Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 60
Текст из файла (страница 60)
б/» б/о (33) Теперь возьмем последовательность ([о)х), определенную условиямн (24) для множества (28). Тогда х; ([о)л,) ен 6, 1 =0, /У. Из оценок (!.11), (1.25) получим х(/, Рх([о)х)) ~ ен6"', /о«/«Т, где ел=бр+С,е!ч. Положим пл = =Хмй+(1 — Хл)Рл ([пЫ, Хи=ел/(во+ел), б/»Уо Так как иенФ', Рэ(Цд) ен)Р', 0<Хи<1, то эхе=5'. По условию теоремы 2 х(/, й) ен 6 — ", /,=/«Т.
Однако 6 'а= 6ах — (ее+ах) =(6ах) — (ее ьах) — это (е,+е„)-сужение множества 6'и. Поэтому, рассуждая так же, как при доказательстве включения (3.!6), получим х(/, ох) ен ~ [6ех ) "х (е+'х) = 6, /, « / «Т. Это значит, что ох ен (/, Л' » /уо. Далее, 1ом — Рм([о)х) (=Хи[й — Рх([п)х) !«2РХх.
Из оценки (1.14) тогда имеем |,/ (ол) — / (Рх ([о)л)) ! «2НСаХл =. 2РСа (бл + Са о(х)/ео = тос. Следовательно, /о « /(ох) « /(Рх(Ыо))+ох, Наконец, согласно оценке (1.30) У (Рх ([о)л)) — Уя([п)г) ==Свбгв = Ум 12 Ф. П. Васальео М» б/о (34) /1/ » /Чо. (35) 337 Из соотношений (21), (24), (30) — (35) следует цепочка неравенств / =а /(Ри([о]и))+чи~ ~ У(Ри ([о]и))+аий (Ри ([о]л))+ чи =. ( /л ([о]и)+ уи+аийи ([о]и)+ чи( ( Ти + )ли+ уи + чи ( Ти фи (ши)) + (зи + уи+ чи = = /л, (()и (ши)) + аийи ((чи (ши)) + ри+ уи+ чи ~ ( / (ши) + аи й (юи) + йи+ (ли+ Уи + чи ~ = /(ио)+аий(ио)+20(Сз+2/х ал) би/ео+ + Ьи + ри + уи+ чи ( ./ (Ри ([о]и)) + аий (и,) + + 2Р (Сз+ 2/т аи) би/ео+ ри+ ри+ уи+ 2чи, М =-- б/о' Отсюда имеем ,/о — чи ( / (Ри ([о]л )) ( / + аий (ио) + + 2Р (Сз+ 2/чаи) бл/ео+ [)и+ ми+ уи б/'= Л о й (Р ч ([о]и)) ~ ( й, + (2Р (Сз+ 2Р аи) би/ео+ (!и+ ри+ уи+ чи)/аи ( ( й „+ сопз1 (бл + з(и+ рл )/а,ч, Ж ) /ч'о.
Следовательно, !пп /(Ри ([о]и)) = /о. Кроме того, повтои со рнв рассуждения, проведенные выше, получаем, что последовательность (Ри([о]и)) сходится к и, слабо в /..',[/,, Т] и (й (Ри ([о]и))] — йо = й (и ), что равносильно сходнмостн (Ри([о]и)) к и в метрике /.з[/о Т]. ф 5. Разностная аппроксимация квадратичной задачи с переменной областью управления 1. Рассмотрим задачу / (и) = ! х (Т, и) — у !з -з-! п(, х (/) = А (/) х (Е) + В (/) и (/) + / (/), /о(/(Т; х(/о) =хо (2) и с и (/) я Е/ = [и (/) ен /.з [/„ Т]: и (/) ен ~ (/(/) почти всюду на [/„Т]), (3) где 1/ (/) — заданное семейство множеств, зависящих от 1ен[/„Т]', остальные обозначения см. в 8 1.
