Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Пусть процесс описывается условиями х(!) = А (!) х(Г)+В (!) и(()+Г" (!), !)(ы х((,) =х„(1) и= и(!) ен Ц[с„а) при любом а'-. гы и(!) ~ У(!) для почти всех !)(ы (2) где А(!), В(!), 1(!) — матрицы порядка и'нп, пхг, пх! соответственно, определенные при всех (~(, и кусочно непрерывные на любом конечном отрезке [(м а); начальный момент 1, и точка х,~Е" известны; У(!) — заданное при 1~ !, семейство множеств из Е'. Через х(г, и), 1~(ы как обычно, будем обозначать траекторию задачи (1), соответствующую управлению и=и(!), 1~ 1,. Пусть У и б(!), 1~!„— заданные множества нз Е".
Определение !. Скажем, что система (1), (2) (Т, б(!), У)-управляема, если существуют хотя бы одно управление и = и (!), 1=»(„удовлетворяющее условиям (2), и момент (=г(и), 1,~1(и)(Т, такие, что х((, и) енб(!), (,~((((и), (3) х(((и), и) ен !', х((, и) 4 У при (,(((((и). (4) Момент времени ! (и), удовлетворяюгций условиям (4), назовем временем первой встречи траектории х (д и) с множеством У. Таким образом, (Т, б(!), У)-управляемость системы (!), (2) при некотором Т-. 1, означает, что множество б(Т), которое состоит из всех управлений и=и(!), удовлетворяющих условиям (2) — (4), непусто. Будем рассматоивать задачу !(и)«!п(, и~У(Т), (5) представляющую собой задачу быстродействия, в которой требуется за наименьшее время попасть из точки х, на 350 множество У', двигаясь по траекториям системы (1), (2) с соблюдением фазовых ограничений (3).
Величину („= 1п1 ! (и) называют оптимальным вреи <т~ менем задачи (1) — (5); управление и„= и,„(!) ~ У(Т), для которого ! (и,) = гч, называют оптимальным управлением, а х ((, и,) — оптимальной траекторией задачи (1) — (5). 2. Приведем достаточные условия, при котор ~х в (5) нижняя грань достигается. Теорема 1. Пусть матрицы А(!), В (!), [(!), (~(„ кусочно непрерывны на любом конечном отрезке, множество !т (У) при каждом Е выпукло, замкнуто и эпр зпр !и~ (Р=Р(а) <оо при всех а ) !ь;мноь<! <а ие у и) жества 6(!), 1-ъ!», и !' замкнуты', система (1), (2) (Т, 6 (!), У)-управляема при некотором Т ) !».
Тогда = 1п! ! (и) =Т и в задаче (1) — (5) существует оптимальное и ~т> управление. Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию множество У(Т) ~ (д, и при любых и ен У (Т) справедливо неравенство (!(и)(Т. Поэтому !ь =(„~Т(со. По определению нижней грани (5) существуют последовательность [!»[- Т)!»)1„, й=!, 2, ..., и управления и»=и»(!), !ь( (1=-!», й=1, 2, ..., такие, что х(! и») е-=6(Г) !ч<! =-!» х(Г», и»)е=-Г, х(г, и») ~ !', !»(1~!», у=1, 2, ...
Заметим, что множество !(т(Т)=(и=и(!) е=й»[(ь Т]: и(!) я(т(!) почти всюду на [(ь Т]) (б) выпукло, замкнуто и ограничено в метрике Ь»[(ь, Т] и, следовательно, слабо компактно в Л»'[(„Т]. Поэтому, выбирая при необходимости подпоследовательность из [и,[, можем считать, что сама последовательность [и„) сходится к некоторому управлению и, =и (!) ~ (ч'(Т) слабо в »;[!„Т]. Тогда [х ((, и,) ! сходится к х (1, и,) равномерно на [(„Т]. Однако х(1, и») ен 6 (!) при всех (ь(!(Г (!».=Т, поэтому в силу замкнутости 6(!) справедливо включение х(1, ич) еп С(!), !ь( 1( г„.
Далее, в силу оценки (1.11) имеем зпр !х(гы и) — х((„и))(С,(!» — (,(-эО при й-» сз. и ~ в' (т1 Тогда )х((о, и,) — х((„и,)/-=!х((о, ио) — х((„ио))+ + ! х (го, и,) — х (то, и,) ) -э О при й-а- со, т. е. [х (1о, ио) ) -э. -о х((о, и„). Однако х(1м ио) ~ У, к=1, 2, ..., причем У вЂ” замкнутое множество. Следовательно, х ((„и„) ен У.
