Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Таким о5разом, последовательность 1а») удовлетворяет условиям леммы 2.3.5 из!4!. Следовательно, 0 - а„=- С»»/г-». Из (14), сильной выпуклости 6)» (и) и теоремы 1.2.2 имеем а»у» 1'о» вЂ” и»1 «6/»(о») — 6/» (и») = а» «С»а/г ~ Отсюда с учетом первого неравенства (13) получим ! о» вЂ” и» !'«С»»/г»а»'у»' «См/г-»"-+. 0 при /г-».со.
Равенство (15) и вместе с ним теорема доказаны. Отдельно остановимся на случае, когда в задании множества (1) ограничения типа ри (и) «О, д, (и) = 0 отсутствуют и множество (/ =У» известно точно. Здесь справедлива Теорема 2. Пуст»н 1) (/ — выпуклое замкнутое ограниченное множество из гильбертова пространства Н; функция /(и) ~ С'((/), выпукла и) /'(и) — /'(о)1 =Ци — о(, и, вен(/, /.=сонэ!)О; 2) функции /» (и) ен С'((/) и ! /(и) — л»(и) ! = Чы 1,/'(и) — /'(и))«й», не=У, /с=1, 2, ...; 3) числовые по. 276 следовательности (ад), (6д), (ед), (т) ), ($ ) таковы, что ад>0, 6д- О, ед)0, т)д)0, Вд ) О, сед --- ссдг о 1)гп (ад+ бд+ ед+ т!г, + $д) = О, ад — ад,г+ ба+ е„+ т)„+ $д ( Сгй-аз, 0 < Р (1, ад--.Се!с-', 0<т<р, р', (6,+т),)<со; д=! С,, С,— какие-либо положительные постоянные; 4) последовательность (ид) определяется так: ид„— — од+()д(од — од), (г=1, 2, ..., гдг о,— произвольная точка из У; ид с— : У, 0 (()д-.= 1, Т, (и) = У,(и)+ад(и,', (Тд (ид), гд — ид) ( !п( (Тд (ид), и — и„) + ед, вти Т, (о„,) ( 'ш1 Т, (и, + р (рд — и„)) + 6,.
о<а<! Тогда 1!гп ',!и,— ид!!=-О, где ив ыУ„, !и„)= сп1!!и!!. д о и„ До к а з а тел ь ст в о. Из теорем 1.3.6, 1.3.8 следует, что гв) — оо, (ге Ф С), существует, и притом единствен- ное, нормальное решение и„а также существование и единственность точки ид г— : (з', Т,(и„) = гп1 Т,(и), Т„(и) = и = г'(и)+ад",и '. В силу теоремы 5.1 1!ш !(и,— и„,'',=О. Соотношение )пп !ид — и„,:!=О доказывается так же, как в теореме 1, нуж-ю лчшь в этом доказательстве принять Р(и) =-Р„(и) = — О, уд = 1 и произвести небольшие очевид- ные изменения.
Остается лишь заметить, что прн любом фиксированном р, 0(р<1, существуют последователь- ности (ад), (бд), (е„), (т)д), ($д), удовлетворяющие усло- виям 3) теоремы. Зтн последовательности можно, напри- мер, взять в виде ад=)с~, ба=!с-~, ад=а-в, т)а=!с-ч, йд=(с-ь, (с=!, 2, ..., где а — произвольное'число, удо- влетворяющее условию 0 < а < р при 0 < р ( 1!2 или 2р — ! ( а < р при 1(2 < р < 1; е = $ '= 2р, т! ) гпах (1; 2р), 6>шах(1, 2р).
2. Рассмотрим возможность итеративной регулярнзацнн другого варианта метода условного градиента для задача минимизации функ- ции У(и) на множестве (!) [2ЗЗ). Теорема 3. Пусть выполнены условия !), 2) лморемы 1 и, кроме тово, = 1нп ()ьАй+ЙдАд+аь = 0; (38) й ьь 5) последовательность (од) определяется из условий ол„,=од+!)д(рд — од), й=1, 2, ..., (39) где о, — произвольная точка из Уь, Од ли У„(Тд(од), Од — од) (п1 (Тд(од), и — од)+е», ишиь функция Тихонова Тд(и)=У»(и)+ Апре(и)+ад! и'„ь, и лн бы (40) отличается от функции (2) ллножителем уд= Ай'.
