Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1125244), страница 67
Текст из файла (страница 67)
иц ) ем (угг строится так: У, ([и]„) = М вЂ” 1 = [о]лг=(оо от, ..., ом т) ~ж У,тл ~ 8(иь гг) А)г -0 . (46) а=е Эти задачи кратко будем называть задачами (34), (20) — (23), (46). Оказывается, если выполнены все условия теоремы 2 и, нроме того, функния л(и, о) непрерывна по совокупности (и, о) ~5 РХГ), выпунла по переменной о я 1) при каждом фиксированном и щ Р и вогнута по переменной и щ Р при каждом фиксированном о щ О, то последовательность задач (34), (20) — (23), (46) аппроксичирует задачу (33), (15) — (18), (45) по функции. Лля того чтобы убе.
диться в этом, достаточно проверить выполнение условий теоремы 4 Определим отображения Рм, Рл„Ол, гзч так же, как в задачак (14) — (18) и (20) — (23). Тогда условия (35), (38) будут выполняться. Проверим справедливость вкл]оченкй (36), (39). С этой целью заметим, что из выпуклости д(и, о) по переменнои о следует неравенство ьы ыз 1 а и, — ~ о(Г)г)1 = — ~ д(н, е(10 й, 50 лгз ! 1=0 А — 1, и =и, (47) / ж ! т обобщающее неравенство й, и, ~л а)от' ( ~~ Я(и,о,)пч гхГ~О >=-!, 1=1 ) ~Р ~«1= 1 (си. неравенство (4,2.2) из [4]). Аналогично, из вогнутости г и(и, о) по переменной и получаем (грт Оы И вЂ” ~ и(1)сЧ, о гз — ~ 4(и(1), о)й, 1 1 Аг! 3 ' Аг; г! 1=0, У вЂ” 1, Зафиксируем некоторое [и],=(и, ..., им з) и вольное управление и щ У (Рлг ([и] )), т.
е. о а У, и (1)) г(1 ( О. Тогла лля Ом(и) = (ое, о, 376 о ~ !'. (48) возьмем произ- 1 а(Р, ([и]. ) 1~ о , з), оа = Ою 1 — о(Г) !ГС 1=0, Ф вЂ” 1, с учетом неравенства (47) имеем Лг! Ф-! о («б о!) ЛГ! = М вЂ” ! Ггч ! 1 =-о !=о ч-! Г!.г! т ц(ио о(Г)) г(1=~ д(Рм([«]м), о (!)) 81~0, =а 'г! !.
Это означает, по С, (о) ~м Ггч ([и]!,,). Включение (36) доказано. )Галсе, за[пксируел! некоторое и =«! (Г) сн ГГ, наидем Г3 («,) = Г! ! 1 =(и, гг, ..., и, ), й.= — и (Г) !Гг, !'=О, Л! — 1, и возьмем произвольное управление [о]ч--(оо, ..., от, ) !и Г'м(Цм(«л)), т.е. М-! [о]гу ~м Ггм, ~~ 8! (Пг, о,) Лг! ~ О.
С Учетом неРавенства (48) тогда г=е имеем т м — ! О 1 а(«м(Г), Рте([г]т,)) г(г= ~~ ~ ГГ(«м(0 !) г(1~ г, ;=о к — ! г 0! аг — ! ч,. ° 8~ Л, ~ «,ч(1)8(,о! Лгг= ~д («г, ог)ЛГГ-=-О. Г=О г=о Это означает, что Ргг ([о)л,) ы )г (и ). Включение (39) также дока- вано. Неравенства (37), (40) являются следствием неравенств (27), (28). Таким образом, все условия теоремы 4 выполнены. Согласно теореме 4 тогда последовательность задач (34), (20) — (23), (46) аппрокснмирует задачу (ЗЗ), (15) — (18), (45) по функнин. о. Об условиях аппроксиманин более сложных максимннных задач знр Гп1 знр « а и ° ю !' « ) ~„ ю гг« (~г, «г, ..., ~„ т, «« !) !п1 У («г, ог, ..., и«, о«) = У„ (49) «« ы !'« ("! "! - «« и "«) задачами знр Гп1 знр 1«1!м есггм 1«1!м Я иГФ (Г«ГГФ) Г«1«ч Я Гт (1 1 Г« ГпГ " ° 1«]«г, м 1«1« — г, л)Г«1«мю!«м(1«)Гм Гг)Гм - ° 1«1«-Г, .и 1«1«м) Гм([«]гм [г]гх " [«]«и [о]«л)=)лз Л!=1 2 " (50) говорится в следующей теореме.
Здесь подразумевается, что функ- 377 пня г (и>, о,, ... и„, о„) определена на непустом множестве Х,Х хУ,х...хх„хУ„, функння (ы([и], „[о], ..., [и[„„[о]„) определена на непустом множестве Х ХУ .х...хХ„,хУ„, все множества, встречающиеся в (49), (50], также непус>ы, прячем У,: — Х,, У, (и,] ~= У>, ..., У„(и„о„..., и„„о„,] >= Х„, 1с,(и, о,, ..., о„, и„) ~ У„, Уды ы Х,>„У «([и],ч) ы У,ч, ..., ..., У„«([и[ ы, ..., [и[„. ы, [о]„) ы Х У.л ([и] м "" ]о].— д, ы [и]., ) — У..« Теорема 5.
