Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 50
Текст из файла (страница 50)
(3) Здесь Л, с, р, и, сц р имеют тот же смысл, что и в предыдущей задаче. Координата я длина дуги, отсчитываемая вдоль кольца. Если радиус кольца равен Л, то т = Лд, где В угловая координата; д 1 д следовательно, 1 = 2х11, — = — — и, переходя к независимым передя Лдо менным д, 1, краевую задачу (1), (2), (3) можно преобразовать к виду и,=,иов — — (и — ио), 0<д<2я, 0<1<+со, (1) Л ор срйе еро 1В" 276 Ответы, указания и решения (2') Р') (1) (2) (3) и(0,. 1) = и(2я, е),.
ие(0, Х) = ие(2я, 1),. 0 < 1 < +со, и(0,0)=Р~д), 0<В<2я. ди г дги — = о г, оо1 < х < +ос, 0 < 1 < +оо, д1 дхг' и(по'е, 'е) = рЯ, О < г, < +со, и(х, О) = О, 0 < х < +ос. 5. Пля определения температуры и(х, 1) в проволоке получаем краевую задачу д1гй не= — и, — — (и — ио)+ —, 0<х<1, 0<1<+со, (1) ср срп сра сгие(0, 8) = — Лпи,(0, 1), огней, 1) = Лпи,'и', 1), 0 < 1 < +со, (2) гг(х, 0) = ~(х), 0 < х < Е, (6) где сг и сг теплоемкости клемм, 1 сила тока, Л вЂ” сопротивление Единицы длины провода, Д вЂ” - коэффициент пропорциональности в формуле а1г иае (4) выражающей количество тепла, выделяемое током 1 в единицу времени в элементе (х, х + гЛх) провода.
Коэффициенты Л, с, р, и, р., о имеют тот же смысл, что и в задаче 2. Указание. При выводе уравнения (1) нужно воспользоваться соотношением (4). 6. Пля определения концентрации и(х, 1) получаем то же уравнение и те же граничные условия, что и в задаче 1 для определения температуры, с той, однако, разницей, что в случае диффузии а, =Л=Р, г где В коэффициент диффузии, а о . коэффициент проницаемости каждой из граничных плоскостей.
7. Пля определения концентрации и диффундирующего вегдества получаем уравнение (1) ие = и,„— ои,, где В коэффициент диффузии, а о скорость движения среды. У к а з а н и е. Для получения уравнения (1) нужно выделить элемент с постоянной площадью поперечного сечения, параллельный Рнс. 32 л а. 1П. Уравнения парабоаи леоново типа 277 оси х (рис. 32), и рассмотреть количества вещества, проходящие через сечения л и л+ лат за счет диффузии и за счет переноса движущейся средой. 8. Зля определения концентрации взвешенных частиц получаем уравнение д д ди дг дгг де ' где Р коэффициент диффузии, а и скорость оседания частиц, причем ось г направлена вниз. Условие непроницаемости плоскости г = го имеет вид ди Р— — пи=О при я=го.
дг Указание. См. указание к предыдущей задаче. Вместо потока диффундирующего вещества за счет движения среды нужно учесть поток вещества за счет оседания частиц. 9. а) ил = Ри„— дли, лЗд > 0; б) ил = Рива+ ллглл, луг > О, где Р .-- коэффициент диффузии, дл --. коэффициент распада, а дг коэффициент размножения. Указание. В случае а) в единице объема в единицу времени разрушается количество диффундирующего вещества, равное дли, а в случае б) возникает количество диффундирующего вещества, равное Ллги. 10. Если скорость подвижной плоскости сохраняет постоянное направление, то скорости частиц жидкости будут, очевидно, параллельны этому направлению.
Направляя ось по толщине слоя и помещая начало координат на неподвижной плоскости, для определения скорости частиц жидкости получим краевую задачу ил — — ииаа, 0<к<1, О<1<+ос, (1) и(О, Х) = О, лл(Г, 1) = ио(1), 0 < 1 < +ос, (2) (*,О)=О, О«*1, (3) где 1 толщина слоя, ио(л) скорость движения граничной плоскости, и = — — кинематический коэффициент вязкости, р - плотность Р массы, лл динамический коэффициент вязкости, входящий в закон Ньютона для определения напряжения трения между слоями вязкой жидкости д.
