М.А. Давыдова - Математические модели гидродинамики (1125156), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Имеем 2vx 2vxp xx p yx p zxp 2     divv  2 yzx 3 xxx 2y 2 2v y 2vx 2vzp 2     divv 2xzx 3 xxyzp 1  v x   divv     divv  v x .xx 3 xАналогично преобразуются правые части в двух других уравнениях из системы (3.7).Подставляя эти соотношения в (3.7) и учитывая, что     (кинематическийкоэффициент вязкости), приходим к уравнениям Навье-Стоксаv xvvv1 p  divv  v x , vx x  v y x  vz x  X txyz x 3 xv yv yv yv y1 p   vx vy vzY divv  v y ,txyz y 3 yv zvvv1 p   vx z  v y z  vz z  Z divv  v z ,txyz z 3 zили (векторная форма представления)v1 ( v,  )v  F  gradp  graddivv  v .t316(3.8)3.3.

Модели жидких вязких сред. Если среда однородна и   const , то уравненияНавье-Стокса принимают видvvvv x1 p vx x  v y x  vz x  X  v x ,yz xxtv yv yv yv y1 p v y ,Y  vz vy vx yzyxtv zvvv1 p vx z  v y z  vz z  Z  v z . ztxyz(3.9)Объединяя (3.9) с уравнением непрерывностиdivv  0 ,(3.10)получаем замкнутую систему из четырех скалярных уравнений относительно четырехнеизвестных функций: v x , v y , v z и p .

Если несжимаемая жидкость неоднородна, то куравнениям (3.9), (3.10) следует добавить уравнение для определения плотности среды(2.6), которое замыкает соответствующую систему.В общем случае объединяя уравнение непрерывности (1.5) с уравнениями НавьеСтокса (3.8), приходим к незамкнутой системе, которую можно замкнуть, есливоспользоваться законом сохранения энергии с целью получения недостающегоуравнения. Интегральная форма закона сохранения энергии для движущегося объемажидкости была получена ранее и давалась формулой (2.8).

Вычислим второе слагаемое вправой части (2.8), имеющее смысл работы поверхностных сил за единицу времени. Дляэтого воспользуемся формулой (1.3) и преобразованиями Гаусса (2.2):p n vdS  p x v cos(n, e x )  p y v cos(n, e y )  p z v cos(n, e z ) ds SS  p x v   p y v   p z v d .xyzV (3.11)Подставляя (3.11) в (2.8), получаем dv dE d  Fvd   d   p x v   p y v   p z v d yzx dt dt VVV   vV div(kgradT )d .(3.12)VВ силу произвольности выбора объема V в (3.12) и непрерывности подынтегральныхфункций, приходим к уравнению17vp y p z pdvdE   div(kgradT )  Fv  v x dtdtyz xvvv  p x.py pzxyzПринимая во внимание уравнение движения (3.6), имеем искомое уравнение притокатеплаdEvvv   div(kgradT )  p xpy pz.dtzxy(3.13)Если в систему уравнений (1.5), (3.8), (3.13) включить уравнение состояния среды(2.10) то, считая, что плотность внутренней энергии E   (T , p) полностью определяетсяпараметрами T и p , приходим к замкнутой системе уравнений.В системе (1.5), (3.8), (3.13), (2.10) предполагается постоянство коэффициентавязкости.

Для многих жидких сред такое допущение является вполнеудовлетворительным. В общем случае зависимость коэффициента вязкости газов оттемпературы дается формулой Сатерленда3C1T 2 , T0  114 0 K ,T  T0или степенным законом видаT  C 2  T0 , 0.5    1 ,где C i  некоторые константы,i  1,2 .Итак, модель вязкой сжимаемой теплопроводящей жидкости, подчиняющейсязакону Фурье, включает следующие элементы:- уравнения Навье-Стокса (3.8);- уравнение непрерывности (1.5);- уравнение притока тепла (3.13);- уравнение состояния (2.10);- выражение для плотности внутренней энергии через параметры T и p ;- значения коэффициента вязкости  и коэффициента теплопроводности k .Плотность массовых сил F и интенсивность внутренних источников тепла  являютсявнешними параметрами и должны быть заданы.3.4.

