Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Пусть, кроме того, разбиения отрезка (1о, Т'! удовлетворяют услови>о с(н=- шах !х1;((Т вЂ” 1о)Мо(1ч', М„=сонэ!)О, >11=1,2,..., о~'~н-~ и !1гп Зн=О, $н)6н, У=1, 2, ..., где величина бн и оэ определена формулой (1.26). Тогда множеслмо (19) непусто при всех У=1, 2, ... и 1!ш 1н, =,1, где У вЂ” нижняя и со грань функции (1) при условиях (2), (3), 1но — ниясняя грань функции (4) при условиях (5), (19). Если, кроме того, множество 6 выпукло, имеет непуспгую внутренность и вь>полнено условие (9), а также $н ( М,бн, М> = сопя! ) 1, )У = 1, 2, ..., то справедлива оценка 2КСо ', — Соби ~ 1>> 1 6 +С Лцо оо+ 2ан,+ 1',Ен" — Соб, Ч=1, 2, ..., (2О) 322 где постоянные С„Се, См Се взята из (1.10), (1.14), (1.29), (1.30) соответственно, лир[и)<)с.
Доказательство. Положим Х=йз[1„Т), Хл = =Ын, 1=1, 2, ..., (1'" =[и(1) ен (Р': х(1, и) е-=бен[, где ел =5н+бн+С,г(й" (кстати, здесь можно было бы воспользоваться оценкой (1.11) и всюду ниж. принять ен = Ь+ бн+С,г(„). Определим отображения (ен, Рн формулами (10). Проверим выполнение условий тео- ремы 2.4.
Возьмем произвольное управление и ~ (1. Согласно оценке (1.24) гпах,'х('ь и) — х;Ян(и)) ~<бн, У=1, 2, ... о«н Отсюда, учитывая, что х(1, и) ен О, 1,<1=а Т, и бн($ль У=1, 2, ..., ИМЕЕМ ВКЛЮЧЕНИЕ Х;(1ЕН(и)) ~ Сг~и Прн ВСЕХ 1=0, 6Г, У=1, 2, ... Это значит, что (гн(и) ~1/л при всех и~У и У=-1, 2, ... Кроме того, из леммы 1.3 имеем оценку 1н(Ян(и)) — 1(и) <Слбл =рн, и е= 1/, М вЂ”.1, 2, ... Таким образом, сыполнение условия 1) теоремы 2.4 проверено и, кроме того, установлена оценка (2.21). Далее, согласно оценке (1.25), имеем гпах /х (1ь Рн ([и)н)) — х; ([и)н) ! < 6л, о<с<я [и)нен(/н, %=1, 2, Из оценки (1.!0) следует !х(1, Рн([и)л,)) — х(1ь Рл.
([и)н)) ~<Сгднп' пРи всех 1, 1, =1 < 1;+,, 1 — — О, 61 — 1, [и)н ен Ун, 1=1, 2, ... Тогда ~х(1, Рн([и)н)) — х;([и)н) ~ < бн+С Н~н для всех 1, 1; =.1<1а,, 1=0, 1т' — 1, [и'1н ен Улз Ж= =1, 2, ... Отсюда, учитывая, что по определению множества 1/л точки х,([и)н) принадлежат 0 н, 1=0, У, $н имеем к(1, Р„([и]„)) ен 6'н при ен = $„+ бн+С,с(й' для всех [и]нен(.~н, У=1, 2, ...
Тем самым показано, что Рн([и)л) е= У'и при всех [и)н в= Иль 1 = 1, 2, м* 323 Кроме того, из леммы 1.4 следует у (Р~ ([и]л)) — /х ([иЦ) (Собл = ух, [и)лен(/т Д/=! 2. ". Таким образом, выполнение условия 2) теоремы 2.4 также проверено и, кроме того, установлена оценка (2.22). Далее, рассуждая так же, как при доказательстве равенства 1пп/ (е)= /„в теореме 1, можно показать, е о что !!гп /, (ел)=,/„. Зто значит, что условие 3) теоре- Х ео мы 2.4 также выполнено. Из теоремы 2.4 следует, что 1!гп /х. = l,.
