М.А. Давыдова - Математические модели гидродинамики (1125156), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Нестационарное течение вязкой однородной жидкости в трубе с круговымсечением. (Тема: “Начально-краевая задача Дирихле для уравнения теплопроводности вкруге.”). Пусть в горизонтальной цилиндрической трубе радиуса a с покоящейсяжидкостью внутри в момент времени t  0 задается постоянный продольный градиентp  , который остается постоянным в последующие моменты времени.

Еслидавления zZдекартовой системы координат совпадает с осью трубы, тоосьv z  0, v x  v y  0, p x  p y  0 . Пренебрегая действием силы тяжести из системы(3.9), (3.10) с учетом дополнительных условий (3.18), (3.19) получаем модельнуюначально-краевую задачу в круге K a с границей K a :  2vv z 2vz  1   , v z  , ( x , y )  K a ,   2z 2 ty   xv z ( x, y, t )  0, ( x, y )  K a , t  0,(4.33)v z ( x, y,0)  0, 0  r  a.Перейдем в полярную систему координат (r ,  ) и введем новую неизвестную функцию:u (r ,  , t )  2a  r 2   v z (r ,  , t ) .4Тогда из системы (4.33) для определения функции u (r ,  , t ) получаем задачу:37u  2 u 1 u 1  2 u, 0  r  a, 0    2 ,t r 2 r r r 2  2u (a,  , t )  0, t  0, 0    2 ,u (r ,  ,0) (4.34) 2a  r 2 , 0  r  a.4Частные решения уравнения (4.34), удовлетворяющие граничному условию приr  a , ищем в соответствии с методом разделения переменных [5]:u (r ,  , t )  u (r ,  )T (t ) .Тогда, подставляя это представление в уравнение из системы (4.34), находим 2 u 1 u 1  2 uT  r 2 r r r 2  2 2,Tuaгде  - произвольная постоянная величина.

Учитывая граничное условие из системы(4.34), для нахождения функции u (r ,  ) получаем задачу Штурма-Лиувилля для оператораЛапласа в круге: 2 u 1 u 1  2 u 2 2 u  0, 0  r  a, 0    2 ,22r r r rau (a,  )  0,(4.35)u  .Решение задачи (4.35) ищем в виде u (r ,  )  R(r ) ( ) . Подставляя этот вид в уравнение иразделяя переменные, имеемr  R   2r Rr r  r  a 2 ,Rгде   произвольная постоянная величина.

Для определения функции ( ) получаемзадачу Штурма-Лиувилля на отрезке с условиями периодичности     0, 0    2 ,  ( )   (  2 ) .cos n Решение этой задачи дается в [5]:  n  n 2 ,  n ( )  , n  0,1,2... При каждом sin n значении  n  n 2 имеем задачу Штурма-Лиувилля для оператора Бесселя:rd  dR    22   2 r  n  R  0, 0  r  a,rdr  dr   aR (a)  0,R  .Решение этой задачи также построено в [5]:38 n Rn ( r )  J n  k r  , a где J n  функция Бесселя n  го порядка, nk  k -тый корень уравнения J nk  1,2,3...Далее, приходим к уравнениюTnka2    0,nT 0общее решение которого представимо какTnk (t )  Aenka2t.Решение задачи (4.34) будем искать в виде рядаn n  2k tku (r ,  , t )   J n r ( Ank cos n  Bnk sin n )e a .an  0 k 1Учитывая вид начального условия из системы (4.34), полученное представление можнонесколько упростить: 0  20k tu (r , t )   A0 k J 0  k r e a . a k 1(4.36)С целью нахождения коэффициентов разложения (4.36) воспользуемся следующимсвойством ортогональности собственных функций задачи Штурма-Лиувилля дляоператора Бесселя [5]:2 n   n   k r  J  k r dr  a J  2rJn0 n  a  n  a 2 a  nkkk ,(4.37)где  kk  - символ Кронекера.

