Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 46
Текст из файла (страница 46)
ььь о о о о о (4) (5) 148. Решением краевой задачи им — — а их,+ — Ф(х)1 ь 0<х<1, 0<1<+со, т> — 1, (1) Р а(0, 1) = и(1, 1) = О, О < 1 < +соь и(х, 0) = О, гье(х, О) = О, 0 < т < 1, является~) и(хь1) = ~~ и„фяш (4) а=1 (5) является Ах1 и(х, 1) = + ~ ~и„фгйп (2гь Ф Цях 14) 21 где (2гь+ Цаа г1) ао ~ т — 2 г1 ого,ь о ') См. указание к следуюнхей задаче.
147. Решением краевой задачи исс — — а и„, 0<х<1, 0<1<+ось и(0,1) =О, и 11ь1) = — 1, 0<1<+ос, А Яс и(х, 0) = О, ис(х, 0) = О, 0 < х < 1, является А с-~ . 12п+ Цггх . 12гь+ Цгга1 21 21 о=о 4 Г Ах . 12п+ Цьгх ~ — я1п г1х. 12п+ Цха,/ Ес 21 о гоп(1) = —" 1 т™ Гйп ого(4 — т) т, ого = о,. /' о и— о 2 Г Ф12) . пггх гго = — / Р о 149. Решение краевой задачи иьг — — а и,„О<х<1, 0<1<+со, и(0,1) =О, и,(1ь1) = — 1""', 0<1<+со, т> — 1ь Ы и1х, 0) = О, иг(х, 0) = О, 0 < х < 1, <1) 12) Р) Ж (2) (3) Рл. П. Уравнения еиперболичееноео глина 245 (3') (12) где 150.
а) При го у'. -гоп = , .п = 1, 2, 3,.,. г -~-ж и(х, 1) = 7, "., (иивш 1-ыз1пю„б)зшп *; (1) (ше — гоз)го о.= г попо б) при оо = гопо —— -~-Х и(х, 1) = ~ (гоо япго1 — го яп гонг) яп — -> (гоК вЂ” гоз)го„ о=1 + "' (з1пгоио1 — ыоо1созгоио1) яп, (2) 2ы о 2Агп(гп — Ц р . (2п -~- 1)не (6) ЕЯ 21 о У к а з а н и е. Чтобы освободиться от неоднородности в граничном условии, ищем решение краевой задачи (1), (2), (3) в виде и(х, 1) = и(хг 1) + что приводит к краевой задаче Ахе"" гп(гп — 1) ип = а и,, —,, 0 < х < 1, 0 < 1 < +со, (8) и(0, й) = О, и, (1, 1) = О, О < 1 < +ос, (9) и(х, О) = О, иг(х, О) = О, О < х < Е. (10) Частное решение краевой задачи игг = а'и„+1(х, 1), О < х <1, О <1<+со, ади.
(О, 1) + Да(0, 1) = О, аз и (1; г) + Дзи(1., г) = О, 0 < 1 < +ос, можно искать в виде и(х, 1) = ~~ ии(1)Х„(х), и=-Ъ где ио(1) --. функции, подлежащие определению, а Хн(1) -- собствен- ные функции краевой задачи Х" (х) + ЛзХ(х) = О, 0 < х < 1, азХ'(0) + )3зХ(0) = О, азХ'(1) +,3 Х(1) = О. При этом вынуждающий член г(х, 1) также нужно разложить в ряд по собственным функциям этой задачи, т.е. представить в виде -~-оо г" (х.
1) = ~ 1„(1)Х„(х), и=г 1п(1) — о ) з (я 1)Хо (е) ож (13) о 246 Ответы, упования и решения 2 Г Ф(я) . пя» оп = — / з1п сЬ. 1/ р о (3) 151. и(х, 1) = ~ ип ® яп (1) п=-г и„(1) = = /е 'г '1з1повтяпаг„(1 — т) гГт, (2) з о 2 Г Ф(х) . ггах оп = — / — яп — Ых, 1,/ р о 7~ыз г,з (3) Здесь пРедполагаетсЯ, что игп ) Р. Нахождение выРажениЯ ип11) для аг < и не прЕдставляет затруднений. пя6 х т, пяхо 16Р т6 Еоо 1 соз сов Яп "' "' -" -'=-[-(1') 1[-(-;-)1' х зш япго где юга гвп— 153. Решением краевой задачи ии — — азиа + 6(х — хо)6Я ~) 0 < х < 1, 0 < 1 < +со, (1) Р и(0, 1) = и(1, 1) = О, О < 1 < -~ оо, и(х, О) = иг(х, О) = О, О < х < 1, является: 21 к 1 .. пяхо . пвх гг(х, 1) = — яу — зшагпСзш зш РГ огп 1 1 п=г ппа аг„= . 14) 154.
