Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Вопросам аппроксимации различных классов экстремальных задач посвящены, например, работы !18 — 20, 34, 40, 41, 43, 55, 68, 98, 125, 143, 145, 160 — 162, 165, 185 — 187, 218, 2! 9]. 292 й 1. Разностная аппроксимация для одной квадратичной задачи оптимального управления Рассмотрим следующую задачу оптимального управления: 1 (и) = ( х (Т, и) — у ~о — ~ (п1, (1) х (1) = А (1) х (1) + В (1) и (1) + [ Я, Уо =1(Т, х(1о)=хо (2) и (1) ен У = ( и = и (1) ев Ео [1„ Т): и (1) я Ъ' почти всюду на [(„Т)), (3) где А (1) = (ау (1)) — матрица порядка п хи, В (1) = (Ьу(1))— матрица порядка и хг, 1(1) = ()т (т)) — матрица порядка и х1, т. е. вектор-столбец; моменты времени 1„Т, а также точки х„уенЕ" заданы; У вЂ” заданное множество изЕ', х(1, и)=х(1)=(х'(1), ..., х" (1)) — решение (траектория) задачи (2), соответствующее управлению и = и (1) = = (и'(1),, и" (1)) енЕо[1„Т).
Будем предполагать, что элементы ау (1), Ьу(1), Т'(1) матриц А(1), В(1),1(1) кусочно непрерывны на отрезке 1,=1(Т. Напоминаем, что задача (1) — (3) уже рассматривалась в Я 1.2 — 1.4. Здесь мы займемся исследованием разност- ных аппроксимаций этой задачи. Разобьем отрезок (о( ~1(Т на М частей точками ((и 1=0, У): 1,<1,<... ... (1л,,((л = Т, приняв эти точки в качестве узловых, уравнения (2) заменим разностными уравнениями с по- мощью простейшей явной схемы Эйлера. В результате придем к следующей задаче: 1л ([и)л ) = ~ хх ([и)и) — у ~о — ~ (п1, (4) хоп — — х;+Ио(А!х,+В;и;+);), 1=0, У вЂ” 1, (б) [и|л ен Уи= =1[иЬ=(ио, ио ..., ии о): и,ен у, 1=0, Ж вЂ” 11, (б) где Ы;=1.„— 1ь А;=А(0+0), В;=В(0-1-0), 1;=[((-1-0), 1=0, М вЂ” 1; [х([и)и))и=(х,([и)л~) ...
хл ([и]„)) — реше- ние задачи (5), соответствующее управлению [и)л. Введем пространство Еои дискретных функций — управ- лений [и)и = (и„и„..., ии,), [о)л = (о,, ..., ол,), ... — со скалярным произведением и — ! ([иЬ [и ол ) Х бО (и' оо)в о=о и с нормой ! [и]н ~у, = (([ц]л, [и]л)) м = ~~~ ~Ы; ~~ и; ! Пространство Е,'л является разностным аналогом пространства Е.,'[)„Т], соответствующим разбиению ((и 1= О, Л/) отрезка [(„Т].
Таким образом, задаче (1) — (3), рассматриваемой в пространстве).,',[(„Т] при каждом целом ЛГ)! и разбиении ()ь 1=0, У] отрезка [1,, Т], соответствует дискретная задача оптимального управления (4) — (6), рассматриваемая в пространстве Ь.',и. При каждом фиксированном М .= 1 и разбиении ((ь (=О, У) задачу (4) — (6) можно решать с помощью разностного аналога методов проекции градиента, условного градиента и других методов из 4 1.4; при вычислении градиента функции (4) можно пользоваться результатами 9 1.6; здесь возможно также использование метода динамического программирования (гл.
7 [4]). Предположим, что при каждом Ж=--1 и заданном разбиении ()ь 1= О, Л'[ с помощью какого-либо метода минимизации получены приближенное значение 7л +ел нижней грани Ух „функции (4) при условиях (5), (6) и дискретное управление [и]н,=(и„, ..., им ь,): имен (7, (=О, У вЂ” 1, такие, что 7л, ( 1,ч ([и]л.) < 7л, + ем, (7) где [ел] — положительная последовательность, сходящаяся к нулю. Возникают вопросы, будет ли сходиться последовательность [1л ] к )„, нижней грани функции (1) при условиях (2), (3), если неограниченно измельчать шаг разбиения (1ь 7=0, ЛГ], т.