Начально-краевые задачи. Внешняя задача гидроаэродинамики. Одной изосновных проблем механики жидкостей является задача обтекания тела конечногоразмера однородным неограниченным потокам. Пусть S T - поверхность тела, De внешняя часть пространства по отношению к телу. Требуется найти решение системы18(3.9), (3.10) соответствующее течению, переходящему на бесконечности в однородныйпоток, движущийся со скоростью U  вдоль оси X . На бесконечности имеем условиеv  e xU  , r   .(3.14)Так как жидкость вязкая, то на поверхности S T выполняется условие прилипания частицжидкости к поверхности:v  VT , r  S T , t  t 0 .(3.15)Если обтекаемое тело покоится, то, очевидно, справедливо граничное условиеv  0, r  S T , t  t 0 .(3.16)В уравнения (3.9) входят первые производные по времени.

Поэтому следует задатьначальное распределение скоростейv  v 0 ( x, y, z ), r  S T  De , t  t 0 .(3.17)Совокупность уравнений (3.9), (3.10), краевых условий (3.14), (3.15) и начальных условий(3.17) составляют нестационарную начально- краевую задачу об обтекании тела вязкимпотоком.Внутренняя задача. Внутренняя задача ставится для течения внутри замкнутойобласти D .

Пусть D - непроницаемая граница области D . Тогда требуется найтирешение задачи (3.9), (3.10) с дополнительными условиямиv  VT , r  D, t  t 0 ,(3.18)v  v 0 ( x, y, z ), r  D  D, t  t 0 .Кроме этого, следует принять во внимание условие ограниченности решения в области Dv  , r  D ,(3.19)поскольку именно такие решения являются физически обоснованными.Условия на поверхности раздела. Рассмотрим воображаемую поверхность S p ,разделяющую жидкости с различными физическими свойствами, образующие единыйпоток. Тогда на поверхности S p выполняются условия19v1  v 2 , r  S p ,(p1 , n1 )  (p 2 , n 2 ),(3.20)p1  p 2 , r  S p ,(3.21)где n1 -нормаль к одной из сторон поверхности S p , p1 , v 1 - напряжение и скоростьчастиц на соответствующей стороне поверхности S p , n 2  -n1 .

Условие (3.20) называетсякинематическим и выражает равенство скоростей соприкасающихся частиц наповерхности раздела при отсутствии перемешивания жидкостей. Условие (3.21),называемое динамическим условием, выражает равенство нормальных и касательныхнапряжений по обе стороны от поверхности раздела.Поскольку на свободной поверхности при отсутствии внешних касательныхнапряжений частицы жидкости совершают движения, перпендикулярные к поверхностираздела, тоp nS  0, r  S p ,(3.22)где p nS - проекция напряжения на любое касательное к свободной поверхности S pнаправление. Если n - нормаль к свободной поверхности, то напряжение p на свободнойповерхности равно p   p 0 n , где p 0  величина атмосферного давления.

Поэтому(p, n)   p0 , r  S p .(3.23)Таким образом, условия (3.22), (3.23) представляют собой динамическое условие насвободной поверхности вязкой жидкости. Кинематическое условие на свободнойповерхности формулируется следующим образом: скорость жидких частиц на свободнойповерхности совпадает со скоростью перемещения свободной поверхности.4. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ И ПРИМЕРЫ. 4.1. Основные свойствапотенциальных движений идеальной несжимаемой жидкости в односвязныхобластях. (Темы: “Свойства гармонических функций (принцип максимума, теорема осреднем)”, “Простейшие внутренние краевые задачи для уравнения Лапласа”.)В соответствии с теоремой Коши-Гельмгольца (3.1) движения жидкости можноклассифицировать следующим образом: безвихревые (потенциальные, консервативные) ивихревые. Потенциальным движением называется движение, при котором во всем объемес жидкостью выполняется условие rotv  0 (нет локального вращательного движения).Вихревым движением называется движение, для которого условие rotv  0 выполняетсяне во всем объеме.