Таким образом, и ен(7(Т) и время первой встречи 1(и,) траектории х(1, и„) с множеством У таково, что 1(и ) =- ((о. С другой стороны, 1„=.1(и,) в силу определения (о. Это значит, что 1(и,) = (о, т. е. и, — оптимальное управление в задаче (1) — (5). Теорема ! доказана.
3. Для аппроксимации задачи (1) — (5) для каждого натурального числа Ж ) 1 на полуоси (то(, введем точки (а =(ох <(ьч «. ° йк <..., 1|гп йл =со. Положим А;л = О оо =А (й + О), Всч=В (й +О), )пч = [(1пч+О), У„,=У (й ), бок=О(1пч), Иич=1и.ьч — (л, и рассмотрим следующую аппроксимацию системы (1), (2): хи,л = хпч+ Лтьч (А ччхич+ Впчит+ [ич) 1=0, 1, ..., хоп=хо (7) [и)к = (иол, иок, ..., ичч, ...): иоч е= Уьч 1 = О, 1, ...
(8) Через [х ([и1к)1ч=(хо([и1к)=х„..., х; ([и1к) =х л, ) будем обозначать траекторию дискретной задачи (7), соответствУющУю УпРавлению [и)к. Введем расширение множеств 6~", У'к, где Я„), [чк) — положительные последовательности, стремящиеся к нулю. Напоминаем, что согласно (3.7) е-расширеннем множества Я с: Ео называется множество с'= [х я Е": р(х, с) = (п( ~х — г!(е). тех Определение 2. Систему (7), (8) назовем (Т, 0~", У") управляемой, если существуют хотя бы одно управление [и]ль удовлетворяющее условиям (8), н точка (ол ч ~ ен (йк [, 1о ( й им ~ Т, такие, что х;([и)м) ~б,".~, 1=0, 1,ч, (9) х; в([и1л) ен У'к, х;([и)ц) ф У"ч пРн 0(1~(м — 1.
(10) Момент времени й,л = (л ([и)к), удовлетворяющий условиям (10), назовем временем первой встречи дискретппой гпроекгпории [х ([и~и)1к с множеством 1"". 352 Таким образом, (Т, 6знн, У'н)-управляемость системы (7), (8) означает, что множество 1)н(Т), которое состоит из всех управлений [и)н, удовлетворяюпгих условиям (8)— (1О), непусто. Рассмотрим дискретную задачу быстродействия 1и ([и)н) -г-(п1, [и)н енИн (Т). (1 1) Величину !ь „= !и! !н ([и1н) будем называть оптион гтг мальным временем задачи (7) — (!1).
Приведем достаточные условия, при которых из (Т, 6((), У)-УпРавлаемости системы (1), (2) следУет (Т, 61нн, У'и)- управляемость системы (7), (8) и последовательность задач (7) — (1!) аппраксимирует задачу (!) — (5) по функции, т. е. !пп (н,=1,. Теорема 2. Пусть матрицы А(1), В(1), 7(!) определены при 1) (гь кусочно непрерывны на любом конечном отрезке [бь а); множество У(1) при всех 1==(ь вьтукло, замкнуто, ограничено и непрерывно по Хаусдорфу, 'множество 6 П) при всех !) 1, з мкнуто и непрерывно по Хаусдорфу: система (1), (2) (Т, 6(!), У)-управляема для некоторого Т, (ь(Т(сю. Пусть разбиения (1гн) =((ьн = =(о<Ам <(гн<...) таковы, что г(н = дн (Т) = г пах Л(гн = ь«<~н =(Т вЂ” гь)М(Т)/(ть+1) йг=-!, 2, ..., где тн — число, определяслгое условием 1„нн ( Т вЂ” й нч-г, н, Мь(Т) = сопя! ) 0; ггоследовапгельности (Ен[, (тн) из (9), (10) стремятся к нулю и таковы, что $н:= 6н тл ~ бн+ Сгдн+ ыо (дл) Ь = 1, 2 где величина бн определяется формулой (5.13), постоянная С, взята из ( !.
