М.А. Давыдова - Математические модели гидродинамики (1125156), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Поформуле Остроградского-ГауссаT k n ds   nkgradTds   div(kgradT )d .SSVВыражение для работы поверхностных сил легко преобразуется в интеграл по объему,если учесть преобразования Гаусса (2.2):p n vds   pnvds   p v x cos(n, e x )  v y cos(n, e y )  v z cos(n, e z ) ds SSS    pv x    pv y    pv z d    pdivv  vgradp d .xyzV VПодставляя найденные выражения в (2.8) в силу произвольности объема V приходим куравнениюvdvdE   div(kgradT )  Fv - pdivv - vgradp .dtdtУчитывая (2.3), окончательно находимdE   div(kgradT ) - pdivv .dt(2.9)При адиабатическом движении идеальной жидкости имеем уравнение10dEp - divv .dtЕсли в качестве идеальной жидкости выступает идеальный газ, тоdEdT cV,dtdtгде cV  удельная теплоемкость в изохорном процессе.

Пусть зависимость E   (T , p)известна. Тогда добавив к уравнениям (1.5), (2.3), (2.9) уравнение состояния( p ,  , T )  0 .(2.10)приходим к замкнутой системе уравнений, которая соответствует движению идеальнойтеплопроводящей бароклинной жидкости (модель идеальной сжимаемойтеплопроводящей жидкости). Например, при рассмотрении движений идеального газауравнение (2.10) представляет собой уравнение Менделеева-Клапейронаp  RT ,где R  k 0 m 1  универсальная газовая постоянная; k 0  постоянная Больцмана,одинаковая для всех газов; m  средняя масса молекулы в граммах.2.3. Начальные и граничные условия. Гидродинамическая система уравнений,являясь системой дифференциальных уравнений, имеет бесконечное множество решений.Для того чтобы выделить единственное решение системы, соответствующее физическомупроцессу, необходимо задать дополнительные условия, включающие в себя начальныераспределения и граничные условия.

В качестве начальных условий в эйлеровыхпеременных, например для системы (2.4), используется распределения скоростей вначальный момент времени t  t 0 :v x ( x, y, z, t 0 )  1 ( x, y, z ), v y ( x, y, z , t 0 )   2 ( x, y, z ), v z ( x, y, z, t 0 )   3 ( x, y, z ). (2.11)Условия, задаваемые на границах области, зависят от характеристик границы. Еслижидкость граничит с неподвижной твердой стенкой S T с уравнением поверхностиG ( x, y, z )  0 , то граничное условие имеет видv n  ( v, n)  0, r  S T ,(2.12)11где n  G x , G y , G z  нормаль к поверхности границы S T , r - радиус-вектор,проведенный из начала координат в рассматриваемую точку. Условие (2.12) можнопереписать в видеvxGGG vy 0, r  S T . vzxzyЕсли же стенка движется со скоростью VT , то нормальная составляющая скоростичастиц жидкости в любой точке на поверхности должна равняться нормальнойсоставляющей скорости движения поверхности:( v, n)  (VT , n) r  S T .(2.13)При условии, что поверхность является свободной, уравнение поверхности зависитот времени: G (t , x, y, z )  0 .

Частицы жидкости на свободной поверхности S p движутсявместе с поверхностью, не пересекая ее. Поэтому если частица в момент времени tнаходилась на поверхности в точке ( x, y, z ) , то в следующий момент t  t она окажется вточке ( x  x, y  y, z  z ) , но все еще будет находиться на поверхности:G (t  t , x  x, y  y, z  z )  0, r   r  S p .Используя разложение в ряд Тейлора, и ограничиваясь членами первого порядка,получаемG (t , x, y, z ) GGGGt x y z  0 , r   r  S p .txyzУчитывая уравнение свободной поверхности и переходя к пределу при t  0окончательно находим кинематическое условие на свободной поверхностиG GGGvx vy v z  0, r  S p .txyzПри переходе через границу свободной поверхности давление не испытываетскачок. Если n1 -нормаль к свободной поверхности S p , а p1 - соответствующеенапряжение, то p1   p 0 n1 , где p 0  атмосферное давление.

Пусть n 2  -n1 . Тогданапряжение p 2 , действующее в сечении с нормалью n 2 , равно p 2   p 0 n 2 . Такимобразом, получаем динамическое условие на свободной поверхности12(p1 , n1 )  (p 2 , n 2 )   p0 , r  S p .При изучении движений идеальной жидкости в замкнутом объеме во всехвнутренних точках области должно выполняться условие ограниченности решенийгидродинамической системы (внутренняя задача гидроаэродинамики). Если областьсодержит бесконечно удаленные точки (внешняя задача гидроаэродинамики), то набесконечности также должно выполняться условие ограниченности решений. Например, вслучае задачи об обтекании тела поступательно движущимся потоком скорость жидкостина бесконечности обязана стремиться к скорости невозмущенного потока. Если жерассматривается задача о движении тела в невозмущенной жидкости, то на бесконечностискорость движения жидкости должна стремиться к нулю.3.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКИХ ВЯЗКИХ СРЕД. 3.1. Понятиевязкой жидкости. Закон Навье-Стокса. Взаимодействие частиц жидкостихарактеризуется напряжениями поверхностных сил, то есть силами взаимодействия,отнесенными к единице площади соприкосновения жидких частиц. Как уже отмечалосьранее, в случае идеальной жидкости вектор напряжения p n имеет только нормальную кповерхности соприкосновения составляющую, направленную вглубь выделенного объема.Таким образом, взаимодействие частиц идеальной жидкости характеризуется давлениями.При движении вязкой жидкости наряду с нормальной составляющей напряжениявозникает касательная составляющая, называемая силой внутреннего трения (силойвязкости), которая проявляет себя в виде сопротивления жидкости процессу деформации.Рассмотрим движущуюся жидкость. Пусть O  некоторая точка (полюс) внутрималого объема с жидкостью V , A  точка из окрестности полюса, ρ   , ,    вектор,проведенный из точки O в точку A .

