М.А. Давыдова - Математические модели гидродинамики (1125156), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Течение в трубе с прямоугольным сечением и течение в плоском каналес твердыми стенками. (Тема: “Краевая задача Дирихле для уравнения Пуассона впрямоугольнике”.) Если сечение поверхности трубы является кусочно гладкой кривой, топроцедура построения решения усложняется. Рассмотрим, например, течение в трубе,сечение которой – прямоугольник, ограниченный прямыми y   a, x  b . Решениесистемы (4.16), (4.17) будем искать в видеv z ( x, y )  p 2a  y 2  v ( x, y )  .2l29Тогда функция v ( x, y ) определяется из краевой задачи для уравнения Лапласа впрямоугольнике: 2v  2v 0,x 2 y 2vy  a 0, v(4.23) y a .2xb2Частные решения уравнения (4.23), удовлетворяющие граничным условиям приy   a , ищем в соответствии с методом разделения переменных [5]:v ( x, y )  X ( x)Y ( y ) .Подставляя это представление в уравнение (4.23), находимX  Y   ,   const.XYС учетом однородного граничного условия из системы (4.23) получаем задачу насобственные функции и собственные значения отрезка:Y   Y  0,  a  y  a,Y ( a)  0,решение которой представимо какY ( y )  C1 sin  y  C 2 cos  y ,где коэффициенты C1 и C 2 определяются из системыC1 sin  a  C 2 cos  a  0, C1 sin  a  C 2 cos  a  0.Данная система имеет нетривиальное решение, еслиsin  a cos  a 0. sin  a cos  aОтсюда получаем дисперсионное уравнение относительно параметра  :sin 2  a  0,и систему собственных значений2 n n    , n  0,1,2,... 2a 302 k Если n  2k , k  0,1,2,...

, то Yk  sin  k y,  k    . a 2 1 Если n  2k  1, k  0,1,2,... , то Yk  cos  k y,  k    k   .2 a Постоянные C1 и C 2 положили равными единице, так как значения собственныхфункций определены с точностью до постоянного множителя.Заметим, что собственные функции Yk обладают свойством ортогональности наотрезке [a; a] [5]:a1kk zdz   kk  ,sin z sina aaaa111cos  k  z cos  k    zdz   kk  ,a aaa22ak(4.24)1 sin a z cos a  k   2  zdz  0aпри любых k и k  . Здесь  kk   1 , если k  k  ;  kk   0 , если k  k  .Для определения функции X ( x) получаем уравнениеX    k X  0 ,фундаментальную систему решений которого удобно записать в виде sh  k x, ch  k x .Таким образом, построены системы частных решений уравнения Лапласа11 k   x cos  k   y,aa22aakk11ch x siny, ch  k   x cos  k   y.aaaa22shkx sinky, shРешение задачи (4.23) представим в виде разложения по этим частным решениямv ( x, y ) k  A sh akk 0x  Bk chk kx  sinya a11 1  C k sh  k   x  Dk ch  k   x  cos  k   y ,aaa22 2 где коэффициенты ряда определяются из граничных условий при x  b :31y2  a2 kk k  A sh a b  B ch a b sin akkyk 0(4.25)11 1   C k sh  k  b  Dk ch  k  b cos  k   y .aaa22 2 В соответствии с теоремой разложимости Стеклова [5] функция y 2  a 2 можетбыть представлена единственным образом в виде разложения по системе собственныхфункций задачи (4.24).

Поэтому Ak  0, C k  0 для любого значения k .k Далее, умножая обе части равенства (4.25) на siny , затем интегрируя по y отa a до a и используя свойство ортогональности (4.24), имеем: Bk  0 для любогозначения k . Умножая обе части равенства (4.25) на cos1 k    y и интегрируя по y ,a2находимa y2 a 2 cosa11 k   ydy  aDk ch  k  b ,aa22илиaDk ch k b 132a 21y 2  a 2 cos  k ydy  (1) k 1, k   k   .3 3a aa2(2k  1) Таким образом, распределение скоростей в трубе с прямоугольным сечениемдается формулойv z ( x, y )  32a 2p  22ay2 l 3k 0(1) k 1 ch k x1cos  k y ,  k   k  .

(4.26)3a2(2k  1) ch k bПри b   из распределения (4.26) получаем распределение скоростей в плоскомканале между двумя твердыми поверхностями y   a (плоскопараллельное течениеПуазейля):v z ( x, y )  p 2a  y 2 .2 l4.4. Распределение скоростей в идеальной несжимаемой жидкости приускоренном движении сферы. (Тема: “Краевая задача Неймана для уравнения Лапласавне шара. Единственность решения внешних задач в трехмерном случае.”) Определимраспределение скоростей в идеальной несжимаемой жидкости при ускоренном движениисо скоростью v 0 (t ) сферы радиуса a , считая обтекание сферы потенциальным. Так какдвижение потенциально и жидкость несжимаема, то потенциал  вне сферыудовлетворяет уравнению Лапласа по пространственным переменным (см.

пример 4.1).Поскольку жидкость граничит с движущейся сферой, то нормальная составляющаяскорости частиц жидкости на поверхности сферы равна нормальной составляющейскорости движения поверхности сферы S (см. (2.13)):32( v, n) S  ( grad , n) S n ( v 0 (t ), n) .SНа бесконечности выполняется условие:v  0 при r   .Значит  ,, 0 при r   .x y zТаким образом, для определения потенциала скорости в области De вне движущейсясферы имеем краевую задачу  0, ( x, y, z )  De ,n(4.27) ( v 0 (t ), n), t  0,S  ,, 0 при ( x, y, z )   ,x y z(4.28)куда t входит как параметр.Выберем сферическую систему координат (r ,  ,  ) , 0  r  , 0     ,0    2 так, чтобы начало отсчета совпадало с центром сферы, а угол  совпадал суглом между направлением движения сферы и направлением нормали к поверхности (рис.2).Рис.