т=лл —. дх Указание. При выводе уравнения (1) нужно пренебрегать градиентом давления по сравнению с градиентом сил трения, что можно сделать, если жидкость обладает большой вязкостью. 11. д (1) дН ' д'И дг 4яалл дь г (2) 278 Ответы, указания и уесаеиия Решение. Напишем систему уравнений Максвеллаг) при усло- вии, что в рассматриваемой области отсутствуют объемные заряды и сторонние электродвижущие силы: гогЕ+ — — = О, 1 дВ (1) е дс 1дР 4к.
го1 Н вЂ” — — = — г, (П) с дг с йчН= О, (1П) йчР=О, (11,') у=пЕ, Ж) Ре вЕ, ( "ч'1) В=дН. ЖП) 1 дР Пренебрегая токами смещения — — в уравнении (П) (среда проводяс дг щая) и используя (У) и ('сгП), перепишем уравнения (1) и (П) в виде госЕ+ — = О, ~ дН с дг (П') Возьмем го1 от обеих частей равенства (1'), продифференцируем по 1 равенство 1П'), исключим из полученных результатов Н, воспользу- омся соотношениями (1Ч) и (Ъ'1) и известным равенством векторного анализа гоя гоуа = ягас) Йча — Йч 8тас1а ); это приведет к уравненикг — йч ягас) Е. дЕ с (3) дс 4 гпд Аналогично получается уравнение дН ег й~ 8гас1Н.
(4) дг 4яагг По условию Е = Е(б, 1), Н = Н(с„1), где з' --- расстояние, отсчитываемое от некоторой фиксированной плоскости. В прямоугольной декартовой системе координат (~, г), ~) оператор Лапласа записывается в виде дг дг дг йч рас1 = —. + — + —, дев дггг дбг ' а следовательно, д" Я . дгН Йч рас!Е =,, Йч 8гас)Н = дег' ' дг. Поэтому уравнения (3) и (4) преобразуются в (1) и (2).
') См. )7, с. 444). г) Это равенство справедливо для любого дважды непрерывно дифференцируемого вектора а. 279 Го. 1П. Урооненин поробооичетоео типа 2. Неоднородные среды, сосредоточенные факторы; уравнения с переменными коэффициентами и условия сопряжения. 12. Если ось х направить по стержню, поместив начало координат в месте соединения стержней, то краевая задача об определении температуры в составном стержне может быть записана в виде 13.
Направляя ось х по оси цилиндров и помещая начало координат в месте соединения цилиндров, получим краевую задачу диг д иг дг Р д диг да дг -Р' д. иг ( — Гг,1)=0, — 1, <х<0, 0 < х < Гг, 0<1<+ос, игг(1г,1) =О, 0<1<+ос; а) иг(0,1) = из(0, 1), Рдиг,(0, 1) = Ргиг,(0, 1), 0 <1 < -~-оо; б) — Ргиг (О, 1) = а[из(0, 1) — иг(0., 1)), 0<1<+со, —.Ргиг.,(0, 1) = а[из(0, 1) — иг(0, .1)), иг(х, 0) = 1(х), -Гг < х < О., иг(х, 0) = 1'(х), 0 < х < 1г. 14. Если в момент 1 = 0 печь находилась в точке х = 0 стержня, то краевая задача об определении температуры в стержне может быть записана в виде дгн гдиг г д а д г со < х < /01 дг д.г ~ диг г дгиг — =а г, со1<х <+со, дг д*г ' иг(по1, 8) = иг(по1, 1), Ли[и~,,(оо1, 1) — иге(ио1, 1)] = Ю О < 1 < +со иг(х, О) = гг(х), — оо < и < О, иг(Х, 0) = гг(Х), 0 < Х < +ОО, где 1,) -. количество тепла, выделяемое электропечью в единицу вре- мени, Л коэффипиент теплопроводности, а площадь поперечного сечения стержня.
диг дг диг дг а) иг(0, 1) = б) иг(0, 1) = г д'и, О <1<+ос; =аг, 0<х<+оо, иг(0, 1), Лдиг (О, 1) = Лгиг,(0, 1), О < 1 < +со,'. иг(0, 1), Л иг (О, 1) — Лгиг (О, 1) = = Соим(0, 1) = Соим(0, 1), 0 < 1 < +ос, аг(х, 0) = 1(х), -оо < х < О, 'аг(х, 0) = гг(х), 0 < х < +ос. 280 Ответы, указания и решении С помощью импульсной дельта-функции краевая задача может быть сформулирована более компактно; ди г дги — = и + — д (х — ллоС), .— оо < х < +со, 0 < С < +со, дС дхг ср и(х, 0) = у(х), -оо < х < +со. 15.
