М.А. Давыдова - Математические модели гидродинамики (1125156), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

[2]).В заключение этого пункта получим уравнение непрерывности, котороепредставляет собой дифференциальное уравнение закона сохранения вещества. МассаM жидкости, заключенной в жидком объеме V , равна M   ( x, y, z , t )d и остаетсяVпостоянной с течением времени. Известно, что если B ( x, y, z, t ) - некотораягидродинамическая величина, то справедлива формула [3]d dBB ( x, y, z , t )d   Bdivv d ,dt VdtV (1.4)где V - жидкий объем.

В соответствии с (1.4) имеемdM d  divv d  0.dtdtV В силу произвольности объема V и непрерывности подынтегральной функции, получаемуравнение непрерывности1 d divv  0 . dt(1.5)2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКИХ ИДЕАЛЬНЫХ СРЕД.2.1. Уравнение Эйлера. Идеальной жидкостью называется жидкость, в которойотсутствуют силы внутреннего трения, а значит, касательные составляющие напряженийравны нулю. Следовательно, в идеальной жидкости существуют только нормальныенапряжения, которые при деформации жидкости предотвращают ее разрыв.

Поэтомунормальные напряжения всегда направлены вглубь выделенного в идеальной жидкостиобъема и являются силами давления, называемого гидродинамическим давлениемидеальной жидкости. Возвращаясь к представлению (1.3) учтем тот факт, что в случаеидеальной жидкости вектор p n направлен противоположно вектору внешней нормали.Скалярно умножая (1.3) на e x , e y и e z , приходим к равенствам5 p n   p X ,  p n    p Y p n   p Zилиpn  pX  pY  pZ.Следовательно, в идеальной жидкости величина нормального напряжения (давления) независит от ориентации сечения.

Значит давление в одной и той же точке идеальнойжидкости одинаково во всех направлениях (во всех сечениях, проходящих через этуточку). С учетом этого уравнение (1.2) принимает вид (F - w) d   pds  0,V(2.1)Sгде p  -np . Воспользуемся преобразованиями Гаусса [3], которые формулируются длянепрерывной вместе с производными скалярной функции u ( x, y, z ) , определенной впространственной области V , ограниченной кусочно гладкой поверхностью S с внешнейнормалью n :Vud  u cos(n, e x )ds,xSVud  u cos(n, e y )ds,ySVud  u cos(n, e z )ds . (2.2)zSУмножая первое выражение в (2.2) на e x , второе – на e y , третье – на e z и складываярезультаты, получаем gradud   unds.VSПрименяя это преобразование к уравнению (2.1), находим (F - w)   gradpd  0 .VПредполагая непрерывность подынтегральной функции, в силу произвольности объемаV , а также учитывая представление (1.1) для вектора ускорения в эйлеровых переменных,приходим к основному уравнению движения идеальной жидкости (уравнению Эйлера)v1 ( v,  )v  F - gradp .t(2.3)62.2.

Модели жидких идеальных сред. Общую задачу о движении идеальнойжидкости можно сформулировать следующим образом: при заданном распределениивнешних массовых сил, определить координаты отдельной частицы в каждый моментвремени, скорости движения в каждой точке жидкости в каждый момент времени, а такжесилы внутреннего взаимодействия, то есть гидродинамические давления, в каждой точке вкаждый момент времени.Наиболее часто рассматриваются однородные среды. Плотность однороднойжидкости, характеризующая среду, как правило, известна (напр.

установленаэкспериментально):  ( x, y, z, t )  const . Соответствующую систему уравненийгидродинамики можно получить, если к уравнению Эйлера (2.3), представленномупокомпонентно, добавить уравнение непрерывности (1.5):v x vxtv y vxtvv xv1 p v y x  vz x  X , xxyzv yv yv y1 p vy vzY ,xyz yv zvvv1 p vx z  v y z  vz z  Z ,txyz zv x v y v z 0.xyz(2.4)Система (2.4), состоящая из четырех уравнений, является системой относительночетырех неизвестных функций: v x , v y , v z и p . Поэтому она замкнута.

Предположим,что удалось разрешить систему (2.4), то есть, что найдены следующие функцииp  f 1 (t , x, y, z ), v x  f 2 (t , x, y, z ),v y  f 3 (t , x, y, z ), v z  f 4 (t , x, y, z ).(2.5)Представления (2.5) содержат неизвестные константы, т. к. система (2.4) имеетбесконечно много решений. Для выделения единственного решения (2.4), котороесоответствует физическому процессу, нужно задать дополнительные условия, о которыхбудет сказано ниже. Для того чтобы в каждый момент времени определить координатычастицы, находившейся в начальный момент t  t 0 в точке ( x 0 , y 0 , z 0 ) , нужно решитьзадачу Коши для системы уравненийdx f 2 (t , x, y, z ),dtx(t 0 )  x 0 ,dy f 3 (t , x, y, z ),dtdz f 4 (t , x, y, z ),dty (t 0 )  y 0 , z (t 0 )  z 0 .При рассмотрении неоднородной несжимаемой жидкости (напр. несжимаемаяжидкость с примесью в поле силы тяжести (жидкость с плотностной стратификацией))7количество неизвестных функций увеличивается на одну:  ( x, y, z , t ) .