Коэффициенты A0 k определяются путем подстановкирешения (4.36) в начальное условие из системы (4.34): 0   k r AJa 2  r 2 .0k 0a4k 1 0  Умножая обе части полученного выражения на rJ 0  k r  , интегрируя по r от 0 до a и a используя формулу (4.37), имеем39A0 k a2 2J12    4  r aa0k20 0   r 2 J 0  k r dr . a ОтсюдаA0 k  2a 2320k  J 1  .0kИтак, решение задачи (4.33) представимо в виде2a 2 2v z (r , t ) a  r 2 4k 1J0  r a eJ   0k03 2k0k10ka2t,где 0k  k -тый корень уравнения J 0 ( 0 )  0 . При t   получаем распределениескоростей (4.19), отвечающее течению Пуазейля.4.6. Нестационарные слоистые течения.

Рассмотрим нестационарное течениевязкой жидкости, полагая, что, относительно выбранной системы координат жидкостьдвижется в направлении оси X . В этом случае v x  v x ( x, y, z , t ), v y  v z  0 . Поскольку, всоответствии с уравнением непрерывности (3.10), v x x  0 , то функция v x не зависит отпеременной x . Поэтому уравнения движения принимают вид (см. (3.9)):  2v 2 v x  v x1 p   2x , xz 2  t yv xpp 0, 0, 0.yzx(4.38)Так как левая часть в первом уравнении из системы (4.38) зависит только от переменных1 px и t , а правая – от переменных y, z и t , то уравнение разрешимо, если f (t ) . xЗдесь f (t ) - произвольная функция времени. При условии, что f (t )  0 , функцияv x ( y, z , t ) удовлетворяет двумерному уравнению теплопроводности:  2vx  2vxv x   2 tz 2 y.(4.39)Если же f (t )  0 , то заменаv x ( y, z , t )  v~x ( y, z , t ) t f (t )dt0сводит соответствующее уравнение к уравнению (4.39), но уже относительно функцииv~x ( y, z , t ) .40Вид частных решений уравнения (4.39) определяется видом начальных играничных условий.

Так, если эти условия не зависят от переменной y , то и решениезадачи также не будет зависеть от этой переменной. Такие математические моделиописывают течения из класса одномерных нестационарных течений.Пусть требуется найти решение уравнения (4.39) в бесконечной области приусловии, что начальная функция не зависит от переменной y . Таким образом, приходим кначальной задаче для одномерного уравнения теплопроводности на бесконечной прямой:v x 2vx, t  0, z  R 1 ,tz 2v x ( z ,0)  F ( z ), z  R 1 .(4.40)Частные решения уравнения (4.40) ищем в видеv x ( z , t )  Z ( z )T (t ) .(4.41)Подставляя (4.41) в уравнение (4.40), находимT  Z   ,T Zгде  - произвольная константа.

Для определения функции Z (z ) получаем задачуШтурма-Лиувилля на бесконечной прямой:Z   Z  0, z  R 1 ,(4.42)Z  M , M  0.При   0 задача (4.42) имеет систему ограниченных линейно независимых решений:e  i  z , z  R 1 . Пусть   k 2 ,    k   . Тогда совокупность частных решенийсистемы (4.42) можно представить в видеZ k ( z )  e ikz , k  k 2 , z  R 1 , k  R 1 .Функция T (t ) удовлетворяет уравнениюT    k T  0 ,общее решение которогоTk (t )  Ce k2t(4.43)стремится к нулю при t   .

Таким образом, ограниченные частные решения уравненияиз системы (4.40) представимы какv xk ( z , t )  C (k )e k2t  ikz.41Поскольку спектр задачи (4.42) непрерывен, то решение задачи (4.40) будем искать в видеинтеграла: C ( k )ev x ( z, t ) k 2t  ikzdk .(4.44)Неизвестный коэффициент C (k ) определяется в соответствии с начальным условием: C ( k )ev x ( z ,0) ikzdk  F ( z ) .Отсюда, используя обратное преобразование Фурье, имеем1C (k ) 2 F ( )eikd .Итак, 1v x ( z, t )   2 F ( )eik 21d  e k t ikz dk 2 G( z,  , t ) F ( )d ,(4.45)eгде G ( z ,  , t ) k 2t  ik ( z  )dk . Определим функцию G ( z ,  , t ) , вычислив соответствующийинтеграл.