Для аппрок 388 симации этой задачи введем последовательность разностных задач 1>г ([и)л) = ~ хл ([и1л) — у ~' - 1п1, (4) хы,=х;+Л(;(А>х>+В>и;+7>), Е=О, >У вЂ” 1, (5) [и~„Ы Ум = ([и)х = (и„ип ..., ил,)> и> Я ~У>=У(б), !=О, >У вЂ” 1), )Г>=1, 2, ...; (6) обозначения см. в 9 1. Для исследования поведения решений задачи (4) — (6) при >У- со ниже будут использованы теорема 2.1 и схема рассуждений из 5 !. Однако из-за зависимости области управления от времени в рассматриваемой задаче не все результаты из 9 1 сохраняют силу.
Например, для ото- 6„1 1 бражения (гм(и) =(и„..., им >), где и;= — „, ~ и(!)г(>, >=О, Л> — 1 (см. формулы (!.20)), включения и;~У;= = У ((;) могут нарушаться, несмотря на то, что и=и(!) ен ен У (1) почти всюду па [г,, Т) и У(г) выпукло при каждом ! ~ [йь Т>. Аналогично, для отображения Рл([и)>г), определяемого формулами (! .21), включение Рл ([и)>г) ~ (>' может соблюдаться не при всех [и)л из множества (6). В то >ке время, кажется, что если множества У'(1) непрерывно зависят от 1, то упомянутые включения, по-видимому, будут нарушаться незначительно. Однако пока неясно, что значит, что множества У (!) непрерывно зависят от (, как понимать близость между множествами, что такое расстояние между множествами. Перейдем к обсуждению этих вопросов.
2. Из различных возможных подходов к определению понятия расстояния между множествами здесь мы остановимся на понятии расстояния в смысле Хаусдорфа или., короче, хаусдорфова расстояния. Определен не 1. Пусть М вЂ” метрическое простран. ство с расстоянием р(а, Ь) между точками а, Ь енМ, и пусть А и  — два множества из М. Хаусдорфовым расстоянием между множествами А и В называется величина Ь(А, В) =шах1зир !п1 р(а, Ь); зпр !п( р(а, Ь)~. (7) !ааль~в ьываял 339 Поясним геометрический смысл хаусчорфова расстояния, считая, что множества А и В замкнуты в метрике М.
Напомним, что величина р(а, Я)= !п! р(а, г) газ называется расстоянием от точки а~М до множества Яс: М. Кроме того, как и в Я 3, 4, введем е-расширение множества Я так: Е'=(ген М: р(г, Л)«е), е'=-»О. Тогда величина енр !п! р(а, 6)= зпр р(а, В)=б(А, В)=р, АЕ А ЬЕВ аЕА называемая уклонением льножвства А от множества В, равна минимальному числу, на которое надо расширить множество В, для того чтобы получившееся после расширения множество содержало множество А, т.
е. А = В' при всех е ) () и А (с В' при 0 «е ( б. Аналогично, величина епр (п! р(а, 6) = апр р(6, А) =б(В, А) =у, Ьеваел Ьмв называемая уклонением множество В от льножества А, такова, что В: — А' при всех е)у и В ф А' при 0«е <у. Таким образом, хаусдорфово расстояние 6(А, В) между множествами А и В равно нижней грани всех тех чисел е>0 таких, что А =.В' и В~ А'.
Отсюда следует, что если о(А, В) «е, то справедливы следующие два включения: АаВ', ВаА' е>0. (8) Рассмотрим несколько примеров. Пример !. Пусть М=Е', А=(и ы=Е'. а«и«6), В = (и ен Е'. с «и «с(). Пользуясь приведенной выше геометрической иитерпретапией хаусдорфова расстояния, нетрудно вычислить, что 6(А, В) =шах(! а — с1, !Ь вЂ” с(Ц.
Пример 2. Пусть М=В' — г-мерное линейное пространство с метрикой р (и, о)= гпах )и' — о'1 соответ1<С<г 340 ствующей норме. )ц) = шах ~и'~, и пусть 1 <1 <г А=(и=(иа, и', ..., и'): а'(и'(Ь', 1=1, г), В=(и=(и'-, и', ..., и'): с'(и'(Й', 1=1, г).