Дополнительно предполагая, что 6 — выпуклое множе- ство и существует управление и=и(/) ~(/ такое, что х(/, й)ен6-е, /о =./(Т, ео)0, докажем оценку (20). Так как множество (/'х слабо компактно в /.о[/„Т), а функция (1) слабо непрерывна на (/'", то в силу тео- ремы 1.3.2 при каждом фиксированном У= 1, 2, ... суще- ствует управление их ен 1/'л такое, что / (ех) = / (иле). Составим управление ох =се~и+(1 — ах) ил„где ах = = ех/(во+ел), /о'=-1, 2, ... Так как ((У вЂ” выпуклое мно- жество, О <ах< 1, а и, иле ен У, то ох ен (Р' пРи всех б/=1, 2, ...Далее, в силу определения(7) суже- ния множества 6 о=[6 х) ( о т) — это (е, + ел)-суже- ние множества 6'л.
Тогда х(/, а) ~6 ' =(6'~) ("+'ь!, х (/, их е) ~ 6'х. Повторив рассуждения, проведенные при доказательстве включения (16), получаем, что х(/, о ) ен[6ех) (ее+ел)ох=6еи —,т(оеар- ее) =6'=6, /о(/(Т, /У=1 2 ", поскольку ех — ан(во+ел) =0 в силу определения оох. Следовательно, олен(/ и /(ол)~,/„, б/=1, 2, ... С уче- том оценки (1.14) тогда имеем О (,/е —,/„(ел) = /о— — / (иле) =(/, —./ (ол))+(/ (ол) — у (их,е)) ~,/ (ол)— —,/(иле)( Се ! ох — ол,о !. Из определения ох следует! пл— — ихе(=сох!и — иеее( а~д 2Я, так что 0 (./ —,/ (ем) ( 2йСооеи = 2ЯСеел/(ео+ ел)= =-2ЙСе фх+ бы+ С,ахи )/(ео+ Еее+ бм+ С,е(~(~), У= 1, 2,...
Поскольку бх~5х<-Мебт то 0(,/о — /е(ео)(тх = = 2/(Со [(М, + 1) бл + С,ой')/[ео+26х+ Сесе~), /У=1, 2,... 324 Оценка (2.23) получена. Теперь ясно, что оценка (20) является следствием оценки (2.24). Теорема 2 доказана. Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в справедливости теорем 1, 2, когда вместо множеств (3), (6), (19) берутся соответственно множества (I =~и(1) енйз(Гы Т~: (и)с,()?, х(1, и) ен б, и =((и)н~?гн. .Ци) 1,,„~)?, х;(1и)н) яб, бн=(1и)н ен йзн 11и)нязн(Й, х, ((и)н) ен бгн, 1, 1== Т~, 1=0, Л)1, 1=0, Л').
% 4. Регуляризация аппроксимаций экстремальных задач Пусть Х вЂ” заданное множество, на котором введена некоторая топология т (см. определения в 2 1.3, п. 6), функция У(и) определена на Х. Рассмотрим задачу У(и)-+1п1, и еи(?, (1) где У вЂ” заданное подмножество из Х. Предположим, что е', = 1п1 У (и) > — со, У„=-(и ен У: У (и) = У,):~ ф. Пусть последовательность задач 1н((и]н)-+1п1, иянин'— —— Хн, Л(=1, 2, ..., (2) где Хн бк — заданные множества, 1н (1и)н) — заданные функции на Ун, У =1, 2, ..., аппроксимирует задачу (1) по функции. Возникает вопрос: нельзя ли провести регуляризацию последовательности задач (2) или, иными словами, нельзя ли с помощью задач (2) построить минимизирующую последовательность для задачи (1), сходящуюся к множеству У„в топологии т? 1.
В следующей теореме, принадлежащей Е. Р. Авакову, указываются достаточные условия для регуляризации последовательности задач (2). Теорема 1. Пусть выполнены следу~ощие условия: 1) У,„> — оо, 'У,„~ (О; функция 11 (и) определена и неотрицательна на Х; 325 2) последовательность [[о]н) опргделена из условий [о]л е:-(/н, Тн([о]н)(Тн.,+)хн, У=1, 2, ..., (3) где Тн ([и]н) / ч ([и]н) + ан() и ([и]н), [и]н е- =(/н — функция Тихонова задачи (2); 1)н([и]н) — заданная на (/и функция; Тн~ = )п1 Тк ([и]н); [рн), [ын) — положи- он тельные последовательности, сходящиеся к нулю (если нижняя грань Тн, достигается в какой-либо точке из (/н, то в (3) не исключается возможность )сн= 0); 3) существуют последовательность множеств (/ и ~ Х и отображения Рн. 'Хн — Х такие, что Рн ([о]н) ~ (/'н, Л/= 1, 2, ..., (4) ,/ (Рн ([о]н)) — /л ([о]н) ~1н, Л/ =- 1, 2, ", (5) й(Рн([о]н)) ( йн([о]н)+~н, Л/=-1, 2,, (6) где [7„), Ян) — последовательности, сходящиеся к нулю; 4) существуют отображения 1',1н.
