Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(2п -В Цггх . (2п -В 1)яа1 107. и(х, 1) =— вш вггг ггар 2п+ 1 21 21 н=.о 108. Решение краевой задачи иге — — аиее, 0<т<1г 0<1<+ос, и,(0, Ц = О, и,(1, 1) + 1ги11, 1) = О, 0 < 1 < +со, и(х, О) = уо(х), иг(х, 0) = гр(х), 0 < х < 1, где Л„ собственные значения краевой задачи причем Л„являются положительными корнями уравнения 109. Решение краевой задачи им=а и,„, 0<х<1, 0<1<+ос, и,(0,1) = О, и.,11, 1) + 1ги(1, 1) = О, 0 < 1 < +со, и(х, 0) = — о х, ие(х,, 0) = О, 0 < х < 1, получается из решения предыдущей краевой задачи при (1) (2) Р) 215 1"л.
11. УСлавненин гипеСгболинееного типа (л) Л„ аги = агс18 — ". 6 Квадрат нормы собственной функции Х„(х) равен ))Х„'Ог = (1 гйп (Л„х + уг„) еСх = а (8) поэтому Лг + Слг)1-Ь 26 1 а Ьо = ", ~г)л(я) я1п(Л„г+ уа) еСг. а (10) (11) и(х, С) = — ~ ", сояЛ„хсояЛ„аС= 2Ра (1+ 61) соя Л„1 — 1 .= л„' 1-ь61(""Л') Л„С Сг (1 + СлС) — ~ 1 +— = е,л г.' ' л.* „л„а (л> где Л„..
положительные корни уравнения Л 18 ЛС = 6. 110. 21 ~ соя Л„хвпаЛ,С 21 ~ сояЛ,хсйпЛ„аС " .= Л„11 ~ ("'Ы)') 'С .= Л.(1~ где Л„- — положительные корни уравнения Л 18 ЛС = 6. 111. Решением краевой задачи илл = а и.„, 0 < х < С, 0 < С < +ос, (1) иг(0, С) — 6и(0, С) = О, ин(С, С) + Ьи(1, С) = О, 0 < С < +со., (2) и(х, 0) = |лр(х), гл,(х, 0) = г)л(х), 0 < х < С, (3) является и(х, С) = ~(аа сояаЛ„С+ Ь„яшаЛ„С) я1п(Л„х+ уги), (4) о=1 где Л„собственные значения краевой задачи Х" (х) + Л Х(х) = О, 0 < х < С, (б) Х'(0) — 6Х (0) = О, (б) Х'(С) -ь 6Х (С) = О, (б') а Хп(х) = яш(Лпх + угп) -- собственные функции этой краевой задачи; Л„являются корнями уравнения 2 (6 Л)' 1 Л 6 216 Ответы, указания и решения Указание.
1) Уравнение 17) может быть получено следующим образом. Из общего решения уравнения 15) Ха,(х) = Сз сояЛх+ С,ешЛх, удовлетворяя граничному условию 16), получим Х(х, Л) = Сз (- созЛх+ зшЛх~ = СзХ(х, Л). (12) Подставляя 112) в граничное условие 16'), получим (ех 1 1 ~дх так как Сз у'. -О, иначе 112) было бы тривиальным решением, то ) +6Х1х, Л) =О. ОХ а <13) После подстановки явного выражения Л Х 1х, Л) = — соз Лх + е1п Лх 113') 113) преобразуется в уравнение 17) с16 ЛЕ = 2 (~ — Л) . 1 Л Ь (7) Это уравнение приблизительно можно решать графически з).
Подставляя в 112) вместо Л собственное значение Ли, получим соответствующую собственную функцию Ха1х) = СзХ1х, Л„). Х„1х) = Х1х, Л„) = з1п1Л„х + аз„), (14) где Л„ 1за = агс1Я вЂ” ". 6 114') Полагая Л1 = е, получим с466 =— 115) Обозначая через см сз, ..., с„, ... абсциссы точек пересечения котан- ') О решении трансцендентного уравнения с любой степенью точности см. )1, с.
204). Таким образом собственная функция определяется с точностью до по- стоянного множителя Сз. Этот множитель можно выбрать так, чтобы фУнкциЯ Хн(х) имела вид 1"л. 11. Уравнения еииерболичееноео типа 217 Рис. 29 116 ИЛ вв генсоиды 9 = с18С и гиперболы и = — ( — — — ), получим Л„= —" (рис. 29).
