Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 58
Текст из файла (страница 58)
1) На заземленной идеально проводящей поверхности потенциал и = О (граничное условие первого рода). 2) Если проводник граничит с диэлектриком, то на границе раз- дела нормальная составляющая плотности тока должна быть равна нулю: ди у„= — о — = О, д. т. е — =О ди (граничное условие второго рода). 6. Если уз — — потенциал скоростей стационарного потока несжимаемой жидкости, так что о = йгае1вз, то потенциал Зз удовлетворяет уравнению Лапласа Ьр=о.
На поверхности твердого тела, движущегося с некоторой скоростью ое, должно выполняться условие = оса. ду ди Если тело покоится, то — = О. ди х Если среда простирается неограниченно, то на бесконечности при г †«оо потенциал вз должен удовлетворять обычному условию регулярности. Рещение. Если жидкость несжимаема, то ее плотность р = = сопзФ. Из уравнения непрерывности (сохранения вещества) др 01 — и + йу(ро) = О получаем условие несжимаемости йуо = О. Гл. !'гг. уравнения эллиптизеаиого типа Так как по условию скорость жидкости имеет потенциал и = ягаг1оо, то г)1н ягаг1 оо = О или Ьгр = О.
7. Первая основная задача электростатики ставится как первая внешняя краевая задача. Требуется найти функцию гго, удовлетворяющую уравнению Лап- ласа гЛоэ = О всюду вне заданной системы проводников., обращающу- юся в нуль на бесконечности и принимающую заданные значения уэ, на поверхностях проводников: 'ваап = Фь Вторая основная задача электростатики ставится так. Требуется найти функцию уэ, удовлетворяющую уравнению Лап- ласа гзуоо = О вне заданной системы проводников, обращающукюя в нуль на бесконечности, принимающую на поверхностях проводников некоторые постоянные значения и удовлетворяющую интегральным соотношениям на поверхностях проводников д ~ — гХо = — 4яеп 'Р дп где е, — полный заряд г-го проводника.
Если задан один проводник То с поверхностью Ео., то решение второй задачи электростатики может быть представлено в виде гГэ = 9эоог(и; у г) где Ъ'(и, у, г) —.—. решение первой внешней краевой задачи для области, внешней к проводнику То, при условии Ъ' = 1 на Ео, множитель гоо определяется из условия нормировки — г1гг = — 4огео ду дп йо и равен ео ео гро 1 др С' — / — о 1 где' где С = — — ~ — гйг -"- емкость проводника. 4н .Г дп по 2. Краевые задачи для уравнения Лапласа в неоднородных средах. 8. Стационарное распределение температуры удовлетворяет уравнению о11н(К бгаб и) = — г'(ЛХ), где й = Й(ЛХ) коэффициент теплопроводности, г'(ЛХ) плотность источников тепла в точке М. 22 Б.М.
Будок и др. 338 Ответы, указания и решения Пусть Т некоторый объем с границей Х, на которой задана, например, температура и) ~(-6 — "") д = /Гд, (2) в г откуда в силу произвольности объема Т и следует уравнение йу(68гае1и) = г. Применяя (2) к цилиндру Т,, получим (рис. 38) ( ди) „( ди) ~ ( ди) зв т где Яг .--- левое, а Яг - - правое основание цилиндра, Яз -- его боковая поверхность. При предельном переходе 6 — ~ О интегралы исчезают, Рис. 38 Если коэффициент Й(т, у, г) кусочно-постоянен и терпит разры- вы на некоторой поверхности Хы так что Й=йг=сопз1 в Т,, 6 = 6г — сопзг в Тг (Т = Т1 + Тг), то на Хг должны выполняться условия сопряжения иг = иг, ди1 диг (1) 1 — г дп дп первое из которых означает непрерывность температуры, а второе непрерывность теплового потока на поверхности разрыва.
