Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 55
Текст из файла (страница 55)
и(х, $) = — 11 ехрг( — Ьт— ср 2а о(я 1 1 4агт 1,/т о и(х) = „ехр~ — — (х~). Если поверхность стержня теплоизолирована,то 1(ш и(х, 1) = со. тг. (,1(=о,((т ')-Ф(* ')(,, Ф((= — 1, сы( о есть так называемый интеграл ошибок, значения которого можно найти в (7), а также в табл. 1 приложений настоя(цей книги.
А — т '*'г ~1 Ф (' "' аочг 74. и(х, 1) = Псе "' Ф вЂ” Ф Указание. Воспользоваться решением задачи 69, либо заменой искомой функции и(х, 1) = е о(и(х, 1) свести к задаче 72. (х — сот) ( ехр (х — оог-(- оотг 1 ~ о..( — ') 2асрч(я,/ огс о в частности, температура стержня под печкой равна гг(ио1, 1) = — Ф ( — ) . (ооИ сроо [ 2а г) ' Замечание. Выражение для и(х, 1) получено при условии, что теплообмен на поверхности стержня, не соприкасающейся с печкой, пренебрежимо мал. б) Полупрялая.
с)г —.р(-, *)), о „( ~, *о(, о 1 ~ . (о (..) 1 4"(1- )) В случае, если на поверхности стержня происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю, то выражсние 312 Ответы, указания и решения для функции источника получается из (1) умножением на — н(Ф вЂ”..) (2) где Н вЂ” коэффициент теплообмена, входящий в уравнение ие а и„— Ни.
Указание. Выражение для температуры и(х, г) и для С(х, С, 1 — т) можно получить, рассматривая неограниченный стержень — оо < х < +со и предполагая, что в момент времени 1 = т в точке х = С выделилось мгновенно Я единиц тепла, а в точке х = — С выделилось мгновенно — Я единиц тепла, т.е., как иногда говорят, помещая в точку х = С мгновенный положительный источник мощности еу, а в точку х = — ( -.. мгновенный отрицательный источник мощности — (2 ~). +ехр~ —,, )1, 0<х,с<+со.
т<1<+оо ху'=С. При наличии конвективного теплообмена на поверхности стержня функция источника получается из только что найденной умножением на е — н(е — т~ Указание. См. указание к предыдущей задаче; настоящая задача решается аналогично. е. о 0 < х, С < +со, х ф С, т < 1 < +со, где 6 есть коэффициент, входящий в граничное условие и,(0, е) — Ьи(0, е) = О. При наличии конвективного теплообмена на поверхности стержня функция источника получается из только что найденной умножением на е л~~ "~, где Н -- коэффициент теплообмена, входящий в уравнение ие = ази„— Ни. У к а з а н и е.
Использовать предложение, сформулированное в задаче 82. 79. и(х, 1) = (евв ~. )-' ео )-- )-';е Я ее+ о ') Функция источнике для полупрямой определяется аналогично функции источника для коночного отрезка; см. введение к решениям задач подпункта в) настоящего пункта. 315 Гл. 1П. Уравнения параболииееноео глина 2) если и(х, 1) есть решение уравнения не=а и,,„,+1(х,1), то н 11(х 1) = ~ А д и(х 1) является решением уравнения к д" Х(х, 1) д.' а=о и(х, 1) = СоФ 84. Скорость движения фронта температуры о11а, и = сопз1о О ( о ( 1, Рис.
34 Рнс. 33 бх ав. равна — = —, где й корень уравнения Ф(х) = о. Графики изобра- 41,Л' жены соответственно на рис. 33 и рис. 34. и(х, 1) = 11е 1 — Ф вЂ”, 2' = 85 где к корень уравнения Ф(х) = 1 — ос Указание. С помощью подстановки и(х, 1) = и(х, 1)-Ь11а задача сводится к предыдущей.
87. и1х,1) = 11оФ вЂ” +е"'ьь ' '11е 1 — Ф вЂ” '+айъ1г . (1) 11огрешность, допускаемая при пользовании формулой (4) условия, не превышает 1 3.3...(2п — 3) 1 (2) 2" ха — 1 ' 316 Ответы, указания и решения Чтобы погрешность, допускаемая при пользовании формулой (5) условия, не превышала е > О, достаточно, чтобы выполнялось неравенство з> оо 4„абабеб' Указание.