2) Квадрат нормы собственной функции (9) может быть найден непосредственным интегрированием ~~Х„~~з = ~ з1 з(Л„х+ ии,) е)х (16) о либо переходом к пределу при Л -1 Л„ в равенстве о /х,х,„х — '"'"''.17 ( ) „Х,'(1, Л„)Х(1, Л) — Х'„(1, Л)Х(1, Л„) Лв — Ле Раскрывая неопределенность в правой части (17) при Л вЂ” э Л„, получим з( ) Х'(1 Л-)Х((1 Л ) -Х*"х(1 Л-)ХП Л-) ( 2Л о Равенство (17) получается из равенств Ха (*, Л) + Л Х(*, Л) = О, Хи(х., Ла) + Л'„Х(х, Ла) = 0 умножением первого из них на Х(х, Л„), второго —. на Х(х, .Л), вы- читанием результатов и последующим интегрированием по частям.
При вычислении интеграла (16) или правой части равенства (18) необходимо воспользоваться граничным условием (6). 218 Ответы, указание и решения является -~-ее и(х, 1) = ~(ан совал„1+ Ьн зппп ал„1) зш(л„х+ Звн), (4) н=1 где Л„собственные значения краевой задачи Х"(х)+Л Х(х) =О, О« 1, (5) Х'(0) — 6зх(0) = О, Х'(1) + 6зх(1) = О, (б) Собственные значения являются корнями уравнения Ле — 6е6з собл1 = а Хн(х) = яп(лнх + ~р„) соответствующие собственные функции, где Л„ ев„= агстк — ". (8) н— (7) Замечание.
Уравнение (7) может быть переписано в виде 8Л„1 = (19) При 6 -+ 0 (свободные концы) из (19) получим 1пп 18 Л„1 = О. ь — ~о Из (14') и (14) найдем 1ш1 ув„= —, 1пп Хн(х) = зш 1 Лнх + — 1, следак — ео 2' ь — ео ~" 2г' вательно, е Хн(х) = соз ~™, и = 0,1,2,... Этот результат был получен непосредственно при решении зада- чи 105. При 6 — ~ оо (концы фиксированы) из (19) получим 1пп 18Л„1=0.
Л вЂ” еее Из (14') и (14) найдем 1пп ув„= О, 1пп яп(лнх-~-ув„) = япл„х. Следовательно, Л„= —, п=1,2,3,..., Х„(х) = яп —. Этот результат был также получен непосредственно при решении за- дачи 97. 112. Решением краевой задачи ии — — ази, 0<х<1, 0<1<+со, и,(0,1) — 61и(0, 1) = О, и,(1, 1) + 6зи(1, 1) = О,. 0 < 1 < +ос, и(х, 0) = Зв(х), ие(х, 0) = ер(х), 0 < х < 1, 219 Рл. В.
Уттавненин еипеттболинееноео типа Квадрат нормы собственной функции равен ОХ 8 )'Хз(х)лх ' 1 (Л +" " )(" + "а) (9) ./ " 2 ~( (Л-'„8- Ьтт)(Лт -ь Ьтт) о 113. Решением краевой задачи иге=а и„т 0<х<1, О<1<+ос, 1=2яВ, и(0,1)=и(1,1), их(0,1)=и (1,1), 0<1<+сот и(х, 0) = От(х), ит(х, 0) = фт(х)т 0 < х < Е, (1) (2) (3) является -еж и(х, 1) — ~~ а. 808 + 6 81п со8 + 2ипа1 т . 2япао Л 2тгпх о=о -8 во и-» Г о 2япае „. 2ипа1'г . 2иттх + ло (а СО8 и 1 и +Ь 81п ) 81п —, о=г 2Г 2 .е и 2Г . 2 по ао = — ~тГт(х)сов ' г)х, и = — ~ та(х)81п — г)х, и = 1, 2, 3 О 1/ '' 1: и 1/ о о "о = тто(х) гтх 1,г о 6'„= 1 тГт(х) сов ггя, тига / 'о пяа,/ о в граничные условия Х(0) = Х(1), Х'(0) = Х'(1) и приравнивая нулю определитель полученной системы уравнений относительно А и В, найдем трансцендентное уравнение для определения собственных значений.