е. !пп гпах Л);=О, л юа<~<в — ~ н можно ли принять дискретное управление [и]х, из (7) в качестве некоторого приближения оптимального управления задачи (1) — (3)7 Для ответа на эти вопросы нам понадобятся некоторые свойства решений задач (2) и (5). Приведем эти 294 свойства. Будем пользоваться обозначениями А „= знр ))А(1)1, с,<с<т Вспах = знр (В (т) [, саспах = щах ) са (с) ). с.<с<т са<с< т Если сот — произвольное ограниченное множество из Е,"[(„Т), т.
е. знр ))и,,'а,(Р<,со, то пЕ В' знр псах )х(1, и))~Со, пами<с<т (8) где Со=с "( а [) хо)+Васах (Т го) )х +соспах (Т (о)) В самом деле, по определению решения задачи (2) имеем с х(1, и) = ) [А(т)х(т, и)+В (т) и(т)+,'(т)]с(т+хо. (9) са При всех (, (о(1( Т, тогда справедливо неравенство ) х (1, и) ) ( А,„~ ) х (т, и) ) с(т+ сэ +Впсах Г)! и (т) ) с(т+Рспах (Т (о)+)хо! са Отсюда с помощью леммы 1.2.2 получаем оценку (8). Далее, если сот — произвольное ограниченное множество из 1.,;[1„ Т), то знр )х(Х, и) — х(т, и))(С,)с — т)сс', (о((, т(Т, (10) ие о' где Сс = АпсахСо (Т (о) С +Васах)т+ (Т (о) с стспах = ) [А (5) х (5, и) + В (5) и (ф) + 1(К)) с(с ~АпсахСо)1 т)+Васах)( т) й+)( т Расах~ ~ С,(1 — т)'с' при всех 1, тен[йм Т) и ия(о'.
295 постоянная С, взята из (8). Действительно, из (9) с по- мощью оценки (8) имеем )х(1, и) — х(т, и))= Если Ю' — ограниченное множество из Ь' [(„Т), то вместо (1О) можно аналогично получить более лучшее неравенство зцР (х(1, и) — х(т, и) ((Сх(à — т~, (о((, т<.Т, (11) ие ч' Гда С!= Ах!ахСо+Впаах зцР ) и[с +!ааааа иЕ К' Далее, если последовательность [и„ = и»(!)) сходится к и = и (1) слабо в 1.»'[(о, Т), то (х (1, и»)) сходится к х(1, и) равномерно на отрезке [а„Т), т.
е. 1пп зцр (х(т, и») — х(1, и))=0. (12) » а,(а<т В 9 1.3 (см. равенство (1.3.5)) уже было показано, что [х(1, и»)) сходится к х(С, и) при каждом 1~ [1„Т). Допустим, что (х(1, и,)) не сходится к х(1, и) равномерно на [(„Т). Это значит, что существует число ео) 0 такое, что для любого номера т~1 найдутся номер й )т и точка 1»„ен [а„Т), для которых )х((»„, и» ) — х(1»„, и) ~~ »е. Можем считать, что йа<йо«... /г <...
Заметим также, что слабо сходящаяся последовательность [и») ограничена по норме 1»[(„Т), т. е. зпр ~!и»й.,(К<со. »)! Согласно оценкам (8), (10) тогда семейство функций (х(1, и„„)) равномерно ограничено н равностепенно непрерывно на отрезке [1,, Т). В силу теоремы Арцела [11] нз (х(а, и» )) можно выбрать подпоследовательность, которая равномерно на [(„Т) сходится к х(т, и). Без умаления общности можем считать, что сама подпоследовательность (х (1, и»„)) равномерно сходится к х(1, и). Это означает, что для любого е) О, в частности, для е = ео, найдется номер т, такой, что ~х(Г, и» ) — х(1, и)~<е, для всех т)то и всех 1~[1„Т).