Интегрируя последовательно по частям, можно получить равенство /е ллс= ) — — — + . — +( — 1" + 2 1 е 2бб 2ояб 2о — Л обо — Л ео + (-1)" ' ' ' / алс (4) причем, очевидно, (5) стремится к нулю при каждом фиксированном и и е — б +ос. Ь' 88. и(х., Х) = 11о — б„,) + Ь а ел — йя 2аойо ) е + зле *+ 1 — Ф + аЛбьлу — е' ь лл'* 1 — ф ФайулЬ 89. лл(х, л) = 2ллдл~ — ехр1 —, у — дх ~1 — Ф ~ я 4а~с ~ лЛ 2а ЛлЛЛ/ 90.
и<х., Ь) = аале+ (АЛЛО У2)е Ф + 1, 2а злеЛ/ "-)')~- ( П Замечание. Если частичную сумму, стоящую в фигурной скобке формулы (4), заменить бесконечным рядом, то получится расходящийся ряд, называемый асимптотическим. Оценка (5) показывает, что погрешность, которая допускается при отбрасывании в формуле (4) остаточного члена б2 )„1 3... (2н — Ц /' е 2" Га. 1П. Уравнения нирабоаичееиоео тина 91.
и(х, 1) = — 'е *~~~ 1 — Ф вЂ” — — — + Ео ' и Ф и ~~ Се где В, С, С сопротивление, емкость и утечка единицы длины провода. 92. и(х, ~) = Ай ехр( — — ' у/ — ) сов ( — З/à — — шг — 7) + 2 т о о ' Г 1К.=,"" (2) Первое слагаемое в правой части равенства (1) представляет собой затухающую с ростом х температурную волну, периодическую по й Второе же слагаемое бесконечно мало при 1 — 2 +ос. и(х, 1) = А ехр( — — )/ — ~ соз ( — )/: — 222)~.
Скорость распространения температурной волны с частотой и2 равна — = о 2/222. Ж Указание ) . Можно найти установившиеся температурные волны как действительную часть комплексного решения задачи Се — — а20, ае 0 ( х, 1(+оо2 71(0, 1) = Аее~', стремящегося к нулю при х -2 +ос. Это комплексное решение имеет 17(х, 1) = Х(х)е'~ . 94.
и7х, 1) = Еое ' '/ло' 12 соз (221 — х т/ЛСм/2 )— — / «'гй /КСр 2Г,/ ьв2 + 2~2 ' о где Л и С сопротивление и емкость единицы длины провода. Указание. См. указание к предыдущей задаче. ') Подробнее о решении зада 2 без начальных условий см. [7, с. 241 -245]. 318 Ответы, указания и решении 95. — Лие(0, 1) = (((г) = — — „ / ~ о У к а з а н и с. Задача сводится к интегральному уравнению Абеля ) . 96.
(,) 1 »1 г(»(, )((т 2а6 л»»к Ж У,/à — т ' о где 6 --. коэффициент теплообмена, входящий в граничное условие и. (О, 1) = 6(и(0, 1) — »»з(»)). Л»1 » — л*(» — ( 97. (о1») = — — ~(»(т) ((т, о где 6* — коэффициент теплообмена, входящий в уравнение г и» = а иее — 6'и. 4 '„— л*( — ) 98. о где коэффициенты 6 и 6' имеют тот же смысл, что и в задачах 96 и 97. во оо ехр( — —,(х — оо() — —, Е) 99. и(х., 1) = 2аг /((т х 2а л»»к о г (»»о оо Д(«+ оот, т) ехр( —, « -(- — т) / ' (2а» 4аг (* - " - о* ) „„ ) (' - " »»» )~ »» ио( < х < +ос, 0 < 1 < +со.
Указание. Перейти к новым независимым переменным = х — ио(, 1=1 (это соответствует переходу к подвижной системе координат с началом в точке хо = иог) и новой искомой функции по формуле и(х» 1) = е"~~~ и(«, 1). » »о оо ехр( — — »(х — ооз) — —, 100. и»(х, 1) — / ехР( — г «)»»»(«) х о ) (. — ..
- е ) „ ) (. — + »»' Я „, Указание. См. указание к предыдущей задаче. ') Об интегральном уравнении Абеля см. (2, том 11, З 79), а также указание к задаче 114. 319 Гя. ГП. Уравненггя нарабояичеекоео тина гго ва ехр( — — о(х — вое) — —, Г 1х — оое) 101. иГх, Г)— 4аг Х 2а зггк Гà — т)г1г о Указание. См. указание к задаче 99. 102.