Решением краевой задачи 1 иго=а ия,— 2иис+ — Ф(х)1, 0<х<1г 0<С<+со, Р и(0, 1) = и(1, 1) = О, О < 1 < +со, и(х, 0) =иг1х, 0) =О, 0<1<+со, (1) 12) (3) г) 611) -- односторонняя дельта-функция )О, — <в<О, 6(1) = 1шг гР„ГГ), гр„Я = п, О < 1 < 1/п, О, 1!и <1<+ос; подробнее о дельта-функции см. г7, с. 267-272). 3 а м е ч а н и е. Здесь в отличие от решения задачи 133 колебания с частотой вынуждагощей силы даны не в замкнутой форме, а в виде ряда. -~-оо 247 1"л. П. Ураененин еиперболичеоноео типа является и(х, 1) = ~ ип(8) яп (4) где игс(1) = —" ~ те О 1япасп(1 — т) 41т, ого = „С~ — рг ), (5) о 2 1Ф(2) . танго пха а„= — 11 — егп — 41х, ш„= —. (О) 11 р о 155.
Решением краевой задачи исс = а ия, — 2пис+ -Йх — хо)д(1), 0 < х <1, 2 1 р и(0, 1) = и(1, 1) = О, О < 1 < +со, а(х, О) = ис(х, О) = О, 0 < х < 1, 0 < 1 < +со, (1) (2) (3) является .1-оо 21 ос х 1 .. тигхо . пжх и(Х 1) = — Е " 22 — Яцас 1ЯП ЗШ п=1 (4) где илга сотс Юа = ЗССЮ~ — рг, (5) 156.
и(х, 1) =— 2Р1 но~ 1 1 роаэс ~-4 пг агхгпг— п=г 2Р1з + — еш ~яяг л-с пг агсггтр — огр п=1 о пях . ппаС г ог~г Згн — ЯП 12 + о пях . пггоо1 — яп, 0<с< —, оо 2Р14 1 1 2 2 рЯах4 2 пз агягпг — ссо212 п=1 — <1<+со.
оо У к а з а н и е. Воспользоваться импульсной дельта-функцией. пяа ггг птгоо соя, С вЂ” соя(1 -С- ) сог риеог (и ягаг) 2 ( пяио г яп —. (и'я а') ( пинос 2 ') Предполагается, что ас„> и при п = 1, 2, 3, ... Если ас„< о при достаточно малых значениях и, то решенно будет содержать члены с множителями з14 ос„г н член с множителем С. 248 Ответы, указания и решения г з 158.а)Приезда':,, п=1,2,3,..., а 2Я х- и'-(и4кзаг — Ч4) ППХо + в"~аз"?, 4 4 г 24в рЯ '? г п4к4аг — ш244 " п=г г г б) при ог= о „.2„2.
п,,п..4.2 „Ч4) п=1 ейбПв 2,Н212 зй ~Я вш дП вЂ” хо) 2,9Ч~ вш Д з з ь)21'з) х) + 4 — яп Д(1 — х), х яп згхо 2)гзуз взп 131 О < х < хо, 21212 11'(х, 1) — х агк4рЯ <), а хо < х ПКХО Е яп — яп (ше+ уг„) (п4хзаг — ш224)2 -Ь 4игшгзз п=1 2РР 159. и(х, 1) = рЯ 2иш агг."пз — шЧ4 ' 1ШХ вш, где а и -- «коэффициент трения», входящий в пггхо рЯ 2 г П42.4а2 ш214 п=1 ПОПО гге . ПОКХО ° ° ПонХ 1 О поххо, понг + „вш япог1вш — 1совш1вш В|П вЂ”.
ряшг С Е рЯш Х Е Неограниченное возрастание амплитуды вынужденных колебапго к за ний с частотой ео = будет иметь место лишь в том случае, 12 ПО11ХО когда яп у': О, т.е. точка приложения силы не совпадает ни с поп одним из узлов гармоники, соответствующей числу Л„, = Указание. См. указание к задаче 149. Замечание. Вынужденные колебания с частотой аг могут быть найдены в замкнутой форме, аналогично тому, как это было сделано в решении задач 134 и 139. п ха При аг у'.", и = 1, 2,..., для колебаний с частотой аг, таким образом, получается следующее выражение: 249 Тл, 1й Уравнения еиперболипееиоео тигга уравнение дги г д и ди дев дхл де 1л„а 2Е 1з ~~ 1 — сов 1 п=1 где Х„(х) = (сЬ Рп + соЯ Рп) (вЬ Рп — — гйп Р„х ) "1 "1~ х хз — 1ЯЬ Рп + вйп Р„) (сЬ Рп — — соЯ Р„-), рп --. положительные корни уравнения сЬр совр = — 1.
