М.А. Давыдова - Математические модели гидродинамики (1125156), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Однако, представлением (4.46) воспользоваться нельзя, таккак исследуемая задача является начально-краевой.Рассмотрим функцию44 z , z  0, t  0 .v x ( z , t )  U 0 1   2 t  (4.49)Функция (4.49) удовлетворяет одномерному уравнению теплопроводности приz  0, t  0 . Если z  0, t  0 , то z 2 t   . Поэтому  z 2 t  1 , иlim v x ( z , t )  0 .t 0z 0Если рассмотреть одновременный переход к пределу при z  0, t  0 , например,z  , 0     , то в результате получимвдоль кривой2 tlim v x ( z , t )  U 0 1   ( ).z 0  0t 0z2 tТаким образом, значение искомого предела зависит от значения  .

Итак, функция (4.49)является решением уравнения (4.40) при z  0 с дополнительными условиями (4.48). Эторешение не имеет предела при z  0, t  0 .Заметим, что решение задачи о движении твердой поверхности, как решениеначально-краевой задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой, может бытьполучено при помощи общего метода исследования данного класса линейных начальнокраевых задач, известного под названием принципа Дюамеля [5].4.6.3. Течение под действием касательного напряжения.

(Тема: “Начальнокраевая задача Неймана для уравнения теплопроводности на полупрямой”.). Исследуемпроблему возникновения морских течений под действием ветра постоянной силы спомощью простейшей математической модели, описывающей это явление.Пусть жидкость, занимающая полупространство z  0 , в начальный моментвремени покоится:v x ( z ,0)  0, z  0.(4.50)При t  0 на свободную поверхность жидкости в направлении оси X начинаетдействовать постоянное касательное напряжение величины  , которое остаетсяпостоянным в последующие моменты времени, так что p zx z 0   , t  0 , гдеp zx  соответствующая компонента тензора напряжений (см. (3.4)).

Посколькуv y  v z  0, v x  v x ( z ) , то на границе выполняется условиеv xz, t  0.(4.51))z 0Определим распределение скоростей в жидкости, течение которой описываетсяодномерным уравнением теплопроводности с дополнительными условиями (4.50), (4.51).Выполним замену неизвестной функции:45w( z , t )  v x.zОчевидно, что новая неизвестная функция удовлетворяет уравнениюw2w 2  0 ,tzпричемw( z ,0)  0, z  0,w(0, t )   ,t  0.Решение этой задачи представимо формулой (4.49) с заменой U 0 на  , z на  z :z w( z , t )   1   , z  0, t  0 . 2 t  Итак,v x2  1 z 22e  d     0z2 t 2222e  d e  d   00zz2 t2 te 2d .Дифференцируя это выражение по z , находим производную  2 v x z 2 :z2 t v2 2x limz a  z2e 2az 1 zv a 2 da 4t4ted ee xlimdz t a  2 tt22в силу выполнения уравнения v x t    2 v x z 2  0 .

Следовательно,tv x ( z, t ) 0z2e 4t dt ,tгде учтено, что v x ( z ,0)  0 . Полагая z 2 t   , находим11 2z 2zt dt  . d , 0  t  t     22 2 tПоэтомуzv x ( z, t ) z 2 t2e  d1.462Интегрируя полученное выражение по частям, окончательно имеем z   t  4t, z  0 .v x ( z , t )  2e z  z   2 t z2Отсюда видим, что скорость на свободной поверхности равнаv x (0, t ) 2 t.При больших временах (t  1) и фиксированных z оказываются справедливымиоценки:  z 2 t  0,Следовательно,v x ( z, t ) 2 tt  ez24t2 ze  2    z 2    z , где   z 2 t  1 ., z  0 , t  1,и, значит, жидкость стремится принять скорость свободной поверхности.

Определим, закакое время скорость на фиксированной глубине z будет равна v x (0, t ) 2 . Для этогонужно решить уравнение: z  t   t  4t, z  0 . 2e z  z     2 t z2Если положить z 2 t   , то численное решение алгебраического уравнения 1 2e      2   1дает значение   0.35 .

Отсюда,z  0.7 t .В соответствии с полученной формулой на глубине в 100 м частицы воды будутдвигаться со скоростью свободной поверхности только спустя 359 лет. Такое описаниеявляется примером простейшего моделирования течения жидкости в приповерхностномслое под действием ветра постоянной силы.Методическое пособие составлено по материалам учебного пособия [2].ЛИТЕРАТУРА1. Т.Г. Елизарова. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязкихтечений.-М: Научный мир, 2007.472. М.А. Давыдрва.

Лекции по гидродинамике. М.: Наука. Физматлит . (Принято кпечати).3. Б.М. Будак, С.В. Фомин. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука. Физматлит, 2002.4. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Гидродинамика. М.: Наука. Физматлит, 2001.5. А. Г. Свешников, А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов. Лекции по математической физике.М.: Изд-во МГУ, 1993.6. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика.

Часть 1, 2. М.:ФМГИЗ, 1963.7. Г. Ламб. Гидродинамика. М.: Ижевск: РХД., 2003.8. Л. Г. Лойцянский. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970.9. В.Я. Шкадов, З.Д. Запрянов. Течения вязкой жидкости. – М.: Изд-во МГУ, 1984.48.

Характеристики

Список файлов книги