 4. При построении разностной задачи (! 8) — (20), аппроксимирующей задачу (15) — (17), были использованы расширения множества 6, согласованные с шагом Нл разбиения [Г;). Следуя Е. Р. Авакову, покажем, что при выполнении условий теоремы 2 регуляризованную аппроксимирующую задачу можно построить и без расширений множества О. А именно, в качестве множества Ух вместо (20) введем множество (/л=([и]м=(им иь" ил-Д: и~енЪ', 1=0, й! — 1, х;([и]л) енб, Е=О, У] (28) и возьмем число У, столь большим, чтобы бл ( е„при всех У ) Ж„ (29) где величина бл взята из (1.26), а е,— из условий теоремы 2. Прежде всего покажем, что тогда множество (28) непусто при всех А!.:=.
Ж,. Будем пользоваться теми же отображениями Ял, Рл, а также множествами (22), которые были введены в п. 2. Возьмем 11-нормальное решение и задачи (15) — (!7) и положим шч = ~ли+ (1 — ~л) и,„, ~л = бл)ео, Ф ~ й!о. 336 В силу (29) 0<~я--1. Отсюда и из выпуклости множества У следует, что юх он%'. Так как х(/, и) ен 6 х(/, ио) он 6, /о«/«Т, то, рассуждая так же, как при доказательстве включения (3.16), получим, что х (/, нов) ен ~6 ~х"е, /о«/«Т. Отсюда и из оценки (1.24) следует, что х,(Я,ч(цм)) ен6 ~х'о~~э=6, !=О, /1/. Это значит что 6л (и»ч) ~ (/л М Ю, б/ » Л/о. (30) Далее, 1 юч — ио ! = ьх )й — ио !!«2/вью = 2/вбл/е„где /в=-зцр!и)< оо. Поэтому а ~() Мл) — ь)(ио)/=/()сэх!' — [ио )а!«4Яаб,д/ео (31) и, кроме того, из оценки (1.14) имеем ~ / (а и) — / (ив) ! «2КСабх/ео, /(/ » Уо (32) Наконец, согласно оценке (1.29) /х (Ял (сел)) — /(ил) «Свбх =[)х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