В то же время по определению подпоследовательности (х (1, и» )) имеем ~х(1», и» ) — х[1», и)~)е,. Противоречие. Равенство (12) доказано. Далее, для любых и, о енЕ;[(„Т) справедлива оценка зир ~х(1, и) — х(1, о)~и-.С»~!и — о(с„(13) а,<а<т где Сх = е и!ах( о)(Т (о)!!х В 29б В самом деле, из (9) следует, что /х(1, и) — х(с, о) ) = - 1(а(,)(,(...)-*(...))с-в(.)(,(,)-.(,)яс,/~ с. с < А „~ ( х (т, и) — х (т, о) ( с(т+ с. уг ( (с2 + В .с (Т вЂ” 1о) дс' ~ ~ ( и (т) — о (т) ~ д с(т) с, Отсюда с помощью леммы 1.2.2 получаем оценку (13).
На любом ограниченном множестве Ж' из Е,'Р(ь 71 функция (1) удовлетворяет условию Липшица ) ) (и) — )' (о) ( =. Сз)и — о )д„и, о е У, (14) где Сд — — (4С,+2~у!) См постоянные С„С, взяты из (11), (13). Действительно, ! / (и) — У (о) / = ! ( х (Т, и) — у !' — ! х (Т, о) — у )' ( = =!2(х(Т, о)+(с(х(7, и) — х(Т, о)) — у, х(Т, и) — х(Т, о))), 0<4<1, так что ~,с' (и) — У (о) ) < 2 (~ х (Т, и) )+ + ~ х (Т, о) ~+ ~ у !) ( х (Т, сс) — х (Т, о) ). Отсюда и из оценок (8), (13) следует неравенство (!4). Если Ки — пооизвольное ограниченное множество из 1.,'сс, т.
е. зир)(и)д',~<)д)(оо, и, кроме того, ми (4 — псах Ис<, ', М=сопз1)0, (15) о<с<с() — ( то (16) зпр шах ~ х;((и)сг) (~С„ си))() е е'и 0 < с < ))) где е"))))ас ( с) (~ х() ~ + В())ах (7 (о)(Сд )(+ )се)вс (7 (в)) В самом деле, из (5) имеем хссд — — ~ Л(с(Асх~+Всссс+Дс)+х„с'=О, У. (17) с о звг Следовательно, ~ха+! ! ~ Апахс(м „5~! х/!+Впаах(Т (о) С 1[и]к!1с. и+ с=о + (Т !О) Раааа + ~ ХО !, ! = 0 С!С 1 С помощью леммы 1.6.1 отсюда получаем !х; !((1+ Ащ.хс(м)! (, :хо ~+ В~пах (Т вЂ” (о)ц'й+ + ~паах (Т (о)), с' = О, йС. (! 8) Поскольку 1+х==е" при всех действительных х, то с учетом условия (16) имеем (1 + А с( )с ( е паап мс ( е паап" Ф ~ е~п!ах ( а) (19) Отсюда и из (18) следует оценка (16).
Для исследования связи между задачами (1) — (3) и (4) — (6) нам ниже будут полезны следующие два отображения Я!с и Рл! отображение (;со, действующее из пространства с.;!с„ Т] в Ь,'„, которое определяется так: Ясо (и) = (и~, и„..., и„!)ьм! = йа! — и(!) ж, !'=О, У вЂ” 1, (20) н отображение Рм, действующее из Цх в Е',((о, Т], которое определяется так: Рл((и]сс) = ис при (с(! ~ !с,г, ! =О, со' — 1.
(21) Из (20), (2!) следует, что У вЂ” ! г о п)а,„- ~,— ', ! .и!а а!- =о а Ч вЂ” ! 2 ~ и(!)л !=о ' с. ! ос — ! сса! ( х~а ~ $и(!)!ос!(=$ / и(!)/ос((=)иГ1,„(22) =о с, 298 ! Рн ((и)н) (!с, = ~ ~ Рн Ки)н) Р д(= и — ! !!чп и — ! !и!~'с((= У !л!!~и!~'=([и!ь(„; . (23) с=о с. ,=0 ! Докажем несколько лемм, связанных со свойствами отображений Ян и Рн. Лемма !. Пусть 1' — выпуклое зал!кнутов множество из Е', а управление и=и(() принадлежит Е„'((ь, Т! и и(() ~ 'г' почти всюду на отрезке 1(„Т'). Тогда !з! и!= — ~ и(()В~1/ ! !-Ы! ~ пРи всех (и 1!!.! ы-(Гь, Т~, б!(Г!си Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала установим, что всякое выпуклое замкнутое множество Г из Е' является пересечением полупространств, образованных всевозможными опорными гиперплоскостями к множеству г' и содержащих г' (см, определение 4.5.2 из !4!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