Для того чтобы последовательность задач (50] аппроксимировала задачу (49) по функции, необходимо и достаточно выполнения следующих условий А и Рм Условие А; !) а) существует о>яображение Р „;. Х .— »Х такое, что Р,(У ы) ~У; б] для произвольного фиксированного [и] «>м >- У сущ™ествует отображение >сдлк У -» У „такое, что 0>„(У>(Р„,,([и], ))) ы У,„([и]„,); 2] а) для имеющегося Р ([и],ч) >ж У и произвольного фиксированного элемента о ы >и У (Р, ([и] )) существует отображение Р ы.' Хэы Хэ такое, что Рэы (Уэм ([и]д«, Яды (о л,))) ы г-У (Р>л, ([и] ), о ); б] для уже имеющихся [и] я У (о,) >ж У ([и]д,) и произвольного фиксированного [и] «>и >и У . (]и], (] (о )) существует отображение >еэы: 1' — » У такое, что >гэы (Уэ (Р>л'([и]>л) "дл' Рэл ([и]эм))) — Уэм ([и]дм (]ты(оды) [и]эм); и] а] для уже имеющихся Р ч([и]>ы) яУ, о ы >ж У (Р,([и] )) Р и ([и]вы) ы Уг (Рд«([и]д «), оды), оэл, е 1 в (Рды ([и]ды), одл, Р,ы ([и4'«)), ..., Р„ , „ ([и]„ ,, ) У„ , , (Р, ([и],„) Ря э ы([и]„л,), он э ы) и для произвольного фиксированного элемешна оя д ы ~к Уя д (]>д>ч ([и]дм), одл>.
° °, Р„д ы ([и]„д ы)) су>цествует отображение Р„> Х„-»- Х„, Р„«(У„ы ([и]ды (],ы(о„ч) ", [ ]„д,м >с, д,м(о, д,л))) — У.(р,ы([ ],н), »>ы, ", Р„«([и]„д м), о„,ч); б) д,>я уже имеющихся [и], >= е Ур, >»ы (о>у>) >Б 1 >>ч ([и]>л>), [и] «я Уэы ([и[ды, >>ды (о>л)) >]э«(игл ) >ж 1 ел (]и]ды >]ды (о>м) [и]гл) " >]~-д, л' (оя-д, л) ~ У.— Л (["] (] (" ) [и] " >].— э, (' -, ) [>г] —, ), и длл произвольного фиксированного ]и]„> >ж У„л, ([и] „>г ы (о )..., ..., [и]„„»,„, (о„,)) существует отображение »'яы: Уя -» У м такое "то >Еяы ("я (~ дл ([и]дм) о>м Рэм ([и]эы) Р. ([].")))="У.'([],,' Е,'.(,.), [],,' ...' "'(]я-д,л (оя-д,л) [и]я,ч) Для этих отобрижсний Р,, д]дм, ..., Р„, д]ял и уже имеющихся фиксированных выше элементов [и] ч, о и, ..., о„„[и]„ 378 справедливо неравенство 1пп (! ([и], »е .
(о ), ..., [и]„, »)гл, (о„м))— — ! (Р»ег ([и],н), о»м, ..., Р„м ([и)пм), о,ч)) (О пРи всех очм ~ 'гп (Р м ((и) м), о х», ..., ог» у, Рчм ([и]„м)). Условие В: 1) а) существует отображение ч!»,.: Х, ь Х, такое, что»д»м(У ) ы У лп б) для произвольного фиксированного и, »и У существует отображение Р: )г -ь У такое, что »И Р,ч (У~и (б~~(и„ч))) 1' (и»м); 2) а) для шчеющегося»е (и,) ш У и произвольного фиксиро.
воиново злемента (о] м ~ У (3 (и' )) суи(ествует отображение У~ге. Х Хгм такое, что»е' м (У (и ю, Р ч ()о),ч))) яв У УХ х(Я ч (и ), (о] ч); б) для уже имеющихся и ы У, Р,([о) ) сз ~ (г (и м) и для произвольного фиксировинного и м ~ У (и Р, ()о] )) существует отоб!»ажение Р,: 1' — )г таксе, что гл'( ~м(»и(»м)' ) ]»пч» гг»( ~»ч))) 1 х(»л" »м(( (»ж)' з»ч) и) а) для уже име»ощихся»й (и,)»н У „[о] ы ~»ч(»м (»м))' ~ам ( зю) гм (»м (»м)' ) !»гч)' ( 4»ч'»м »= 1 гм (~' »м(~»»ч)' [~)»»ч' »»з»ч (~гм))' "' ' »"л-»»ч (ил — »гг)» ~ У -»,'Ч (»ч»»У (и»у) (О)»М. " ч» -З,д'(и — Х,М) (О]н-»,Л) и дпя произвольного фиксированного [о]„, ы У„» и ф м (и ! ), (о) с)„»; (и„)) суигествует отображение Ц„м: х„х„ , " ""О б„'М"(У„(и»пн Р„((О)»„), ..., и„", „, Р„,,"Х Х ((о]п-», д ))) ~ !»пю (»е»м (и»м) (о)„»,ч); б) дла Уже имеюЩихса и Я У, Р, ([о) ) г= У (и ) и»ЫУ (и „, Р г ([о! )) Р ((о] )еи)г (и „Р ([о],) , ).