Тогда скорость v  v x , v y , v z  точки A представима ввиде векторной суммы (теорема Коши-Гельмгольца [2])v  v 0  v1  v 2 ,(3.1)1rotv  ρ - скорость вращательного движения2вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс O ; v 2  v 2 x , v 2 y , v 2 z  скоростьгде v 0 - скорость движения полюса; v 1 1111деформационного процесса, где v 2 x   1   3   2 , v 2 y   3   2  1 ,2222v yv yvvv11,  3  z , 1  z ,v 2 z   2  1   3 ,  1  x ,  2 xyzyz22v y v xvv2  x  z , 3 .

Таблица из девяти величинyxxz11 32 122 11 1   3  222 111  3  222называется тензором скоростей деформации. Тензор  полностью описывает динамикудеформационного процесса, происходящего в малой окрестности выбранного в жидкости13полюса.

Если все девять компонентов тензора обращаются в ноль, то скоростьдеформации равна нулю и, следовательно, скорость всякой частицы из окрестности точки1O представима известной формулой для твердых тел: v  v 0  ω  ρ , где ω  rotv  ρ 2вектор угловой скорости.Далее, вернемся к формуле (1.3) и составим из проекций векторов p X , p Y и p Z накоординатные оси следующую таблицу p xx   p yxp zxp xyp yyp zyp xz p yz  ,p zz которая определяет тензор напряжений. В случае идеальной жидкости недиагональныекомпоненты тензора напряжений  обращаются в ноль, так как p X  e x p xx  e x p,p Y  e y p, p Z  e z p . Поэтому0  p 0   0  p 0 . 00  p 0Если вязкая жидкость покоится, то напряженное состояние в ней такжехарактеризуется тензором  0 . При своем движении вязкая среда деформируется, причемпроцесс деформации сопровождается возникновением дополнительных напряжений, вчастности касательных.

Величины касательных напряжений тем больше, чем быстреедеформируется среда, т.е. чем быстрее разные слои жидкости движутся друг относительнодруга. Таким образом, изменение напряжений в движущейся жидкости непосредственносвязано со скоростью деформационного процесса. Это позволяет высказатьпредположение о существовании определенной связи между компонентами тензоровнапряжений и скоростей деформации. Такую связь устанавливает закон Навье-Стокса.В основу модели вязкой жидкости положены следующие предположения:- составляющие тензора напряжений при стремлении вязкости к нулю должныстремиться к составляющим тензора напряжений в идеальной жидкости;- жидкость изотропна (физические свойства жидкости одинаковы по всемнаправлениям);- компоненты тензора напряжений есть линейные функции компонентов тензораскоростей деформации.В соответствии с первым утверждением тензор напряжений представим в виде   0      pE    ,(3.2)где E - единичный тензор,   - вязкий тензор напряжений, компоненты которогостремятся к нулю, если вязкость стремится к нулю.

Компоненты тензора  предполагаются линейными функциями компонентов тензора  . Наиболее общий видтакой зависимости выражается формулой [4]   Edivv  2 ,(3.3)14где  и  - скалярные характеристики среды, присутствие которых в (3.3) отражаютсвойство изотропности среды. Коэффициент  называют первым коэффициентомвязкости,  - вторым коэффициентом вязкости. Соотношения (3.2), (3.3) представляютсобой закон Навье-Стокса. Представим (3.3) покомпонентноp xx   p  divv  2 1 ,p xy  p yx   3 ,p yy   p  divv  2  2 ,p zz   p  divv  2 3 ,p xz  p zx   2 ,p yz  p zy  1 .(3.4)В рамках рассматриваемой модели часто полагают   const и    2 3  , считая,что гидродинамическое давление p равно среднему арифметическому от трехнормальных давлений p xx , p yy и p zz , взятому со знаком минусp1 p xx  p yy  p zz  .3Из (3.4) непосредственно следует, что вязкий тензор   обращается в ноль, если жидкостьпокоится или движется с постоянной скоростью, а силы трения возникают только в техслучаях, когда различные части жидкости движутся с разными скоростями.3.2.

Уравнение Навье-Стокса. Рассмотрим уравнение (1.2). Применимпреобразования Гаусса (2.2) к компонентам вектора p x :p xx cos(n, e x )ds p xz cos(n, e x )ds SSVp xxd ,xp xzd .xVp xy cos(n, e x )ds SVp xyxd ,Умножая первое выражение на e x , второе – на e y , третье – на e z и складывая результатыумножения, имеем p x cos(n, e x )ds Sp y cos(n, e y )ds SVVp yyd ,Sp xd .

Аналогично получаются равенстваxp z cos(n, e z )ds Vp zd . Следовательноzp n ds   p x cos(n, e x )  p y cos(n, e y )  p z cos(n, e z ) ds SSp y p z  pd .  x xyzVПодставляя (3.5) в (1.2), в силу произвольности объема V приходим к уравнению15(3.5)F-w1  p x p y p z  xyz  0(3.6)или покомпонентноp yx p zx dv x1  p, X   xx   xyz dtdv y1  p xy p yy p zy , Y    xz ydtp yz p zz dv z1  p. Z   xz   xz ydt(3.7)Преобразуем уравнения (3.7), учитывая представления (3.4) для компонентов тензоранапряжений.

Характеристики

Список файлов книги