В этом случаеуравнение (1.5) распадается на два уравнения. В самом деле, т. к. жидкость несжимаема,то поток скорости vnds  0 , где S  любая кусочно гладкая поверхность, расположеннаяSвнутри объема с жидкостью V . Следовательно, по теореме Остроградского-Гауссаdivvd  0 , где V  объем, ограниченный поверхностью S . В силу произвольности V ,Vимеем divv  0 в объеме V . Тогда из уравнения (1.5) получаем уравнение дляопределения плотности: d dt  0 . Заметим, что для производной d dt в эйлеровыхпеременных справедлива формула, аналогичная (1.1) (подробнее см.

[2]):  ( v,  )  .t(2.6)Добавив к уравнениям (2.4) уравнение (2.6), замыкаем систему.Для сжимаемых сред характерна определенная зависимость между плотностью идавлением. В связи с этим различают баротропные и бароклинные среды.Баротропной средой называется среда, в которой плотность зависит только отдавления. Так как зависимость    ( p) , как правило, известна (напр., установленаэкспериментально), то для баротропных сред система уравнений гидродинамикиоказывается замкнутой. В самом деле, к уравнению Эйлера (2.3) добавляется уравнениенепрерывности (1.5).Бароклинной средой называется среда, плотность которой зависит не только отдавления.

Поэтому количество неизвестных функций увеличивается на одну:v x , v y , v z , p и  . Для того, чтобы замкнуть систему необходимо еще, по крайнеймере, одно уравнение. С целью получения недостающего уравнения запишемдифференциальное уравнение закона сохранения энергии для сжимаемой идеальнойжидкости. Полная энергия U движущегося жидкого объема V представляет собой сумму~кинетической энергии K и внутренней U (предполагается общий случай, когда внешнее1~силовое поле не потенциально): U  K  U , где K v 2 d .

Если E - значение2V~внутренней энергии, отнесенной к единице массы, то U  Ed . ПоэтомуV v2 E d . Приращение энергии U за время t  t 2  t1 складывается изU    2Vработы массовых сил A , работы поверхностных сил AS , притока тепла QS черезповерхность S , ограничивающую объем V и притока тепла Q от источников,распределенных в объеме с жидкостью:U  A  AS  Q  QS .(2.7)Работа массовых сил, действующих на элемент массы dm  d за единицувремени определяется как Fvd , где F - плотность массовых сил. Поэтому8t2A   Fvddt . Работа поверхностных сил, действующих на элемент поверхности ds , заt1 Vединицу времени равна p n vds , где p n - плотность поверхностных сил (напряжение).t2Следовательно AS  pnvdsdt .

Если q n - количество тепла, поступающее в единицуt1 St2времени через единицу поверхности в объем V , то QS   q dsdt . Для многихnt1 Sизотропных сред справедлив закон теплопроводности Фурье, определяющий плотностьтеплового потока:qn  kT,nгде T n - скорость изменения температуры в направлении нормали n , k - коэффициенттеплопроводности, величина которого зависит в основном от температуры.

Введем врассмотрение скорость объемного выделения тепла  , как количество тепла, выделяемоеt2единицей объема за единицу времени. Тогда Q    ddt . Подставляя найденныеt1 Vвыражения в (2.7) и используя теорему о среднем, предположив непрерывностьподынтегральных функций, приходим к соотношениюU   Fvd   t   p n vdS  t  t t * t t**VS T kdS  t n t t***S t ,   d  t t****Vгде t*, t * *, t * **, t * * * *  (t1 , t 2 ) . Сократив обе части уравнения на t и переходя кпределу при t  0 , имеемdUT Fvd  p n vdS  kdS   d .dtnVSSVС другой стороны, используя (1.4), находимdU ddtdt V  dv dE  d  v 2 v2 v2 E d     vEEdivvd  2 2dtdtdt 2V   9 dv dE   vd . dt dt VЗдесь учитывалось уравнение (1.5). Таким образом, получаем закон сохранения энергиидля сжимаемой теплопроводящей среды в интегральной форме dvdE    v dt  dt d   Fvd   pVVnvds  kSSTds   d .nV(2.8)Преобразуем поверхностные интегралы, содержащиеся в выражении (2.8), в объемные.

Характеристики

Список файлов книги