и1х, 1) = е хр( — — ", (х — иоГ) — — а Г) )1 ехр( — а 4) Г(Д х о Гх — вое — 3 ) + ( Гх — оое+ Д ) г оо 1 Г Гх — оое + 4 4- Ч) ва — — ехр(— — — ) „~гав 2ао 1 4аге Заг о ~ У ~ ~"р( ..' —.)) 2 'оа 1 Г Гх — ггое) оо — — Г'.,нг- — — „)г,~г.г 2аг г 1 4агГà — т) 2аг о ь Д~ 4- оот, т) вхр( — а, с 4- — а т) 2аьгп.l 1 Я вЂ” т (- ) (- )- 4аг Гà — т) 4аг Гà — т) г во 1 Г Гх — ггое4-4+гГ) ва — — чГ- ' — — 9)Ф/ гг) 2аг 1 1 4агГà — т) 2а' а Указание.
См. указание к задаче 99. в) Конечный отрезок. Функцией влияния мгновенного точечного источника тепла Г«функцией источника») для конечного отрезка О < х < Г, соответствующей данным граничным условиям, называется температура ГГ(х, Сг Г) в произвольной точке х, О < х < 1, в произвольный момент времени Г > Ог вызванная выделением Ц = ср ) ы единиц тепла в точке 4, 0 < 4 < Г, 4 ф х этого отрезка в момент времени Г = О, если концы отрезка поддерживаются при соответствующих однородных граничных условиях.
) Здесь с -- удельная теплоемкость, а р -- линейная плотность масСы. 320 Ответы, указания и решения Таким образом функция источника С(х, о, 1) должна быть: 1) решением уравнения теплопроводности; 2) удовлетворять соответствующим однородным граничным условиям; 3) обращаться в нуль при 1 -о 0 и х ф с; 4) удовлетворять предельному соотношению ев-л 1пп / С(х, С, 1)срдх = 1;), е — ео з е>о е — л или,. что то же самое, в ьл 1пп / С(х, ~,1)е1х =1 „о/' г>о в-л при любом Л > 0 л) . Функция источника ехр~ (х - 4) 2а лЯ 1 4аг1 1 для уравнения иг =а и„ (2) на неограниченной прямой удовлетворяет требованиям 1), 3) и 4).
Если к (1) прибавить такое непрерывное решение д(х, <, 1) уравнения (2), обращающееся в нуль при 1 = О, чтобы сумма 4)г С(х, ~, 1) = ехр~ —,, ) + д(х, ~, 1) (3) удовлетворяла граничным условиям 2), то (3) будет удовлетворять всем требованиям 1), 2), 3), 4), т.е. будет функцией источника для уравнения (2) на конечном отрезке, соответствующей граничным условиям 2). Слагаемое д(х, ~, 1) может быть построено для некоторых типов граничных условий методом отражений; этим методом решаются задачи 103 — 106.
103. Решение. Продолжим стержень 0 < х < 1 в обе стороны неограниченно и будем считать его поверхность всюду теплоизолированной. Пусть в точке с, 0 < с < 1, в момент 1 = 0 выделилось 1,) = ср единиц тепла. Повышение температуры вызванное в неограниченном стержне — со < х < -~-оо действием этого мгновенного источника, не равно нулю при х = 0 и х = 1. Если же, кроме того, и в точках — е,~~ х 2п1, и = 1, 2, 3, ... г), в момент 1 = = 0 подействовали мгновенные тепловые источники мощностью Щ, распределенные, как указано на.
рис. 35, то температура ') Предполагается, что О < 4 — Л < 4 + Л < й г) Точки — 4, хс, х2и1, и = 1, 2, 3, ..., получаются из точки 4 последовательными симметричными отражениями относительно х = О и х = 1. 321 1л. 111. Уравнения параболинееноео типа ео — — (2) О СВ х (Б (е — 21 — 4 — 21 — 2и5 — 1 — 5 О 1 1 21 — б 21 2!в-с Рис. 35 источник мощностью — й), и обратно., каждому источнику мощ- ностью — С соответствует симметричный относительно х = О ис- точник мощностью +1„), так что их действия в точке х = О взаимно уничтожаются. То же самое можно сказать и о точке х = 1.
Представим С(х, с, 1) в виде С(х, С2 1) = ехр( — ~ + д(х, С, 1), (3) где .(-оо — 4 -)- 2 1) 2 (* (+2 О')) () 4а21 -ьсо Символом 2 ( ) обозначен ряд (2) за вычетом члена (1). 2а игя1 Члены ряда (4) имеют производные всех порядков по х и 1 всюду при О < х < 12 О < 1 < -~-оо. Ряд (4) сходится абсолютно и равномерно при О < х < 1, О < 1 < 1*, где 1* произвольное положительное число:, так же ведут себя и ряды, получая)щиеся из (4) почленным дифференцированием. При 1 — о 02 1 > О каждый член ряда (4) стремится к нулю. Таким образом, С(х2 С, 1) удовлетворяет всем требованиям 1), 2), 3), 4) определения функции источника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