Помелцая начало координат на поверхности металла и обозначая через ~(С) глубину, на которую распространилось затвердевание к моменту С,получим краевую задачу О < С <СС, да =,гд",, И<х<С, дС дхг ' ил(0, С) = ССл — — сопзС, днл днг лСС Лл — Лг =лерг —, 0< С<СС, е=ССлЛ дх а=Цап лСС ил(~ф, С) = игСсеСС), С) = О, О < С < Сл, иг,(С, С) = О, 0 < С < Сл, иг(х, 0) = ССо, 0 < х < С.
Здесь за нуль температуры принята температура плавления (темпе- ратура затвердевания) металла. Лл и Лг — коэффициенты тепдопро- водности твердого и жидкого металла,. агл и агг - их коэффициенты температуропроводности; ле скрытая теплота плавления, рг .- плотность массы расплавленного металла, Сл время, при котором АСС) = С. Если температура меняется в очень широких пределах и нельзя пренебречь зависимостью коэффициентов теплопроводности, тепдоем- костей и плотностей масс от температуры, то уравнения (1) должны быть заменены уравнениями 0 < С < Сл. С1') 16. Помещая начало координат в плоскости пластины, направляя ось х перпендикулярно к свою, а ось ц вертикально вниз, дця опреде- пения скорости частиц жидкости получаем краевую задачу ил = ии„,, -Сл < х < 0,1 0 < С < -еоо, ил=ив„, 0<х<Сг, и(-Сл, С) = О, и(Сг, С) = О, лл(0 — О, С) = п(0+ 0, С) = ш, ) 0<С<+со, где ш — скорость движения пластины, — = — )лл,,(0+ О, С) — и,(0 — О, С)] + д, 0 < С < +со, л' 281 Го.
1П. Уравнения ниробооиэесноео тини ю(0) = О, и(х,О)=0, — 1з<х<0, 0<х<1з. Здесь у масса единицы площади пластины, р — плотность массы жидкости. 1Т. Для определения температуры в стержне получаем краевую задачу х 0<~<+оо, ии(0, 1) = О, ия(1, С) = О, 0 < 1 < +ос, и(х, О) = (уо; О < т < 1, Л а о/ Здесь Е, высота полного конуса, получающегося продолжением дан- ного стержня, у - - половина угла раствора конуса., го —.
радиус большего основания усеченного конуса, 1 .. его высота, Л, с, р-- коэффициент теплопроводности, удельная теплоемкость и плотность массы материала конуса, о коэффициент конвективного теплооб- мена между поверхностью конуса и окружающей средой. где г' = ц1о, и 2 а = — 'и Й. й~ ' и 1о Решение. Установление аналогии является жем необходимость и достаточность условий (4) и Необходимость. Пусть и'(х', 1') = Ииио(х", 1и) при х' = Ихх", (б) очевидным. Дока- (3). 3. Подобие краевых задач.
18. Краевая задача о нагревании стержня с теплоизолированной боковой поверхностью задача (1) д' д'' аз и а = —, 0<х'<1' 0<1'<+ос, (1) д1 дх со и'(О, 1) = у'(1) ~ О, и'(1', о') = О, 0 < о' < +со, (2) и (х~., 0) = О, 0 < х~ < 1~, (3) аналогична краевой задаче 10 задаче (П) о движении слоя вязкой жидкости (1') ии(х", 0) =О, 0< хи <1о. (3') Для того чтобы задача (1) была подобна задаче (П) с коэффициентами подобия й,, Лэ, й„, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись ~р~(1~) = йи~р~~(1'~) при 0 < 1о < +ос, (4) 282 Отвеьам, указания и решения причем (х', 1') пробегает Р~ [О < х' < 1', .0 < д < +со), когда (хн, 1н) Рп ~0 < хн < 1", О < Ха < +со).
(6) Тогда должно выполнЯтьсЯ Равенство и'(О, г') = капе(0, 1н) пРи 0 < 1н < +со, т.е, в силу (2) и (2') должно вьпюлняться равенство (4). дифференцируя равенство и'(х', 1') = Й ин(хв, 1н) по хн и 1н и используя равенства х' = к,,хн, д = ке1н, получим ди' дие кз р'ин дзив дп " дев ' '"' дх" "дхв' Так как пн(х", 1н) должно удовлетворять уравнению (1'), то, следовательно, должно выполняться равенство ~, дйв дхнз( дг™ дх" т. е. для а'(х', 1') должно выполняться уравнение ди' кз д и' — =р — *, 0<х <1, 0<1 <+со. др /.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