2.33В каждый момент времени t  t 0 можно определить распределение скоростей в жидкостиотносительно этой системы координат, решив задачу (4.27), (4.28) при фиксированномзначении t  t 0 . В выбранной системе координат система (4.27), (4.28) преобразуется квиду  2   1  1  2 0, (r , ,  )  De ,r sin r  r  sin     sin 2  2 v0 (t 0 ) cos  , 0     ,n S r r  a(4.29)  ,, 0, r   .r  Исследуем разрешимость задачи (4.27), (4.28) при каждом фиксированном t .Покажем, что для двух функций  и u , непрерывных вместе с первыми производными вовнешней области De  S , где S  граница De , имеющих непрерывные вторыепроизводные в De и удовлетворяющих условию на бесконечности (4.28), справедлива 1-яформула Грина.Окружим поверхность S сферой  R достаточно большого радиуса R .

Областьмежду S и  R обозначим DR . В области DR справедлива 1-я формула Грина ud   u n ds   u n d   ud .DRRSDRОчевидно, что  u n d   u n ( P) x  n ( P) y  n ( P) z d  0,1R23R  , P   R ,Rв силу выполнения условия (4.28). Здесь ni ( P)  направляющие косинусы нормали кповерхности  R , i  1,3 . Таким образом получаем 1-ю формулу Грина ud   u n ds   ud .DeS(4.30)DeИз формулы (4.30) следует необходимое условие разрешимости задачи (4.27),(4.28).

Полагая в (4.30) u  1 (очевидно, что эта функция принадлежит рассматриваемомуклассу функций), имеем условие34 n ds  0,Sкоторое выполняется, т.к. при r  a имеет место граничное условие (4.29).Если классическое решение задачи (4.29) существует, то оно определено сточностью до произвольной функции времени.

Докажем это. Пусть 1 (r ,  ,  , t 0 ) - решениезадачи (4.29). Покажем, что любое другое решение  2 (r ,  ,  , t 0 ) отличается от решения1 (r , ,  , t 0 ) на произвольную функцию времени C (t 0 ) . Рассмотрим функцию 0 (r , ,  , t 0 )   2 (r ,  ,  , t 0 )  1 (r , ,  , t 0 ) . Функция  0 (r , ,  , t 0 ) удовлетворяет задаче(4.29) с условием на границе  0 r  0 при r  a . Полагая в формуле (4.30) u     0 ,имеем:   d   00DeS0 0ds  ( 0 ) 2 d .nDeОтсюда  0  0 в De . Учитывая условие на бесконечности, находим:  0 (r , ,  , t 0 )  C (t 0 ) .

Следовательно  2 (r , ,  , t 0 )  1 (r ,  ,  , t 0 )  C (t 0 ) .Ограниченные на бесконечности частные решения уравнения из системы (4.29)ищем в соответствии с методом разделения переменных [5] в виде (r ,  ,  )  R(r )u ( ,  ) .Подставляя искомый вид решения в соответствующее уравнение, получимd  2 dR r udr  dr      ,Ruгде   u u 1  1  2u сферический оператор Лапласа,   const . sin   sin 2  2sin   Отсюда приходим к задаче Штурма-Лиувилля для сферического оператора Лапласа  u  u  0, 0     , 0    2 ,u ( ,  )  u ( ,   2 ),u (0,  )  ,u ( ,  )  собственными функциями которой являются сферические функции [5]35cos m ,u  u nm ( ,  )  Pnm (cos  ) sin m ,а собственные значения равны    n  n(n  1), n  0,1,..., , m  0,1,..., n.dmPn (cos  )  присоединенные функции Лежандра,d (cos  ) mPn (cos  )  полиномы Лежандра [5].Здесь Pnm (cos  )  sin Функция R(r ) удовлетворяет уравнениюr 2 R   2rR   n(n  1) R  0 ,общее решение которого представимо какR(r )  C1 r n  C 2 r  ( n 1) .Таким образом, ограниченное на бесконечности решение уравнения из задачи (4.29)ищем в видеn (r ,  ,  , t 0 )    r ( n 1) ( Anm cos m  Bnm sin m ) Pnm (cos  )  C (t 0 ) ,n 0 m 0где C (t )  произвольная функция времени.

Поскольку P10 (cos  )  P1 (cos  )  cos  , тограничное условие из (4.29) можно записать какr v0 (t 0 ) P10 (cos  ) .r aДалееrr an (n  1)a( n  2 )( Anm cos m  Bnm sin m ) Pnm (cos  )  v0 (t 0 ) P10 (cos  ) .n 0 m 0Отсюда ясно, что отличны от нуля только члены с n  1, m  0 : 2a 3 A10 P10 (cos  )  v 0 (t 0 ) P10 (cos  ) .36Следовательноv0 (t 0 )a 3 (r , , t 0 )  cos   C (t 0 )2r 2(4.31)для любого момента времени t  t 0 .Поскольку в сферической системе координат выражение для скорости имеет видv (r , ,  , t )  e r1 1  e e,rr r sin  где e r , e , e   орты сферической системы координат, тоv0 (t )a 3v 0 (t )a 3v(r , , t )  e rcos   esin  .2r 3r3(4.32)Заметим, что потенциал скорости (4.31) определен с точностью до произвольнойфункции времени, а распределение скоростей определяется однозначно и даетсяформулой (4.32).4.5.

Характеристики

Список файлов книги