Задача в этом случае ставится так; Р Лиг= — — в Т, 6) Г Лиг = — — в Тг, 6г и), =.1, и на Хг имеют место условия сопряжения для иг и иг. Р е шеи и е. Уравнение выводится так же, как и в задаче 1. Первое условие сопряжения иг = иг очевидно; второе условие диг диг 61 — — йг можно получить, применяя уравнение баланса к бес- конечно малому цилиндру Т, высоты 26, построенному на элементе 4т поверхности Х1 по обе стороны от нее, и переходя затем к пределу при 6 — > О.
Как ужо отмечалось в решении задачи 1, уравнение теплового баланса имеет вид Тл. !'гг. Уравиеиия эллиптического типа ди так как — и Г ограничены всюду. Предполагая существование левого дп ди и правого предельных значений — на Вг,получаем дп Й1 +йг =О, да1 диг дги дпг выбирая одно направление нормали гпг = — гпс = и, можно написать дис диг Й1 — йг на Х1. дп дп 9.
В неоднородном диэлектрике для потенциала электростатичес- КОГО пОля имеем ~ < ~ ) 4 Если на поверхности разрыва е(л, у, 2) нет поверхностных зарядов, то можно написать ис= из, ди, ди, на поверхности разрыва е, Ег = Ег где цифры 1 и 2 соответствуют значениям величин по разные стороны поверхности разрыва. Если е1 = сопзг в Т1, ег = сопзс в Т„ где Т, и Тг — области, разделенные поверхностью В1, то для потен- циала и1 в Т1, и= и2 в Т2 будем иметь дси1 — — — 41гр в Т1, Лиг = — 4яр в Тг, ис=иг, дис диг на д — е2 Второе условие сопряжения означает непрерывность нормальной составляющей вектора электрической индукции ди Р = — е 8гас! и, Р„= — е —. дп Указание.
Для вывода уравнения следует исходить из уравнений Максвелла (11м. решение задачи 3), считая там е функцией пространственных переменных. Вывод условий сопряжения см, в задаче 8. При решении задачи 3 мы имеем Е = — 8гас1и, Жн еЕ = 41гр. Отсюда и следует уравнение (1). Условия сопряжения выводятся так же, как и в задаче 8. Отметим лишь, что при наличии поверхностных зарядов на В1 Р1п Р2п — йп сг 340 Ответы, указания и решения или ди7 дил ег — — ег — = 4яп, да дп где 77 плотность повеРхностных заРЯдов на Хг. 10. Если Н = — ягас) 7р, то в стационарном случае йу(1л8гас17р) = О, где 7р = уз(Р) -- скалярный потенциал, 7а = 1л(Р) —. магнитная про- ницаемость среды в точке Р.
Условия сопряжения на поверхности разрыва коэффициента магнитной проницаемости имеют вид дил диг иг — — иг, 1лг — — Дг на Хг, дп дгл где цифры 1 и 2 соответствуют значениям величин на разных сторо- нах поверхности разрыва Ег. Второе условие означает непрерывность нормальной составляю- щей вектора магнитной индукции на Ег. Вг„=В „. Краевая задача для кусочно постоянного 107 в Тг, ~1л в Т ставится по аналогии с задачами 8 и 9: ланг=О в Т„ ~17лг = 0 в Тг, а на Ег условие сопряжения. Указание. См. задачу 9.
11. В среде с переменной проводимостью и = сг(т, у, г) для потен- циала электрического поля постоянного тока имеет место уравнение йу(ойгас1и) = О. Если Е - - поверхность разрыва и, то дал диг ил = иг, аг — = ссг — На л'; д д второе условие означает непрерывность нормальной составляющей плотности тока на поверхности Е: уга — — угн, поскольку у = — п8гас1и. Указание.