(2) (3) Х„(х) = яЬ рп яш и" — яш р„яЬ и" р„--- положительные корни уравнения 1яр = ФЬр (рг < рг < ...). 4. Колебания при неоднородности сред и других условиях, приводящих к уравнениям с переменными коэффициентами; учет сосредоточенных сил и масс. 164. Решение. 11родольное смещение и(х, 1) точек стержня является решением краевой задачи р(х)ии — — (Е(х)ип)п, 0 < х < хо, хо < х < 1, 0 < 1 < +со, (1) и(0, 1) = и(1, 1) = О, О < 1 < +ос, 12) и(хо — О, 1) = и1хо+О, 1), Е(хо — 0)иЯсо — О, 1) = Е1хо-'пО)илаха+О, 1), (2') 161.
Для 1 < Т ответ совпадает с ответом предыдущей задачи. Для 1) Т г г г г 2Е 11 сов ", (1 — Т) — сов п=1 где рп и Хп(х) имеют тот же смысл, что и в предыдущей задаче. р„а р„а 2Ео1а~ Х (х) вн' р,1г 162. и(х, 1)— г г г и (вЬРп Ьв11'Рп) Хр а ) и=-1 1 ог11 где р, и Х„(х) имеют тот же смысл, что и в задаче 160.
163. и1х, 1) = г г г .~-оо р„а р„а г г в!и — 1 — —, гйпоЛ 1О1 а Х ВЬрп — 2СЬрпяПрп -'ЕВШр„р Хр г Хп 1х) огЕЗ ~-г Рг вЬг Рп гйпг Р„ п=1 ' р„аг 250 Ответы, указания и решения 5 х хв ЬЦ вЂ” х) с — хв и(х, 0) = ср(х) = 0 < х < хо, хо < х < с, ис]х,О)=ф]х)=0, 0<х<с, (Е, Е]х) = ~= Е 0 < х < хо, Г Р, 0 < т < хо, Р(х) = ~ ., <х<, Ь хо <х<1 (4) Р Р. Е) Е' - — константы. Частные решения краевой задачи ]1), (2), (4) ищем в виде и]х, 1) = Х(х)ТЯ. ]5) Подставляя (5) в (1), (2) после разделения переменных, получим ТнЯ + ас~Т(4) = О, .0 < 1 < +ос, ]6) (Е]х)Х'(х))'+ св'р(х)Х(х) = О, 0 < х < с, ]7) Х]0) = Х()) = О., Х(хо — 0) = Х]хо+ 0), .]7') ЕХ'(хо — 0) =ЕХ'(хо + 0). (7н) Из общей теории известно с), что краевая задача ]7'), (7н) имеет бесконечную последовательность собственных частот свс < шз « ° ° ° шп < и соответствующих им собственных функций Х1(х) Х2(х) ..
Хсс(с) ортогональных с весом р(х) на отрезке 0 < х < й Решение уравнения (7), удовлетворяюсцее условиям (7'), имеет вид вс вцс — х а вс сйсс — хо а вс сйп = Д вЂ” х) а ]Е при О < х < хо, а = сс —, Р (8) Х(х) = — Е при хо<х<1, а= ш зсп = П вЂ” хо) а Удовлетворяя условию ]7е), получим трансцендентное уравнение оК = хо = — ся й (хо — с) ]9) ,,/ЕР а ~ а ') См.
]7, с. 422, 423]. для определения собственных частот ос„. Полагая в (8) ас = шн, получим собственные функции нашей краевой задачи 251 1"л. 11. Уравнения еиперболичееного гпипа ш яп — х при 0<х<хо, яп — хо а Х„(х) = (10) яп = (1 — х) а при хо<х<Ь ш вш = 0 — хо) а Квадрат нормы собственной функции равен 1 "яп — "х '. вш ="(1 — х) 2 Ш„ , ш„ иХ и2 ~р1х)Х2( ))х — р/' а 1х+ р/ а о о вш2 — ха а ло япв = ~Д вЂ” ха) и рхо + р0 — хо) 2 Шн .,ш 2вш — ао 2япо = (хо — 0 а а -~-сс и(х, 1) = ~~~ анХн1х) сов шн1, а=1 1 Ь 1 Е Е о 165. и(х, 1) = Х(х) япш1, ш вш — х а ш яп — хо а при 0<х<хо., Х(х) = ш ш =сов=Д вЂ” х) гровш=(х — хо) а а а при хо < х <1. ш ш = сов = Д вЂ” хо) а а ш яп — х а при 0<х<хо, ш„ вш — хо а Х„(х) = ш ш ш„ = сов = (1 — х) -~- Ь вш = 0 — х) а а а при хо<х<), ш ш шн = сов = 0 — хо) + Ьвш = (~ — хо) а а а ш, — — положительные корни трансцендентного уравнения где с— Р==~ Ч= +: Ьа а а 166.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