Тозда 1(гп ', од — и '=О, где и, лн У„'и, ,,'=(п)) и ~!. й ьь и„ )лак аз а те л ь с т в о. Заметим, что последовательности, удовле- творяюшие условиям (36) — (38), сушествуют; их можно, например, взять в виде сад =й ", ()д=й Р, е =й ь, ад=у с, Аь=йл, где 0 с с и с (д — 1) А, е ) 1, $ ив 1, А + ы с ш (п (8, 1 — (1 ) . Наряду с (од) введем последовательность (ид), которая одно. аначно определяется условн, ми Т» (ид) =)п! Тд (и), ид я (лы 8=1, 2...,, (41) и, где функция Тд(и)=е (и)+АдР(и)-1-ид(и!з отличается от функ- ции (3) множителем уд Аг,'. Из теоремы 8.2 следует, что 1)гп !)ид— д и — и, (=О.
Поэтому, как видно из неравенства '!од —.и 1«=,1,'од — ид!+ .1-1ид — и,!, для доказатетьства теоремы достаточно показать, что 1'пп (од — ий!(ди О. й ло Введем величину ад = Тд (од) — Тд (ид) ) О. Тогда ад, = Тдю (одчх) — Т ды (ин.,) =1 Тды Роды) — Тд (оды)] -1- + сТд (од ° л1 — Тд (од)]+ ~Та (од). Т (ид)]+ + )Тд (ид) — Тд (ид„л)]+ Тд (идч,) — Тды (ид,,)]. (42) Заметим, что третье слагаемое в правой части (42) представляет собой а„, четвертое слагаемое неположительно в силу (41), а первое 3) функции Хд (и), у!я (и) еа Сл (Уь), л' = 1, з, и справедливы неравенства (9]; 4) числовые последовательности (ид), (рд) (ад) (ьд) (Ад) таковы, что ссд ид„)0. (си()д)0, едтвО, йдз 0 Ад лгАд)0, й=1, 2, (Зб) )пп (ад+()д+ед+$д+ А-') = О; 11ш адАч '=со, д=р(р 1)-л (37) й сь 1(ш = Вгп ыд ыдьл .
Ад — Ад идОд й айОд Так как,"Ть (и) — Ть (и) «й»-)- А »5» < Сз»А»й», и ~ См то с учетом выпуклости Т»(и) и условия (40) получил~ 0 =-аь ( (Ть (оь), о» вЂ” и») =(Ть (и») — Ть (о»), Оь — и»)+ +(т»(иь), О» — иь» — (т» (о»), иь — и»г+(т»(и»), иь — оь) < = (Т» (о»), о„— 0») + в» + Сы А»4»а, т.
е. (Т» (оь), иь — О») ) ໠— еь — СюА«йьс). О»сюда и из (44) следует Т» (иьь») Ть (о») < — 5«а«+ 0«а«+ 0»А »С«Д»г(+ 0»А»С»л4з!2. Подставим полученн)то оценку в (43]: а»„, < аь (! — ()«) + С« (А» „— А«)+ ьлл (яь — с»»„,)-1- + Слл (0»е»+ 5«А»5»+ Ой»А «). Учитывая условия »381, отсюда имеем 0 а»лл =а»(1 — 1»«)+Я«!!»Чь, 1нп Ч»=0.
й сс (45) Введем новую величину Ьь=а»я«'. Обозначим ч«=(яь — я»,)х хя„'0«' так что яь, =я»(1 — ч»8») Тогда из (45) следует О ( Ььы < (1 — зь) Ь»+И», где (1 — '«) 0«д В»л)» й 1 2 ! ч»В« 1 чьи» Ясно, что — = — 0 при й -ло». Покажем, что ряд 1) з» расо» л) й=! ходится. Так как !цт. 0»= 1нп ч»=0, то 0<0» < 1, 0<ой< 1!2 й со й ол 279 и пятое слагаемые оцениваются сверлу так: Ть»» (о«л») — Ть (о«ы) = =(А»„— Аь) Р(иьы)+(я»„— яг) и»ю" С,(А»„— А«) Т» (иь „) — Т»,, (и»,) < )сз (Я» — Яю,) где постоянные Р и С, взяты из (16) и (19).