где а=(а', ..., а'), Ь=(Ь', ..., Ь'), с=(с', ..., ( 11 ~Р) Если те же множества А и В рассматривать довом пространстве М = Е' с метрикой р г ~не = ( ~ ', ~ и' — о' ~' ), то для соответствующего ~' = 1 фова расстояния имеем оценку Ь (А, В) =-.Ь (А, В) (Ь (А, В) )' г или в евкли(и, о) = хаусдор- п1 ах ( ( а — с1, ~ Ь вЂ” с( ~ ) ( 6 (А, В) = ()/"ггпах(( а — с~, ~Ь вЂ” д1„) Эти оценки следуют из неравенств,' и ) ( ~ и ~ ° ( "г'г ~ и ~ П р и м е р 3. Пусть М = Е', Ъ' (г) .= ( и =-(и',...
и ) е= Е'. а; (() ( и' ( (3; (1), 1 = 1, г ), 1, ( 1 ( Т, где а (1) = (а~ (1), ... ..., а„(1)), й(1)=((3,(1),, и (1)) — заданные функции, а; (1) ( й; (1), 1, =1( Т. Пользуясь результатами примера 2, имеем — шах( (а(1) — а(т) (~,; ~ й(1) — и(т) ~ „~ -= г' г ~" (к (О' к (~)) ~у ~шах(~ (г) — ~(~) 1~,; ~()(1)-й(т)~„), 1. (, т~т. Пример 4 Пусть М=Е', А =(и =(х, у): х'+у'(1), В=В(1) =(и=(х, у): (х — 21)е-~-у' —.Р), 1 О. Из гео- 341 В рассматриваемой метрике А" — е-расширение множества А — имеет вид А'=(и=(и', ..., и"): а' — е(и'( (Ь'+е, ~'=1, г). Тогда ясно, что Ь (А, В)=-гпах ((а — с), )Ь вЂ” с(! =шах) гпах (а' — с'(; гпах 1Ь' — е('Ц, й<~<~ 1<~<г м етрических соображений нетрудно получить, что 6(А, В) = =(+1 прн всех !)О; 6(В, А)= 0 при 0~((1/3, 3( — 1 при () 1(3, г+1 при 0(((1, й(А, В)= 3! — 1 при ! >1.
Заметим, что здесь й(В(8), В(т))=3/! — т/ при всех С, тЗ:О. Покажем, что хаусдорфово расстояние обладает следующими тремя замечательными свойствами: 1) Если А и  — замкнутые множества из метрического пространства М, то й (А, В) = 0 тогда и только тогда, когда А = В. В самом деле, если замкнутые множества А и В не совпадают, то либо 6(А, В))0, либо 6(В, А))0, поэтому й(А, В) =-гпах (6(А, В); 6(В, А)) ) ) О. Если же А = В, то, очевидно, й (А, В) =О.
2) Хаусдорфово расстояние симметрично, т. е. й(А, В) = = й(В, А). Это свойство следует пз определения (7) и симметричности расстояния р (а, 6) в исходном метрическом пространстве М. 3) Справедливо неравенство треугольника й(А, В) (й(А, С)+й(С, В), А, В, С ен М. (9) В самом деле, из неравенства треугольника для исходного пространства М имеем р(а, 6)~р(а, с)+р(с, 6) при всех а ен А, 6 яВ, с~С.
Тогда р (а, В) = !п! р (а, 6) ==. р (а, с) -!- !п! р (с, 6) = Ьмв Ьев = р (а, с) + р (с, В) ( р (а, с) + знр р (с, В) = сяс =р(а, с)+6(С, В) (р(а, с)+й(С, В) для всех аен А, сяС. В силу произвольности сяС отсюда получаем р(и, В)( 1п! р(а, с)+й(С, В) =р(а, С)+й(С, В) ( гас (6(А, С)+й(С, В)(й(А, С)+й(С, В), аз=А. Следовательно, 6(А, В) = зир р(а, В) ~й (А, С)-(-й(С, В). аул Поменяв в предыдущем рассуждении множества А и В ролями, будем иметь 6 (В, А) <й (А, С)+й (С, В) Из последних двух неравенств следует неравенство (9). Приведенные свойства 1) — 3) хаусдорфова расстояния показывают, что множество всех ограниченных замкнутых подмножеств метрического пространства в свою очередь образует метрическое пространство с метрикой п(А, В).