11) при )ьг = )ч' (Т), а ыо (д) — хаусдорфов модуль непрерывности лгножеств 6 (1) на [ггь Т~! или оценка сверху для него. Тогда дискретная система (7), (8) (Т, 6~н, У'н1- управляема при ггг=1, 2, ... и !!гп 1н, =1„. и со Доказательство. Положим Х=1,;[1ь, Т1 Хь = = В„= [[и[и=[ион, и1н , и,г,н): ~ и7нгу1н=)[и)н[1,н( г=о 333 < ж). Напоминаем, что 1„,н «Т =1,, л.
Ниже будем считать, что 1,», и =Т; узловые точки 1;н~Т нам не понадобятся, так как все рассуждения будут проводиться на отрезке [1„Т). Введем отображения Цн. Х-» Хл,, Рл'. Хн-»Х следующим образом: 1гн(и)=[ион, иьч...., и нл) и,л =Рг, (о;н), ч+ ~н о;л = — ) и(1)й, 1=0, тл, (12) 1 ОФ ум Рн([и)н)=Рги,(и), 1н<1(он, 1=0, ,тн, (13) где Рг(г) — проекция точки г ~ Е' на множество )г. Дальнейшие рассуждения, представляющие собой проверку условий 1) — 3) теоремы 2.4, оформим в виде трех лемм.
Лемма 1. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда 6н (и) е=Ин(Т) 1н ((Ь (и)) -=1(и) при всех иенУ(Т), 0=1, 2..., Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольное управление и ен6(Т). Тогда существует момент1(и) — время первой встречи траектории х(1, и) с множеством 1', определяемый условиями (3), (4). Возьмем точку такую, что 1, „ч<1(и)(1.н.», л. Рассмотрим задачу (7) при [и)л = 1гн (и). Покажем, что соответствующая дискретная траектория хс(1гн(и)), 1=0, тл,+1, такова, что х;(Ь(и)) ен 6~ни, 1=0, вн, х, (Ь(и)) я У'н (14) В самом деле, согласно оценке (5.16) !х(1ь и) — х; Огн(и)) /(бн 1=0, тн+1. (15) Так как х(1, и) ен6(1) при 1,~1 1(и), то х(1;, и) я бок и х; (11н (и)) ен 6,. и с: 6~ни пРи всех( = О, вн. Далее, согласно оценке (1.11) и выбору узла 1, и имеем ~х(1(и), и) — х(1,„,н, и)~-=.С,(1,н+, и — 1,нл)(Си(н.
Отсюда и из (15) с учетом включения х (1 (и), и) ен 1' получаем х,, ((1н(и)) ен У и" с "н с- у"'н Включения (14) доказаны. Отсюда следует, что время первой встречи Эзв (нфн(и)) траектории [х((гн(и))]н с множеством У н удовлетворяет неравенствам (нЯн(и))«(,нн(1(и) «Т.
Кроме того, Ян (и) ен (ун (Т), так что система (7), (8) (Т, 61н, У'н)- управляема и дискретная задача быстродействия (7) — (11) имеет смысл. Лемма 1 доказана. Лемма 2. Пусть выполнены все условия теорелгы 2, и пусть (7 и (Т) — множество всех управлений и = и ((), которые удовлетворяют условиям (2) и для которых существует момент ((и), (ь«((и)«Т, такой, что х((, и) яб'н((). (ь«(«((и), х(((и), и) ~ У'и, х(1, и) ~ У'и при (ь«((((и).
Пусть ен = $н+ тн, У = 1, 2, ... Тогда Рн([и]н) е= Ин (Т), ) (Рн ([и]н)) «)н ([и]н) при всех [и]н ев И и (Т), )У = 1, 2, ... Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольное управление [и]н ~ Е/н (Т). Тогда сугцествует момент (н([и]х) = = (с и «Т, определяемый условиями (9), (10).
Рассмотрим задачу (1) при и= Рн([и]н) и покажем, что х((, Рн([и]н)) е=б'и ((), (о«(==-(нн, х[! н, Рн([и]н)) ~ У'". (!6) Согласно оценке (5.17) (х((» Рн ([и]н)) — т;([и]н) ~ «бн (=О (ь" (17) Отсюда и из (9) следует, что х((» Рн([и]н)) енб)нн '~н, 1=0, (н. Далее из оценки (1.11) имеем !х((, Рн([и]н)) — х((» Рн([и]„)) ~«С,>( — (.,н(«С,дн при всех (, Он«1«й„г, 1=0, (х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