" Р„, ([]„) (»„,( Р, (И, )» Рв з м ([о(ч з м), и„» м) и для произвольного фиксированного и„м ~ Ун (и»м Р»м ((о]»м) " и„» дг Р„»»ч ((о(п»,у)) суще ствует отображение Рпм» учи -ь )гп, Ре у (у„ж (гч»»м (и»п) (о)»п»дзм(изд) " (о).-»,м У. (и. ))) — Ув(" м, Р»дг ([о[»м) итгг, ° Р„»»ч ([о]„»»ч), ин»ч1, Для »тих отображений ьг»м, Р м, ..., Цчп, Р„и уже имею- щихся фиксированных аыше элементы и»дп [о), ..., [о]г» д», и д» справедливо неравенство 1(ш (у(и,, Р, ([о] ), ..., и„, Р„([ ]„))— — !и (О»м (и,,), (о],, ..., Я„м (и„, ), [о)„)) ~ О при всех [о)„ю ~ у,м (У м (и лг), [о] д„..., (о)„»»ч, [»„м (и„,)).
Доказательство атой теоремы см. в (20). 6. В прикладных максиминиых задачах построение аппроксими- рующих задач, удовлетворяющих условиям с»рорь»улированных выше 379 (52! 153) (57! тир =ч ши теорем, далеко не всегда является простым делом. Например, в зада. , чах вида 133), (34) может встретить трудности построение отображений Р „Ом, Р, Ом, удовлетворяющих условиям 135), (36), (38), (39), обеспечение непустоты множеств У ч )с, ([и),).
Эти трудности еше более возрастают при исследовании более сложных задач (49), 150). Для преодоления указавных трудностей часто бывает полезно работать с расширениями множеств, встречающихся в исходной и аппроксимирующей максиминных задачах [19), [186], [187]. Здесь мы приведем результаты, принадлежащие Е, р. Лвакову и автору. Ограничимся рассмотрением задач (33), (34).
Теорем а 6. Для того чтобы последовательность задок (34) аппроксимировала задачу (33) по функции, необходимо и достаточно, гн чтобы существовали последовательности множеств [У н] ~ Х, ()с и (и)~, ['г'™(и)~ сн ]с таких, что У ~ чь гД и Г ~ (и) ~ (9 при и ш У, )с ~ (и) чь 09 при и ш У н, Лс =1, 2, ..., функция г' (и, о) определена при всех (и, о) еи [! 0 У м~! [] У1!х1', и кроме того, им= ! выполнены следующие условию 1) для каждого натурального числа Лс )! существует отображение Р: Х -ч-Х, и для произвольного фиксированново [и] ш Ум существует оспображение О, с 1' "г' такие, что Рм ([и!,) сп У М, 15!) Ом (о) сн Уг, ([и] ) при всех о сн У™ (Рте ([и],)) !ип (!м([и) „!1,(о )) — г (Р„([и], ), о ))~0 ( ~( [м)) 2) для каждого натурального числа Лсгв ! существует отображение От.
Х-ьХм, и для любого фиксированного им он У сун!ествует отображение Р: )' — 1' такие, что О (и„) =У„, (54! Р,([о],) ги[с ~(и,) при всех [о) сн у (О,(и )), 155) !сгп (г' (им, Рм ([о[к)) — !м (Ом (им), [и)л,)) - 0 (56) Ф со при всех [о], ш У, (О (и )) 3) справедливы неравенство 1'ип г' (О, ум) гв у„ М ьс !!гп г' (в,, у,) (у„ (58) где г (в, у )= аир !п1 У(и, о), г„(0, !!м)= ыю сс и ь ш к м !сс! 1п1 г'(и, о). ощ у Л' !ч) Лок а за тель ство.
Из определений величин у„(вж, у,) l (О, у ), !л, следует, что 11 для каждого М )! существуют и,„ги У такие, что (59) 1пп (у (О, уж) — l (иу„, ол,)) (О при любом выборе о ~ [г ~ (и ); 2) для каждого Л» -- ! существуют [и]ж„ш У, такие, что (60) !1ш ()л,— )» ([и[лэ [о], )) =0 Л» о» при любом выборе [о)м ш !' ([и]м„); 3) для каждого фиксированного элемента и чм У найдется ел» элемент о ~ [г (и,) такой, что тм !пп (з'(и, о ) — у„(а „у,))(0; (61) 4) для каждого фиксированного элемента [и[ ш У, найдется элемент (о)„. ы р,~, ([и)„,) такой, что (62) Справедливость соотиошенвй (59) — (62) устанавливается также, как и аналогичных соотношений (6) — (9) или (41) — (44). Необходимость. Пусть 1пп 1,, =/ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
