М.А. Давыдова - Математические модели гидродинамики (1125156), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Найдем потенциал, отвечающий такому движению.Очевидно, что на границе D объема с жидкостью выполняется условие равенстванулю нормальной компоненты скорости:vnDvnD 0.Значит vn D  n grad D n 0,D22где n - внешняя нормаль по отношению к D . Следовательно, потенциал в области Dудовлетворяет однородной краевой задаче Неймана для оператора Лапласа  00n Dв D,которая имеет классическое решение  ( M )  C , причем постоянная C произвольна.Отсюда приходим к выводу, что жидкость в D покоится.Если односвязный объем с несжимаемой жидкостью ограничен неподвижнойстенкой, причем на одной части границы потенциал имеет постоянное значение, адругая часть границы непроницаема, то внутри объема не может существоватьбезвихревое движение.Допустим, что жидкость в области D совершает потенциальное движение. Тогдапотенциал будет удовлетворять краевой задачев D,  0 0,  D  C , D1  D2  D.2n D1(4.2)(4.3)Очевидно, что задача (4.2), (4.3) имеет классическое решение   C .

Докажем егоединственность.Пусть существует еще одно классическое решение    0  С задачи (4.2), (4.3).Тогда функция    0  С удовлетворяет однородной задаче  0, M  D, . 0,  D  0, D1  D2  D.2n D1Полагая в первой формуле Грина [5]Dvud  vDuds  uvdnDu  v   , получим   d   ds  ( ) 2 dnD   d   ds  ds  ( ) 2 d .nnDDDDилиDD12В силу уравнения (4.4) и граничных условий (4.5), имеем23(4.4)(4.5) ( )2d  0 .DОтсюда находим, что grad  0 в D . Следовательно,   0 в D , что и требовалосьдоказать.4.2. Плоские задачи о движении тел в идеальной жидкости. (Тема: “Примерыпостановок внешних краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа”.)Хорошо изученным классом течений жидкости являются плоские потенциальныетечения. Если при движении жидкости линии тока (линии, в каждой точке которых вданный момент времени вектор скорости является касательным) представляют собойплоские кривые, расположенные в параллельных плоскостях, а частицы, лежащие наодной прямой, перпендикулярной к этим плоскостям, совершают одинаковые движения,то такое движение жидкости называется плоскопараллельным или плоским.

Предположим,что жидкость совершает плоское движение параллельное плоскости XY . Тогда всехарактеристики движения будут зависеть от двух пространственных переменных. Еслипри этом жидкость несжимаема, то справедливо уравнение непрерывностиv x v y0.yxПоэтомуv x  (v y ).yx(4.6)Дифференциальное уравнение линий тока имеет видdxdyv x ( x, y , t ) v y ( x, y , t )или v y dx  v x dy  0 .(4.7)Выполнение равенства (4.6) является необходимым и достаточным условием того, чтовыражение (4.7) представляет собой полный дифференциал, то есть, что существует такаяскалярная функция  ( x, y, t ) , для дифференциала которой справедливо представлениеd  v y dx  v x dy  0 ,(4.8)причем24 x  v y    y ,  y  v x   x .Интегрируя (4.8), получаем ( x, y, t )  const вдоль линии тока.Функция  ( x, y, t ) называется функцией тока и вводится для описания плоских потоков.Если плоское движение потенциально, то компоненты вихря скорости равны нулю:v z v y 0,yzv x v z 0,zxv yxv x 2  2  2  2  0.yxyСледовательно, функция тока является гармонической функцией по пространственнымпеременным.4.2.1.

Пусть цилиндрическое тело с произвольным гладким сечением  движется видеальной жидкости, причем обтекание будем считать потенциальным. При этом функциятока является гармонической во внешней, по отношению к цилиндру, области De :  0, ( x, y )  De .(4.9)Если тело движется в жидкости, которая покоится на бесконечности, то на бесконечностивыполняются условия 0,x 0, ( x, y )   .y(4.10)Поскольку сечение поверхности цилиндра является гладкой кривой, то в каждойточке контура  определена нормаль n и касательный вектор τ .

Обозначим через  уголмежду вектором τ и осью X (рис. 1).Рис. 1.25Тогда для нормальной составляющей скорости движения частиц жидкости на границеимеем выражение:vn  v x cos(n, e x )  v y cos(n, e y )    v x sin   v y sin( τ, e y )    v x sin   v y cos   .Далее, если ds - бесконечно малый элемент кривой  , а dx и dy - проекции ds накоординатные оси, то, вводя натуральный параметр s , определяемый как расстояние отнекоторой фиксированной точки на  до произвольной, окончательно находимvn  dy  dx dx d dy   vx vy.  ds    y ds x ds  ds  dsПусть цилиндр движется со скоростью u  u x , u y  .

Тогда на поверхности цилиндраимеет место граничное условие (2.13)vn (u, n)   u x sin   u y cos  илиdds u x sin   u y cos   .(4.11)Произвольное движение цилиндра можно разложить на поступательное движениесо скоростью U пост  U ,V  и вращательное движение, осуществляемое вокруг началакоординат с угловой скоростью ω . Тогда, если u - скорость движения некоторой точки наконтуре  , r - радиус-вектор, проведенной из начала координат к выбранной точке, тоu  U пост  [ω, r ] .Следовательноu x  U  y, u y  V  x .Поэтому, в силу (4.11)ddsdydx  U  y sin   V  x  cos     U  y   V  x   .dsds  Интегрируя вдоль  , находим Uy  Vx 2( x 2  y 2 )  const , ( x, y )  .26(4.12)Таким образом, для определения функции тока получаем внешнюю задачу Дирихле (4.9),(4.10), (4.12) для уравнения Лапласа, куда время входит как параметр.