В случае потенциального движения компоненты вектора rotv равнынулю:v z v y 0,yzv x v z 0,zxv yxv x 0.y20(4.1)Соотношения (4.1) являются необходимым и достаточным условиемсуществования потенциала скорости  (t , x, y, z ) , так что справедливо представление:v  grad .Рассмотрим основные свойства безвихревого движения несжимаемой жидкостивнутри односвязной области. В этом случае уравнение непрерывности имеет вид1 d divgrad  0 dtили1 d   0 . dtЕсли жидкость несжимаема, то   0 и функция  (t , x, y, z ) являетсягармонической по пространственным переменным.4.1.1. Опираясь на принцип максимума [5] можно доказать следующееутверждение: при потенциальном движении несжимаемой жидкости в односвязнойобласти D скорость не может принимать максимальное значение внутри D .Заметим, что относительно минимального значения такое утверждениесформулировать нельзя.Доказательство проведем от противного.

Предположим, что во внутренней точкеA скорость достигает максимального значения. Направим в точке A ось OX вдольскорости в этой точке в данный момент времени. Тогда    v A  v max . x  AТак как движение потенциально, то 2  2  20.x 2 y 2 z 2Продифференцировав это равенство по x , приходим к выводу, что функция  x такжеявляется гармонической. По принципу максимума  x не может достигатьмаксимального значения в точке A .

Следовательно, существует точка B , из окрестноститочки A , для которой имеет место неравенство:       vA . x  B  x  AОчевидно, что   2    2    2 2  v       vA . x   y   z   B2BПолучаем противоречие с предполагаемым ранее.214.1.2. Из теоремы о среднем [5] следует утверждение: при потенциальном течениинесжимаемой жидкости значение потенциала в точке M 0 равно среднему значениюпотенциала на поверхности любой сферы с центром в точке M 0 , принадлежащейобласти D .Аналогичное утверждение имеет место для вектора скорости в точке M 0 , т.к.компоненты вектора скорости  x ,  y ,  z являются гармоническимифункциями. Следовательноv(M 0 , t )  e x1S0  exS(M 0 , t )  e y(M 0 , t )  e z(M 0 , t ) xxy1( P, t )  e y( P, t )  e z( P, t ) ds xyxS0 v( P, t )ds,Sгде P  S , S 0  площадь сферы S с центром в точке M 0 .4.3.1.

В настоящем пособии рассматриваются течения, характеризуемыенепрерывными полями скоростей. Поскольку в случае потенциального движенияv  grad , то требование непрерывности скорости налагает определенные ограниченияна гладкость функции  . В связи с этим возникает необходимость изучениясуществования именно классических решений краевых задач, определяющих потенциалтечения.Из теоремы единственности решения внутренней задачи Дирихле [5] следуетутверждение: если потенциал сохраняет постоянное значение на границе области D , тоон остается постоянным во всех внутренних точках области.В самом деле, если потенциал имеет на границе постоянное значение C , то онудовлетворяет в D задаче Дирихле для уравнения Лапласа  0 Dв D, C , P  D,которая имеет классическое решение   C , являющееся единственным в силу теоремыединственности.Заметим, что доказанное утверждение также следует из принципа максимума.Докажем следующие два утверждения.В односвязном объеме с несжимаемой жидкостью, который ограниченнепроницаемыми твердыми стенками, не может существовать потенциальноедвижение.Допустим, что жидкость способна совершать потенциальное движение призаданных условиях на границе.

Характеристики

Список файлов книги