См, задачи аг, 8, 9, 10. Учитывая соотношения Е = — кгас1 и, з =сгЕ, йнг=О, получаем йу(778тас) и) = О. Условия сопряжения выводятся по аналогии с задачей 9. 341 Гл. 1Ъ'. Уравнения эллсспти сесного типа 12. Подобие перечисленных в условии полей устанавливает следующая таблица: Электрическое поле постоян- Плотность тока у = — сг ягас1и Потенциал и Коэффициент электропро- водности а ного тока Поток тепла с„с = — 1сцсас1 и Теплопровод- ность Температу- ра и Коэффициент теплопровол- ности й Концентра- ция и Диффузия Коэффициент диффузии Р Поток вешества у = — Рягас1 и Электростатика Пиэлектрическая пос- Вектор электричес- кай индукции Р = гЕ = — г кгас1 и Потенциал электрического поля и тояннэя г Вектор магнитной индукции .В = — рягас1и Магнитостатика Потенциал магнитного Магнитная проницае- мость р полян е = ятас1и Потенциальное течение несжима- Потенциал скоростей и емой жидкости з 2.
Простейшие задачи для уравнений Лапласа и Пуассона Значительная часть решений задач этого параграфа либо обладает круговой или сферической симметрией, либо просто зависит от угловых координат. Напомним выражения для оператора Лапласа: 1) в полярной системе координат 1 д1 ди1 1 ди сззи = — — ~р — + —, р др )с др! рэ дсог' 2) в сферической системе координат 1 д (эди) 1 д (.
дн) 1 ди Ьи = — — (.- — ~+, л — ~зшд ~+ гг дг ~ дг~ гаэ1вВ дВ ~ дд~ .гя.пар дрг1 Во всех случаях функция и удовлетворяет уравнению Лапласа. Указание. См. предыдущие задачи этого параграфа и также 1 1 гл. Н, задачу 49. Замечание. Если на некоторойповерхности Хс константыа, к, Р, г или д терпят разрыв, то на Хс выполняются условия сопряжения, которые можно прсдставить в виде дис диг ссс ссз рс рэ на Х1, дсс дп где и искомая функция, а р один из параметров а, Й, Р, г, р; цифры 1 и 2 соответствуют предельным значениям рассматриваемых величин нсз резвых сторонах поверхности Хс, .при этом с11чср Кгас) и) = О.
342 Ответы, указания и решении 3) в цилиндрической системе координат 1 д /' дгг1 1 ди дги ди гзи = — — ~р — ~ + — — + — = Ьги+ —. рдр), др) ргдр д - дг ' При решении некоторых задач следует принять во внимание, что уравнению Лапласа Лги = О удовлетворяет полипом и = А(х~ — у ) + Вху+ Сх+ Ву где А, В, .С, В -- произвольные постоянные.
1. Краевые задачи для уравнения Лапласа. А А 13. а) и = А; б) и = — х или и = — рсояуг; а а в) и = А+ Ву или и = А+ Вряпгуг; г г) и = Аху или и = — рг я1п2уг; 2 В В д) и = А+ — у или и = А+ — рягпуг; а а А+В В А г е) и= + (х~ — у ) или 2 2аг и = — 1 — — соя2уг + — 1+ — соя2уг 2~,аг(2~,аг Указание.
При построении решения следует учесть, что х, у, ху, хг — уг и их линейная комбинация являются гармоническими функциями. В правильности решения следует убеждаться непосредственной подстановкой найденного выражения для и в уравнение и„-~- и„„= О или и в граничное условие. Проиллюстрируем приемы отыскания решения на примере 13, б). Переходя от переменных (р, уг) к переменным (х, у), перепишем граничное условие в виде и = — х.
а Отсюда видно, что искомым решением является гармоническая функция А А гг(х, у) = — х или и(р, р) = — рсоа уг. а а 14. Задачи а) и г) поставлены неправильно, так как в случае второй краевой задачи Ьи = О, ди с должно выполняться условие 1У ° =О; с б) и(х, у) = Аах+ С или и(р, уг) = Аарсояуг+ С: г г А в) и = — а(хг — уг) + С или и(р, уг) = — арг соя2уг+ С; 2 2 Гл. !1л Уравпептс эллиптического типа 25 д) и = (А+ 0.75В)у — — ', (З(хг+ уз)у — 4уз) +С или и(р, вэ) = (А+0.75В)рзшср — рзяшЗР+ С. 12аг Решение второй краевой задачи, как известно, определяется с точностью до произвольной постоянной С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