Заметим, чтофункция тока, также как и потенциал скорости, определяется с точностью до аддитивнойпостоянной.4.2.2. Задачу о движении цилиндра можно решать путем поиска функции  ( x, y ) .Вне контура  потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа  0, ( x, y )  De .(4.13)На самом контуре выполняется условие (2.13)vn (n, grad )n (u, n)  .(4.14) (U  y )n1 ( x, y )  (V  x)n2 ( x, y ), ( x, y )   ,где ni ( x, y )  направляющие косинусы единичной нормали n , которые являютсяизвестными функциями, т.к.

контур  задан. Поскольку на бесконечности жидкостьпокоится, то 0,x 0, ( x, y )   .y(4.15)Следовательно, для определения потенциала скорости получаем внешнюю задачуНеймана (4.13)-(4.15) для уравнения Лапласа.4.3. Стационарные течения вязкой однородной жидкости в трубах.4.3.1. Течения в трубах с круговым и эллиптическим сечениями. (Тема: “Краеваязадача Дирихле для уравнения Пуассона в круге”.) Рассмотрим ламинарное (слоистое)течение однородной вязкой жидкости в трубе с гладким сечением, вызванное продольнымpppградиентом давления, независящим от времени: 0, 0, 0 .

Будем считать,xyzчто ось Z направлена вдоль оси трубы по течению жидкости. Типичным свойствомламинарных течений является изменение характера течения только в связи с изменениемвнешних условий и внешних сил. В остальных случаях течение сохраняет свой спокойныйхарактер. При изменении параметров трубы, скорости течения или физическиххарактеристик жидкости движение может стать беспорядочным (турбулентным).Для определения распределения скоростей в трубе имеем систему уравненийгидродинамики, которая следует из системы (3.9), (3.10)  2vz  xp 0,x2 p , zv zp 0,0yz 2vzy 2(4.16)с граничными условиями (3.16), (3.19)v  0, r  S T ,(4.17)v  , r  D ,27где D - область, расположенная внутри поверхности трубы S T . Из системы (4.16)следует, что v z  v z ( x, y ), p  p ( z ) .Наиболее важным частным случаем является течение по трубе с круговымсечением радиуса a .

Переходя в полярную систему координат (r ,  ) , из системы (4.16),(4.17) получаем краевую задачу Дирихле для уравнения Пуассона в круге 2 v z 1 v z1  2 v z 1 dp, 0  r  a, 0    2 ,r 2 r r r 2  2  dzvzr a 0,(4.18)v z  .Далее, так как p  p(z ) , а v z  v z (r ,  ) , то выполнение уравнения из системы (4.18)dpr 2 dpвозможно, если, const .

Решение задачи (4.18) ищем в виде v z (r ,  )  w(r ,  ) 4  dzdzгде функция w(r ,  ) удовлетворяет краевой задаче Дирихле для уравнения Лапласаw  0, 0  r  a, 0    2 , w r  a  a 2 dp,4  dzw  .Решение краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа внутри круга,ограниченное при r  0 , дается формулой [5]nArw(r ,  )  0      An cos n  Bn sin n ,2 n 1  a An , Bn  const.Учитывая граничное условие при r  a , находим A0  a 2 dp,2  dzAn  0, n  0, Bn  0 .Следовательно,v z (r )  1 dp 2a  r2 .4  dz(4.19)Функция (4.19) является классическим решением задачи (4.18), и, значит,единственным ее решением в силу теоремы единственности [5].Течение с профилем скорости (4.19) называется плоскопараллельным течениемПуазейля. Если p1 и p 2 - давления в двух точках, отстоящих на расстояние l друг отдруга, тоp  p2dp 1.dzlПоэтому распределение (4.19) можно переписать в видеv z (r ) p1  p 2 2a  r2 .4lДругое частное решение задачи (4.16), (4.17) будем искать в виде28v z ( x, y )  Ax 2  By 2  C .(4.20)Подставляя (4.20) в (4.16), получаем(2 A  2 B) 1 dp. dz(4.21)Условие на поверхности трубыvzST Ax 2  By 2  ClT0означает, что сечением lT трубы, для которого распределение скоростей представимоформулой (4.20), является эллипсx2 y2 1,a2 b2где a 2  CC, b 2   , a и b - полуоси эллипса.

Поэтому, в соответствии с (4.21),ABC C1 dp 2 22 dzabили1 p1  p 2 a 2 b 2C.2la2  b2Следовательно, распределение скоростей при ламинарном течении в трубе сэллиптическим сечением имеет видv z ( x, y ) 1 ( p1  p 2 )a 2 b 22 la2  b2x2 y2 1  2  2  .b  a(4.22)При a  b из формулы (4.22) получаем профиль скорости (4.19) для теченияПуазейля.4.3.2.

Характеристики

Список файлов книги