Собственными значениями оказываются 2ип Л„ = , причем подстановка в уравнения для определения А и В и значения Л„обращает эти уравнения в тождества при любых А и В. Следовательно, каждому собственному значению Ло соответствуют ДВЕ ЛИНЕЙНО НЕЗаВИСИМЫЕ СОбСтВЕННЫЕ ФУНКЦИИ СООЛпХ И 8ШЛаХ; 2нп так как Л„= —, то все собственные функции ортогональны на от- о Указание. ПодставляяобщеерешениеХ(х) = АсозЛх+ВвшЛх уРавнения Х" (х) + Л'Х( ) = О 220 Ответы, указания и решении (см. [7, с.
28)). Выражая энергию полного колебания струны е .(, 1) = ~~ П„(х, 1) = ~ Т„(1)Хн( ), н.=л о.=.л где Х„(х) собственные функции соответствующей краевой зада- чи, используя ортоногональность собственных функций, а также гра- ничные условия, нетрудно показать, что в случае граничных условий первого, второго и третьего рода Е(1) = ~~~ Е„(1), а=1 где в случае граничных условий первого и второго рода Ен(1) = -'~(тои„',(х, 1)+ ри„',(х, 1)) е, о а.в случае граничных условий третьего рода 1 Е„(1) = - / (ТоЮ~,. (х, 1) + р(7~ (я, 1) ) лЬ -|- — Я~(1, 1) + 1лз(0, 1) ) . о 115. Решениями краевых задач исс+а и„„=О, 0<х<1, 0<1<+ос, м(х, 0) = ул(х), нл(х, 0) = лр(х), 0 < 1 < +со, и(0, 1) = и(1, 1) = и„(0, 1) = иее(1, 1) = О, 0 < 1 < +ею, п(0, 1) = и(1,, 1) = лл (О, 1) = ие(1, 1) = О,.
0 < 1 < +оо, (1) (2) (За) (Зб) Ч Юртогональность собственных функций, соответствующих различным собственным значениям, вытекает из обшей теории, а ортогонвльность 2ппх 2ипх соз — и вллл — иа отрезке 0 < х < 1 проверяется непосредственным вычислением интеграла. резке 0 < и < 1 '). В случае, когда одному и тому же собственному значению соответствуют и линейно независимых собственных функций, это собственное значение называется й-кратным. Таким образом все собственные значения рассматриваемой задачи двукратны. 114. Указание. Полная энергия струны 0 < х <1 в случае граничных условий третьего рода и,(0, 1) — лли(0, 1) = О, и (1, 1) + + йп(1, 1) = 0 выражается следуклщим образом (проверьте это): Е(1) = — ~(Тоно(х, 1) + рллз(е, 1)уев+ ™ (нз(1. 1) + ллз(0, 1)).
о В случае граничных условий первого и второго рода Е(1) = — ~(Талл (х, 1) + ри, (я, 1) ) л1х 221 !"л. Н. Уравнения еиперболичееиого типа и,,(0, !) = и,, (1, !) = и и,(0, !) = и,л(1, !) = О, О < ! < +со (Зв) соответственно являются: п"яоа! . г) я~а! ) . иях .) (*, Е = Е,' ( . , г (го , ) ° — ', ... и=-1 2 г . кпе 2! г . пяе а„= -у! (р(г) зш — г!х, !)„=, ~ г(г(я) яш — г!з, азиза о о и = 1, 2, 3, б) и(х, !) = ~~) ((аисоваЛ~!+ Ьиз1паЛз!)Х (х), где п=1 Х„(х) = (зЬЛ„! — зшЛ„!)(СЬЛ„х — созЛих)— — (сЬ Л„! — соз Л„!) (зЬ Л„х — з1п Л„х), а Л„являются неотрицательными корнями уравнения сЬ Л! соз Л! = 1, в) и(х, !) = ~~) (а„сояаЛз!+ Ь, зшаЛ~!)Хи(х), где п=-1 Хи(х) = (зЬЛ„! — я)ПЛ„!)(СЬЛих+созЛих)— — (сЬ Ло ! — сов Ли!) (вЬ Л, х + зш Л, х), а Л„являются неотрицательными корнями трансцендентного уравнения сЬ Л! соз Л! = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