Х - Хн такие, что для всех и, 1/, вьтолняются соотношения Ян (иь) е== (/и, Л/ = 1, 2, ..., (7) 1н(1ел (и„)) — /(и„)(5к, Л/-1, 2,, (8) Йл (С/н(и„))(Й(и„)+ч1н, Л/=1, 2,, (9) где [рн), (Чн) — последовательности, сходящиеся к нулю; 5) импотся оценки /„— /, (гн) ( чн, /„(гн) = (п1 / (и), Л'= 1, 2,..., (1О) оьн где (чн) — последовательность, сходящаяся к нулю.
Тогда 1)си,/(Рн ([о]л)) = / . (1 1) Пусть наряду с условиями 1) — 5) выполняются еще следующие условия: 6) функции /(и), 11 (и) х-секвенциально полунепрерывны снизу на Х; функция 11(и) является х-стабилизатором, т. е, множество 1)с = (и я Х, Р.
(и) ( С) т-секвенциально компактно при любом С)0; вся~аз точка о ~ Х, являющаяся ч-пределом какой-либо последовательности (ин), ин е=- (/'н, Л/= 1, 2, ..., принадлежит (/; 326 7) справедливо равенство !!сп (ри+уи+)си+ии)(аи=О. и со (12) Тогда последовательность (Ри ([о]и)) т-сходится к множеству У„ь = (а ~ У,: й (т) = !п1 й (и) = й [ и и.
!пп й (Ри ([о]и)) = й„. Д о к а з а т е л ь от в о. Возьмем произвольную точку и„ен У„. Из условий (3) — (10) следует цепочка неравенств У„~ л„(еи)+ии~ ~(Ри([о]и))+ни а "= л' (Ри ([о]и)) + аий (Ри ([о]и)) + ти ~ 7и ([о]и)+ уи+аийи ([о]и)+аиви+ии = = Ти ([о]и) + ум+ ни+ аиЬ ~ =-Ти.+ри+уи+ни+анки=. (Ти Яи(и,))+ри+уи+ии+аи4и= = 1и Яи(и„,))+аийи фи(и.„))+ри+уи+ии+аияи( ( / (и,) + ри + аи й (и,) + аи11и + ри + уи + ии+ аи Ви ~ ( 1„(еи)+2ии+ [)и+аий (и.)+ми+ уи+аи х х (йи+ т)и) ( 1(Ри ([о]и)) + аий (и,) + 2ии+ ри+ ри+ +уи+аи(пи+$и) У=1 2.
Отсюда с учетом произвола в выборе и„~ У„имеем 7, — ии ~ у (Ри ([о]и)) ~ у*+ аий*+ 1и+ +ум+ рл+ал (йи+т)и) Л'=1 2 . (!3) й (Ри ([о]и)) ( й „+ (ри+ уи+ ри+ ии)7аи+ си+ т!и, й1=1, 2, ... (14) Из (13) следует равенство (11), причем неравенства (13) представляют собой оценку скорости сходимости в (11). Далее предположим, что выполнены все условия 1) — 7) теоремы. Для краткости обозначим ои = Ри ([о]и), й! = =1, 2, ... Из (14) имеем й(ои)(й„+сонэ(=С(оо. Кроме того, согласно (4) ои ~ У'и с: — Х, У= 1, 2, ...
Это значит, что [ои) е:- йс. По условию, множество йс т-секвенциально компактно. Поэтому последовательность (ои) имеет хотя бы одну т-сходящуюся подпоследовательность. Возьмем произвольную точку о„являющуюся т-пределом какой-либо подпоследовательности [ои ). По условию теоремы о„,= (/ Тогда с учетом т-секвенциальной полу- непрерывности снизу функции У(и) и равенства (11) имеем 327 .(ю «У(о,) «11ш,([олю)= 1)ш,7(ои) („т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