Таким образом из (42) следует неравенство 0 а»ы <а»+С„(А»„— Аь)-1- +Рз(Я» — Я»ы!+»Т»(о»,) — Т»(и»)). (43) Оценим последнее слагаемое нз правой части (43). С это) целью заметим, что !Тй(и) — Ть(о) <(1+СА»+2яь) и — о <С А»!и — и, и, о ив(»м Отсюда с помогцыо леммы !.2.1 имеем Т» (о») — Ть (и»„,) =- (1» (Т» (о») и« вЂ” Оь) — ф«А»Сз г(зу2 (44) з»З!)»12, ໠— ы»+э<а»6» или ы»ы-+', <(! — Р»)-т дла всех й>Ь». 1п (! — 6»)-' Кроме того, 1!щ» = 1, поэтому можем считать, что » со О» 1п(! — 6») »<36»/2, Уг>ды Следовательно, 1п — «<1п(! — 6») т< а»+э о и 3 2 5»<Ззт lггэй».
Отсюда имеем 3 ~ з»гэ ~Р (!п໠— !псе»+з)= » — »с»=» =1пы» — !пы -«+со при п-».о», т. е. ~ з»=+со. Такимобрао+г »=! зом, последовательность (Ь») удовлетворяет условиям леммы 2.3.6 иэ (4). Следовательно, 1пп Ь»= !пп а»ы»с =О. Из (41) сильной » о»» со выпуклости Т» (и) с помощью теоремы 1,2.2 имеем и» вЂ” о» )е < <а»ы» -«О при»-«оо. Теорема 3 доказана. Кратко остановимся на случае, когда в задании множества (!) ограничения типа йй (и) <О, йй (и) = 0 отсутствуют и множество О = У» известно точно.
Здесь справедлива Т е о р е и а 4. Пусть 1) (à — выпуклое замкнутое ограниченное множество из гильбертова пространства (/, функция /(и) ы Сг((1), выпукла и ) г" (и) — Р (о) ( < ь ! и — о ~'„и, о ли (/, 1. = сопз( > 0; 2) Функции е»(и) а Сх(у) и ) г" (и) — е» (и) (о<я», и си К у=1, 3) числовые последовательности (а»), (()»1, (е»), («э») таковы, что а»>а»»з> О, ! гэ!)»>О, вг >О с»гэО, у=1, 2, . 11т (сс»+!)»+е»+й»)=0 (46) Вш + = !'пп — = !пп — = 1пп — =0; ы» — а»,ы . р» .
в» » со Ы»()»» со с" »»' со Сс»» о» се» 4) последовательность (о») определяется так: о»+т о»+!!»Х эс(о» вЂ” о»), у=1, 2, ..., где о,— проиэвольнал точка ив У, Т» (и) =,1» (и)+а» ! и )з, (Т»(о»), О» — о») < !п1 (Т»(ог), и — о»зла», б» я У. ищи Тогда 1|гп !о»-и, !~=0, еде и, си Уь, !и, '= !п1)и ',. » со и.
Доказательство этой теоремы получается из доназательства тео. ремы 3, если в последнем положить Р (и) = Р» (и) = О, А»= ! Iг = = 1, 2, ... В качестве -оследовательностей, удовлетворяющих условиям (46), можно взять, например, а»4 Д и, !)»=Ь Р е»4 й е, $» = = й-й, где 0 < и<пни!6; е; Ц, 6 < 1. Предлагаем читателю самостоятельно рассмотреть возможность применения описанных выше вариантов итеративно>! регуляризапин метода условного градиента к задачам из примеров 9.! — 9.4. ф 12.
Итеративная регуляризация методов высокого порядка где функции У(и), д;(и), 1=1, з, предполагаются опреде- ленными на всем гильбертовом пространстве Н. Как и всюлу в ланной главе, будем предполагать, что множе- ство (/ непусто и, более того, (п! 3(и) = /, ) — со, У, = (и: и ен(7, ,7(и) = У,) Ф ф. (2) и Ограничения типа равенств и неравенств из (1) будем учитывать с помощью штрафной функции й Р(и)= ~Х', (гпах(0; д;(и)))г+ У', !й';(и)(г, ~' = ! 1= лз+! и~Н, р)2. (3) Составим функцию Тихонова Т„(и) = У(и)+ А,Р(и)+а,'и,",2, и ен Н, (4) где а„)0, Ал)0, й=О, 1, ..., 1!гп аз=!!гп А~,'=0 ь со ь- 1. Сначала опишем итеративную регуляризацию метода Ньютона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