Введем обозначения:I ( ) e 2 2k  ikdk ,  2  t  0,   z   .Тогда2 2dIi i ke  k ik dk   2d2 22e 2 k 2  ikdk  ike de 2 k 22 2i   2  e ik e  k2 I (  ).2 2Следовательно, функция I (  ) удовлетворяет уравнениюdI  2 I (  ).d2ОтсюдаI (  )  Ce24 2,42 e 2 2kde ik  гдеC  I (0) e 2 2kdk 12e  d .Итак,G( z,  , t ) 12 te( z  ) 24t.В соответствии с формулой (4.45) для решения задачи (4.40) получаем представлениеv x ( z, t ) 12 te( z  ) 24tF ( )d ,(4.46)называемое интегралом Пуассона.Заметим, что интеграл Пуассона был получен в предположении непрерывности иограниченности начальной функции F (z ) .

Однако, в приложениях нередко встречаютсяслучаи, для которых начальная функция является кусочно непрерывной и ограниченной сконечным числом точек разрыва. Здесь формула (4.46) также применима, но решениесоответствующей задачи непрерывно примыкает к начальной функции только в точках еенепрерывности, оставаясь при этом везде ограниченным при конечных t .4.6.1. Тангенциальный разрыв. (Тема: “Задача Коши для уравнениятеплопроводности на бесконечной прямой.”). Пусть в начальный момент времени заданораспределение скоростей, отвечающее тангенциальному разрыву в плоскости z  0 : v , z  0,v x ( z ,0 )   0  v 0 , z  0.Найдем распределение скоростей при t  0 , пользуясь представлением (4.46).Подставляя начальное распределение в (4.46), имеемv x ( z, t )  0v02 te( z  ) 24td v02 te0Делая замену переменной интегрирования z 2 t, d d2 t,   0    0  z2 tz2 t,   ,приходим к следующему результату43( z  ) 24td .v x ( z, t )  z2 te 2v0z2 te 20где  (u ) 2d e 2 0 2 v0d    ed  v0z2 t 022v0vv z d   e   0 d e  0 d  v0 ,t2z 02 t(4.47)u2e  d - функция ошибок.

Так как  ()  1,  (0)  0 , то скорость в0любой точке пространства изменяется по абсолютной величине от v 0 при t  0 до 0 приt .Рассмотрим решение (4.47). Вычислим следующие пределыlim v x ( z , t )  v0 так как z 2 t  ,   1,t 0z 0lim v x ( z , t )  v0 так как z 2 t  ,   1.t 0z 0Более того, если рассмотреть одновременный переход при z  0, t  0 вдоль кривойz 2 t   , где   произвольная величина,       , то значение предела будетзависеть от вида кривой:lim v x ( z , t )  v 0  ( ).t 0z 0Таким образом, решение (4.47), оставаясь везде ограниченным, при z  0, t  0предела не имеет, что связано с разрывными свойствами начальной функции на плоскостиz  0 при t  0 .4.6.2.

Движение твердой поверхности. (Тема: “Начально-краевая задача Дирихледля уравнения теплопроводности на полупрямой.”). Пусть неподвижная непроницаемаястенка z  0 , ограничивающая жидкость снизу, в момент времени t  0 начинаетдвижение с постоянной скоростью U 0 в своей плоскости. Будем считать, что направлениедвижения совпадает с направлением оси X . ТогдаU , z  0,v x ( z ,0)   0 0, z  0,v x (0, t )  U 0 , t  0 .(4.48)В силу симметрии задачи v y  v z  0, v x  v x ( z ) , причем v x (z ) удовлетворяетуравнению из системы (4.40).

Характеристики

Список файлов книги