3. Изучим некоторые свойства множеств, зависящих от времени. Определение 2. Пусть )г(Г), 1,<Г<Т,— некоторое семейство множеств нз метрического пространства М. Говорят, что это семейство множеств непрерывно по Хаусдорфу в точке г, если для любого г)0 найдется число 6) 0 такое, что й()г (г), И(т))(е для всех т, для которых ~1 — т, '(6. Лемма 1. Пусть У (1), 1,(1 < Т, — семейство множеств иэ Е', причем в каждой точке 1~ [ба Т) множество Р (Г) замкнуто, ограничено и непрерывно по Хаусдорфу. Тогда множества Р(1) ограничены равномерно по 1 в= [гы Т1, т. е, найдется постоянная )с)0 такая, что знр знр (и(<В и<г<г ищущ Доказательство.
Пусть, вопреки утверждению, множества И (Г) не являются равномерно ограниченными на [(„Т1. Это значит, что для любого натурального числа и найдутся 1„ен[гы Т1 и и„еп И(Г„) такие, что ~ и„~ - и, и = 1, 2, ... Так как отрезок [1,, Т1 — ограниченное замкнутое множество на числовой осн, то из последовательности [1„) можно выбрать подпоследовательность [1„~[, сходящуюся при и,— оо к некоторой точке т ~ [Гы Т[. Без ограничения общности можем считать, что сама последовательность [1,[ стремится к т. Так как семейство (г (1), Гь =-1< Т, непрерывно по Хаусдорфу в точке т, то для любого г) 0 найдется номер и, такой, что )г(Р(1„), Р (т))(г при всех п)п„. Согласно (8) это означает, что Р (1„) с: (1'(т))', и )пы Но (г(т) — ограниченное множество, поэтому его е-расширение (1' (т))' также ограничено. Тогда последовательность [и„[: и„ я Р (Г„)с с ()г(т))', и = 1, 2, , будет ограниченной.
В то же время по построению ~и„~ == и, и = 1, 2, ... Полученное противоречие доказывает лемму 1. 343 Лемма 2. Пусть )с(1), 1ь(1(Т,— семейство множеств из Е', причем в каждой точке Се=[С„Т) лсножество Ъ'(С) замкнупю, ограничено и непрерывно по Хаусдорфу. Тогда зто семейство равномерно непрерывно на отрезке [1„Т), т. е. для лкбого е)0 найдется 6)0 такое, что )с()) (С), )с(т)) <е для всех с, те-:[ссь Т), лшиь бьс /1 — т~(6. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множества )с (1) не являются равномерно непрерывными на [с„Т).
Это значит, что существует число еь) 0 такое, что для любого натурального числа и найдутся точки 1„, т„~[С„Т) для которых хотя',1.— т„,'(1Сп, но Ь($'(С ), )с(т„))З:есь п=1, 2, ... Из последовательности (С„) выберем подпоследовательность ~1„„), сходящуюся к некоторой точке (ен [1„Т). Так как, :ф— т„~ <1)п, то )т„,) также сходится к 1. Из непрерывности $'(С) по Хаусдорфу следует, что й()с[С„), )с(С)) — «О, )с()с(т„), )с(1)) — «О при А — «сю.
Тогда, пользуясь неравенством треугольника (9), получим )с [Р [1,,), )с (т„~)) ==.)с[ )с[С«ь), (с (С)) + й [)' [т„~), )с (С)) -ь 0 при й-«со. В то же время по построению й[1с(с„„), )г (т~,)) =- еь) О, й = 1, 2, ... Полученное противоречие доказывает лемму 2. О п р е д е л е н и е 3. Хаусдорфовьсм модулем непрерывности семейства множеств 1'(1), 1ь(г<:Т, называется функция сь~ (й) = зцр Й ()с (С), )с (т)), где верхняя грань берется по всем с, тен [Сь, Т), для которых',1 — т~-=.д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
